Предельные теоремы в схеме Бернулли

Производится независимых испытаний, причем в каждом из них с вероятностью появляется событие А. Требуется:

а). Найти вероятность того, что событие А появится не менее и не более раз (табл.1);

б). Найти значение наивероятнейшего числа появления события А и вычислить его вероятность (табл.1);

в). Найти вероятность того, что событие А произойдет хотя бы один раз (табл.2).

ТАБЛИЦА 1.

№	n	p	k	l		№	n	p	k	l
		0.1						0.4
		0.2						0.6
		0.2						0.6
		0.4						0.7
		0.6						0.8
		0.6						0.9
		0.7						0.1
		0.8						0.2
		0.9						0.3
		0.1						0.4
		0.2						0.6
		0.3						0,5
		0,4						0,4
		0,6						0,3
		0.3						0.6

ТАБЛИЦА 2.

№	n	p		№	n	p		№	n	p
		0,02				0,02				0,003
		0,001				0,01				0,001
		0,02				0,02				0,007
		0,01				0,01				0,006
		0,01				0,003				0,009
		0,03				0,003				0,008
		0,04				0,004				0,025
		0,03				0,006				0,015
		0,02				0,01				0,015
		0,01				0,001				0,004

ЗАДАЧА №5.1

Дискретные случайные величины.

Определить закон распределения дискретной случайной величины, если известна её дисперсия, причем .

№
					0,6		0,1	0,1	16,16
					0,3	0,3	0,1		12,96
						0,3	0,1	0,4	12,69
						0,2	0,3	0,4	9,00
						0,1	0,1	0,1	12,56
						0,5	0,1	0,2	4,04
					0,3		0,1	0,3	12,96
					0,2		0,1	0,1	2,76
					0,3		0,1	0,1	3,20
					0,2		0,4	0,1	13,44
	-1				0,1		0,3	0,1	5,76
					0,1	0,6		0,2	3,36
					0,3	0,3		0,2	2,49
					0,4	0,1		0,1	10,44
					0,2	0,4	0,3		20,25
					0,1	0,5	0,2		7,65
					0,5	0,2	0,1		22,40
					0,3	0,2	0,1		26,24
					0,7		0,1	0,1	9,36
					0,6		0,1	0,1	9,09
					0,2	0,2		0,4	34,00
					0,2	0,3	0,4		13,44
						0,3	0,3	0,2	16,80
	-4					0,5	0,3	0,1	5,76
						0,2	0,1	0,2	11,20
					0,5	0,2	0,1		22,40
					0,3	0,2	0,1		26,24
					0,7		0,1	0,1	9,36
					0,6		0,1	0,1	9,09
					0,2	0,2		0,4	34,00

Задача №5.2.

Дискретные случайные величины.

В ящике находится шаров, из которых - белые. Наудачу извлекаются 3 шара.

а). Найти закон распределения случайной величины Х – количества белых шаров среди извлечённых.

б). Построить многоугольник распределения.

в). Найти функцию распределения случайной величины Х и построить её график.

г). Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратичное отклонение.

Исходные данные приведены в таблице.

№

ЗАДАЧА №6.1

Непрерывные случайные величины.

Случайная величина задана интегральной функцией распределения . Определить:

1) дифференциальную функцию ;

2) математическое ожидание и дисперсию случайной величины Х;

3). построить графики и .

№	Интегральная функция	№	Интегральная функция
	при		при
	при		при
	при		при
	, при		при
	, при		при
	при		при
	при		при
	при		при
	при		при
	при		при
	при		при
	при		при
	при		, при
	при		при
	при		при

Задача№6.2

Непрерывные случайные величины.

Дана плотность распределения случайной величины Х. Определить:

1. коэффициент с;

2. функцию распределения F(x);

3. математическое ожидание М(х);

4. дисперсию D(x);

5. среднее квадратическое отклонение ;

6. построить графики F(x) и f(x).

№		№

Математическая статистика.

ЗАДАЧА №7

В результате эксперимента получены 40 данных, записанных в виде статистического ряда. Требуется:

а) Записать значения результатов эксперимента в виде вариационного ряда;

б) Найти размах варьирования и разбить его на 6 интервалов;

в) Построить полигон частот, гистограмму относительных частот и график эмпирической функции распределения;

г) Найти числовые характеристики выборки ;

д) Приняв в качестве нулевой гипотезу : генеральная совокупность, из которой извлечена выборка имеет нормальное распределение, проверить её, пользуясь критерием Пирсона при уровне значимости ;

е) Найти доверительные интервалы для математического ожидания и среднего квадратичного отклонения при надежности .

Указание: Значения элементов выборки расположены в столбцах таблицы 3. Номер столбца, относительно которого необходимо проводить вычисления, совпадает с последней цифрой учебного шифра.

ТАБЛИЦА 3

	15.9	20.1	18.3	18.6	20.1	18.2	17.3	19.0	16.9	18.2
	16.8	21.2	19.5	19.3	20.4	17.8	18.0	20.3	16.7	18.2
	13.2	17.6	17.3	14.5	18.4	16.1	15.8	16.5	14.5	15.8
	15.5	20.1	19.1	16.7	20.9	18.6	16.9	19.4	15.3	18.0
	14.6	18.8	17.8	17.1	19.6	17.5	16.3	18.3	15.8	17.4
	15.6	20.0	19.1	17.2	20.5	18.7	18.0	18.6	16.5	17.9
	16.9	20.7	20.1	20.3	20.4	19.6	18.5	20.8	18.2	19.3
	14.1	18.4	17.3	17.7	19.1	17.9	16.9	18.1	16.4	16.8
	13.6	18.3	16.6	17.3	18.7	16.6	16.0	17.4	17.0	17.4
	15.2	20.2	19.4	16.2	19.8	16.8	16.2	19.3	15.2	17.5
	15.0	18.6	18.7	17.4	19.5	18.8	16.7	18.7	16.7	18.4
	14.9	19.0	18.5	17.7	19.5	18.8	17.2	18.7	16.7	17.8
	16.6	19.0	19.6	17.9	20.3	18.8	16.5	19.2	15.5	18.4
	12.7	17.4	16.8	16.5	18.1	16.2	15.1	18.3	15.4	16.5
	16.1	19.3	18.7	18.2	20.9	19.8	16.8	19.0	16.6	18.9
	14.2	19.0	18.4	16.9	19.2	17.4	16.3	19.4	15.5	17.1
	16.6	21.1	19.7	19.7	20.8	20.1	18.5	20.5	18.5	19.4
	15.1	19.2	18.2	18.0	20.2	18.9	17.0	19.0	16.6	18.2
	17.0	21.9	21.8	20.0	20.9	20.9	20.2	22.6	17.9	19.2
	16.9	21.4	19.2	18.2	21.1	18.6	17.8	19.3	16.4	18.1
	16.7	21.1	19.3	20.0	20.4	19.3	18.8	19.7	18.7	19.1
	14.3	19.1	16.6	18.4	19.0	17.9	17.1	17.1	18.8	18.1
	11.3	16.6	14.9	13.7	17.8	14.6	14.6	15.2	13.9	14.5
	16.0	19.1	19.9	18.1	19.2	17.2	15.9	20.3	15.4	17.9
	16.8	21.4	20.8	19.4	20.4	19.0	18.9	21.1	17.6	19.0
	13.6	20.1	17.9	17.6	18.6	15.7	16.9	19.9	16.2	16.4
	17.6	21.5	20.8	20.5	21.2	20.4	19.5	21.0	18.3	19.9
	14.6	18.2	18.6	18.5	19.2	18.8	17.2	19.4	17.0	18.5
	14.2	18.8	17.2	16.6	19.6	17.4	16.8	17.8	14.9	16.4
	14.4	19.0	19.1	17.6	18.4	16.7	15.4	20.6	15.7	17.2
	14.7	19.6	17.9	17.0	20.1	18.4	17.4	18.3	16.2	17.3
	15.4	20.3	19.1	18.0	19.3	17.8	17.8	19.3	17.1	17.7
	17.6	21.9	20.8	21.0	21.0	20.2	18.7	22.6	17.8	19.4
	14.5	19.7	18.8	17.3	18.8	17.0	17.2	19.0	16.7	17.3
	14.2	18.3	17.6	17.2	18.9	17.0	15.4	19.0	15.1	17.0
	16.6	21.6	20.5	18.8	20.8	18.7	18.4	21.2	16.9	18.6
	13.3	17.8	17.5	16.6	18.1	17.3	16.3	17.6	16.6	17.0
	14.7	20.0	20.2	17.7	18.8	18.0	18.4	20.1	17.7	17.9
	12.9	17.0	15.1	15.5	19.1	17.1	14.7	15.9	14.9	16.4
	15.3	19.6	17.5	17.4	20.7	18.6	16.5	18.6	15.3	17.5

ЗАДАЧА №8

В задаче №8 необходимо найти уравнение прямой линии регрессии Y на X и построить её. Значение Х выбирается из таблицы 4. Номер варианта соответствует столбцу, номер которого совпадает с последней цифрой учебного шифра. Значение У выбирается из таблицы 5. Номер варианта соответствует столбцу, номер которого совпадает с предпоследней цифрой учебного шифра.

Указания: для составления уравнения прямой линии регрессии У на Х по данным Х и У необходимо вычислить выборочные средние , исправленные дисперсии и средние квадратические отклонения . Вычислить выборочный коэффициент корреляции . Записать уравнение прямой линии регрессии Y на X: или

ТАБЛИЦА 4

№	Х0	Х1	Х2	Х3	Х4	Х5	Х6	Х7	Х8	Х9
	3.0	2.5	3.0	2.0	2.4	3.4	2.6	2.2	3.2	1.7
	3.0	2.2	3.1	2.8	2.6	2.2	2.5	3.0	3.6	2.6
	2.7	2.9	1.9	2.5	2.7	2.8	3.3	2.2	3.0	3.0
	2.3	2.6	2.6	3.4	2.9	2.6	2.5	3.0	2.8	3.2
	2.9	2.3	2.3	2.4	2.6	3.2	3.2	3.5	2.6	3.3
	4.0	3.2	3.4	3.0	2.1	2.4	1.9	2.7	2.7	2.1
	2.8	3.0	2.7	2.6	2.8	2.7	2.6	2.9	2.2	3.2
	2.8	2.9	2.0	2.2	2.3	3.0	2.2	2.3	3.3	3.0
	2.2	2.7	2.7	2.5	2.5	2.6	3.2	2.6	3.6	3.1
	3.3	2.7	2.4	1.9	2.8	2.7	2.6	2.1	2.8	3.4
	3.0	3.1	2.7	2.5	2.6	3.0	2.6	3.5	2.7	2.0
	2.5	2.8	2.2	2.7	2.1	3.1	3.1	2.8	2.3	3.6
	2.7	2.8	2.7	2.5	2.7	2.4	2.2	2.1	2.0	2.7
	3.1	3.0	2.4	3.3	3.3	2.3	2.4	3.4	3.4	2.8
	2.8	3.0	2.6	2.8	2.4	1.9	4.1	3.1	2.9	2.3
	3.7	3.1	2.4	2.9	3.3	2.0	2.3	2.8	3.2	2.5
	3.3	2.6	3.3	2.6	2.8	3.0	2.5	2.5	2.3	2.3
	3.0	3.1	2.8	2.5	2.8	2.5	3.3	3.0	2.4	3.2
	2.3	3.6	2.9	2.4	2.6	2.7	2.5	2.5	2.7	2.9
	2.6	3.1	2.1	2.1	3.5	2.7	3.0	3.5	2.5	2.9
	2.8	2.8	3.8	2.9	2.4	2.9	2.4	2.7	3.3	2.5
	2.7	2.3	2.8	2.6	1.6	2.6	2.8	1.8	3.0	2.5
	1.6	2.1	3.4	3.2	2.7	3.0	3.2	2.8	2.3	2.2
	2.0	3.5	3.5	3.3	2.9	2.3	3.7	2.6	2.3	3.0
	2.5	2.4	2.4	2.2	2.0	2.5	3.4	2.8	3.2	3.2

ТАБЛИЦА 5

№	Y0	Y1	Y2	Y3	Y4	Y5	Y6	Y7	Y8	Y9
	3,5	2,0	3,9	5,7	3,6	5,0	3,8	4,2	4,7	4,8
	3,8	1,7	5,2	4,7	4,5	4,4	4,7	4,5	5,3	3,7
	4,2	4,6	3,2	5,0	4,7	5,1	5,6	5,5	3,9	4,3
	4,7	3,5	4,1	5,5	5,8	4,2	4,2	5,5	3,9	5,2
	4,8	4,9	4,2	5,3	3,9	3,6	4,7	2,8	4,4	4,4
	5,2	5,5	2,7	4,5	5,0	5,2	5,1	4,3	2,7	4,3
	4,1	4,6	4,0	6,0	4,5	4,4	4,9	5,1	2,9	7,0
	3,2	5,0	4,6	5,4	4,4	4,5	4,8	3,8	4,5	1,6
	4,7	3,5	4,4	4,2	4,3	6,3	7,0	5,1	4,1	3,0
	5,1	5,5	2,8	5,0	4,4	2,6	4,6	3,7	5,0	3,7
	3,1	6,9	4,2	5,5	4,8	4,9	6,2	4,2	4,1	6,9
	4,2	6,9	5,3	2,7	4,0	5,5	4,6	3,3	3,9	3,9
	5,3	3,2	4,0	5,7	4,7	5,5	4,1	5,2	4,5	5,5
	4,2	4,4	6,6	4,0	5,4	5,1	5,2	4,8	3,9	3,0
	3,8	3,8	4,4	4,6	2,8	3,8	3,1	5,8	3,7	5,2
	3,1	3,6	4,9	5,5	5,3	5,0	4,1	5,3	4,6	5,1
	4,3	4,2	3,8	4,8	3,9	5,9	4,9	3,8	4,7	5,2
	5,6	5,8	4,2	3,8	3,0	3,6	1,2	3,5	3,2	5,9
	4,8	5,8	5,4	3,6	5,3	6,5	5,8	4,6	4,8	3,4
	5,3	6,1	5,7	5,7	4,9	4,8	3,3	1,8	4,2	4,7
	4,9	6,3	7,5	5,4	2,9	3,7	6,5	3,7	5,5	5,5
	4,6	3,1	4,7	3,7	5,3	4,5	5,4	2,7	6,4	4,2
	5,1	5,8	5,1	3,7	3,9	5,2	6,2	4,2	4,2	3,7
	5,5	4,9	5,0	7,0	2,9	2,6	4,3	4,9	3,6	5,4
	6,2	4,1	4,3	3,2	3,9	5,0	3,6	1,9	4,4	3,8

ЛИТЕРАТУРА

1. Захаров В.К., Севастьянов Б.К., Чистяков В.П. Теория вероятностей. – М.: Наука, 1981г.

2. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. – М.: Высшая школа, 1997 г.

3. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. – М.: Высшая школа, 1997.

4. Рябушко А.П. Индивидуальные задания по высшей математике. В 4 ч. Часть 4. – Минск: Выш. шк., 2007. – 336 с.

5. Методическое пособие по теории вероятностей и математической статистике. Часть I: «Теориявероятностей» (для студентов всех специальностей) / Сост.: О.Б. Носовская, Л.С. Тонких, С.Е. Носовская. – Мариуполь, ПГТУ, 2009 (есть на сайте ПГТУ)

6. Методические указания по теории вероятностей для студентов-заочников / Сост. В.П. Сударев, С.П. Десятский. – Мариуполь, ПГТУ, 2002.

7. Буланчук Г.Г. Конспект лекций по теории вероятностей и математической статистике: учебное пособие. – Маріуполь, ПГТУ, 2010. (есть на сайте ПГТУ)

Сайт ПГТУ:http://pstu.edu/