Предельные теоремы в схеме Бернулли

Если число испытаний п велико, то вычисления по формуле Бернулли становятся затруднительными. В то же время большие значения п позволяют заменять эту формулу приближенными асимптотическими формулами. Рассмотрим три такие формулы.

Теорема2.5. (формула Пуассона)Если так, что , то

(2.5)

Формула (2.5) дает хорошие результаты, если npq<9. Если же npq>9, то для вычисления вероятности можно воспользоваться локальной теоремой Лапласа.

Теорема 2.6.(локальная теорема Муавра–Лапласа). Вероятность появления события т раз в п независимых испытаниях при больших значениях п приближенно определяется по формуле

(2.6)

где

Теорема 2.7.(интегральная теорема Муавра–Лапласа). Вероятность того, что число появлений события в п независимых испытаниях находится в пределах т₁£ т £ т₂ и при больших значениях п приближенно определяется по формуле

(2.7)

где

Функция Ф(х) называется функцией Лапласа. Для функций имеются таблицы ее значений. Функция является четной, а функция Ф(х) – нечетной, т.е. ; Ф(– х)= – Ф(х);

Из интегральной теоремы Лапласа можно вывести формулу для вероятности отклонения относительной частоты т/п события в серии испытаний от постоянной вероятности р этого события в одном испытании:

(2.8)

Пример 2.21. Завод отправил на базу 500 изделий. Вероятность повреждения изделия в пути равна 0.002. Найти вероятность того, что в пути будут повреждены три изделия.

Решение. Можно считать, что имеем дело со схемой Бернулли, в которой испытания проводятся 500 раз. Так как число п=500 достаточно велико, а вероятность p=0.002 мала (причем npq=500×0.002×0.998»2<9), то воспользуемся приближенной формулой (2.5), где l=np =500×0.002=1:

Пример 2.22. Найти вероятность того, что событие происходит 80 раз в 400–х испытаниях, если вероятность этого события в каждом испытании равна 0.2.

Решение. Здесь п=400 достаточно велико, но величина npq также велика (npq=400×0.2×0.8=64>9), поэтому воспользуемся формулой (2.6). Вычисляем

По таблице функции находим (0)=0.3989. Окончательно получаем:

Пример 2.23. Найти вероятность того, что в 400–х испытаниях событие произойдет не более 70–ти раз, если вероятность появления этого события в каждом испытании равна 0.2.

Решение. Воспользуемся интегральной теоремой Лапласа для вычисления вероятности :

Пример 2.24. Определим, сколько надо провести испытаний, чтобы с вероятностью 0.95 относительная частота выпадения «орла» отличалась от вероятности р=0.5этого события не более чем на 5%.

Решение. Воспользуемся формулой (2.8). В нашем случае р=0.5, q=0.5, e=0.5 0.05=0.025. По условию задачи

или Пользуясь таблицей функции Лапласа, по значению функции находим значение аргумента:

т.е.

Отсюда находим, что п=1536.64. Таким образом, надо провести не менее чем 1537 испытаний.

СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ