Применение дифференциала в приближенных вычислениях.
Бесконечно малая функция.
Определение: Функция f(x) называется бесконечно малой в окрестности точки , если .
Теорема (о связи понятий бесконечно малой и предела):
Если функция f(x) при имеет предел, равный числу А, т.е. , то она может быть представлена в виде:
f(x)=A+ ,
где - бесконечно малая функция.
Бесконечно малые величины можно сравнивать. Для этого используют следующее правило сравнения:
Примеры: Сравнить порядок малости величин:
Решение:
Определение дифференциала.
Пусть функция y=f(x) определена на промежутке Х и дифференцируема в некоторой окрестности точки х Х. Тогда существует конечная производная этой функции:
.
На основании теоремы о связи понятий бесконечно малой и предела функции можно записать
где - бесконечно малая величина при ,
откуда
Таким образом, приращение функции состоит из двух слагаемых:
1) линейное относительно -
2) нелинейное – бесконечно малая величина, более высокого порядка, чем , - .
Определение: Дифференциалом функции называется главная, линейная относительно , часть приращения функции, равная произведению производной этой функции на приращение аргумента
dy= .
Замечание. Дифференциал аргумента dx принимают равным приращению аргумента , т.е., dx= .
Тогда равенство примет вид:
Из определения дифференциала функции с одной переменной следует еще одно определение производной функции:
производная функции есть отношение дифференциала функции к дифференциалу аргумента:
Свойства дифференциала.
Как видно из определения дифференциала функции с одной переменной, его вычисление опирается на умение вычислять производные функций, а значит, его вычисление опирается на теорию производных функции с одной переменной.
- На основании определения дифференциала функции дифференциал постоянной равен 0: dc = 0.
2. Постоянный множитель можно выносить за знак дифференциала:
d(Cu) = Cdu.
- Дифференциал алгебраической суммы функций равен алгебраической сумме дифференциалов слагаемых:
d(u v) = du dv.
4. Дифференциал произведения двух функций равен сумме произведений одной из функций на дифференциал другой:
d(uv) = vdu+udv.
5. Дифференциал частного двух функций вычисляется по формуле:
.
6. Свойство инвариантности формы дифференциала (неизменности):
,
т.е., формула дифференциала не изменяется, если вместо функции от аргумента х рассматривать функцию от зависимой переменной (сложная функция).
Замечание: Отработка умений вычислять дифференциалы различных функций – самостоятельная работа студентов.
Применение дифференциала в приближенных вычислениях.
Если приращение аргумента мало по абсолютной величине, то принимают, что приращение функции приблизительно равно дифференциалу функции, т.е., .
Так как , где dx= , то имеет место формула для выполнения приближенных вычислений с помощью понятия дифференциала функции с одной переменной:
ПРИМЕР:
Вычислить приближенно значение выражения :