Приложение к курсовой работе

25 вариантов контрольной работы, разработанные по данному теоретическому материалу. Один вариант контрольной работы включает в себя 10 заданий. При решении некоторых заданий рекомендуется сделать чертеж, что упростит ход действий при ее решении. Все задачи подобранны таким образом, что каждый учащийся который ознакомлен с теорией разобранной в данной курсовой работе сможет дать ответы на задания. Данный комплекс упражнений поможет выявить уровень знаний по данной теме.

Вариант 1.

Задание №1.

Даны координаты вершин пирамиды А₁А₂А₃А₄:

А₁(2;4;3), А₂(7;6;3), А₃(4;9;3), А₄(3;6;7). Найти:

1)Длину ребра А₁А₂;

2) Угол между ребрами А₁А₂ и А₁А₄;

3) Угол между ребром А₁А₄ и гранью А₁А₂А₃;

4) Площадь грани А₁А₂А₃;

5) Объем пирамиды.

Задание №2.

В прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ ребро AB= 2, ребро AD= , ребро АА₁=2. Точка К - середина ребра ВВ₁. Найдите площадь сечения, проходящего через точки A₁,D₁ и К.

Задание№3.

Даны координаты вершин параллелепипеда:A(3;4;4), B(5;1;3), C(2;2;3), D(1;1;5). Найти объем параллелепипеда, его высоту, опущенную из вершины С, угол между вектором AD и гранью, в которой лежат векторы АВ и АС.

Задание №4.

Проверить, лежат ли в одной плоскости точки A(-2;-13;3), B(1;4;1), C(-1;-1;-4), D(0;0;0). Найти линейную зависимость вектора , если это возможно.

Задание №5.

Докажите, что если точки пересечения медиан треугольников ABC и А₁В₁С₁ совпадают, то прямые АА₁, ВВ₁ и СС₁ параллельны некоторой плоскости.

Задание №6.

Ребро куба АBCDA₁B₁C₁D₁ равно . Найдите:

а) расстояние от вершины С до плоскости BDC₁;

б) угол между диагональю грани и плоскостью

Задание №7.

Найдите расстояние между скрещивающимися диагоналями АВ₁ и ВС₁ смежных граней АА₁ВВ₁ и ВВ₁СС₁ куба ABCDA₁B₁C₁D₁, если ребро этого куба равно 6.

Задание№8.
В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ со стороной a точка K является серединой стороны верхнего основания B₁C₁, точка L делит другую сторону C₁D₁ этого основания в отношении 2:1, считая от вершины С₁ , точка N является серединой бокового ребра АА₁. Найдите площадь сечения, проходящего через точки К, L, N.

Задание№9.
В правильной треугольной призме ABCA₁B₁C₁, все ребра которой равны 1, найдите косинус угла между прямыми AB и CA₁.

Задание №10.

В правильной прямоугольной призме ABCA₁B₁C₁все ребра которой равны 1, найдите квадрат косинуса угла между прямыми АВ и А₁С.

Вариант 2.

Задание №1.

Даны координаты вершин пирамиды А₁А₂А₃А₄:
A₁(1;8;2),A₂(5;2;6), A₃(0;-1;-2), A₄(-2;3;-1). Найти:

1) длину ребра А₁А₂;

2) угол между ребрами А₁А₂ и А₁А₄;

3) угол между ребром А₁А₄ и гранью А₁А₂А₃;

4) площадь грани А₁А₂А₃;

5) объем пирамиды.

Задание №2.

Диагональ основания правильной четырехугольной призмы равна 5 , а диагональ призмы наклонена к плоскости основания под углом 60°. Найдите площадь сечения призы, проходящего через сторону нижнего основания и противоположную сторону верхнего основания.

Задание №3.

Даны координаты вершин параллелепипеда: A(1;8;2), В(5;2;6), С(0;-1;-2), D(-2;3;-1). Найти объем параллелепипеда, его высоту, опущенную из вершины С, угол между вектором AD и гранью, в которой лежат векторы АВ и АС.

Задание №4.

Проверить, лежат ли в одной плоскости точки А(4;4;2), В(3;-3;4), С(2;3;-3), D(3;-4; 5). Найти линейную зависимость вектора , если это возможно.

Задание №5.

На двух скрещивающихся прямых отмечены по три точки: A₁, A₂, A₃ и B₁, B₂, B₃, причем A₁A₂=k⋅A₁A₃, В₁В2= k⋅В₁В₃. Докажите, что прямые А₁В₁, А₂В₂, A₃B₃ параллельны некоторой плоскости.

Задание№6.
В кубе , ребро которого равно , найдите:

а) расстояние от вершины до плоскости

б) угол между диагональю грани и плоскостью

Задание №7.

Дан куб ABCDA₁B₁C₁D₁ с длиной ребра AB= . Найдите расстояние между скрещивающимися диагоналями AC и А₁В смежных граней ABCD и AA₁B₁B.

Задание №8.

В правильной треугольной пирамиде SАВС с вершиной S высота равна 3, а боковые ребра равны 6. Найдите площадь сечения этой пирамиды плоскостью, проходящей через середины сторон АВ и АС параллельно прямой SА.

Задание №9.

В правильной треугольной призме ABCA₁B₁C₁, все ребра которой равны 1, точка D середина ребра A₁B₁. Найдите косинус угла между прямыми AD и BC₁.

Задание №10.

В правильной четырехугольной пирамиде SABCD с вершиной S высота равна диагонали основания. Точка F лежит на середине ребра SВ. Найдите квадрат тангенса между прямыми SD и АF.

Вариант №3.

Задание№1.

Даны координаты вершин пирамиды А₁А₂А₃А₄:

А₁(4;3;4), А₂(5;5;3), А₃(6;8;0), А₄(4;5;8). Найти:

1)Длину ребра А₁А₂;

2) Угол между ребрами А₁А₂ и А₁А₄;

3) Угол между ребром А₁А₄ и гранью А₁А₂А₃;

4) Площадь грани А₁А₂А₃;

5) Объем пирамиды.

Задание№2.

В основании треугольной пирамиды SABC лежит прямоугольный треугольник АВС. Середина D гипотенузы этого треугольника является основанием высоты SD данной пирамиды. Известно, что SD=2, AC=4, BC=3. Через середину высоты SD проведено сечение пирамиды плоскостью, параллельной ребрам AC и SB. Найти площадь этого сечения.

Задание№3.

Даны три вершины параллелограмма A(3;-2;4), B(4;0;3), C(7;1;5). Найти длину высоты, опущенной из вершины С (через площадь параллелограмма).

Задание №4.

Проверить, лежат ли в одной плоскости точки А(1;2;3), В(3;-2;1), С(1;1;-3), D(5;-4; 5). Найти линейную зависимость вектора , если это возможно.

Задание№5.

Дан параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁ построенный на векторах . Найти высоту, проведенную из вершины A₁ на грань ABCD.

Задание№6.
Ребро куба АBCDA₁B₁C₁D₁ равно . Найдите:

а) расстояние от вершины С до плоскости BDC₁;

б) угол между диагональю грани и плоскостью

Задание№7.

Основание пирамиды – прямоугольник со сторонами 6 и 8. Одно из боковых рёбер перпендикулярно плоскости основания и равно 6. Найдите расстояние между этим ребром и скрещивающейся с ним диагональю основания, а также боковую поверхность пирамиды.

Задание №8.

На ребре МВ правильной пирамиды МАВС взяты точка К – середина этого ребра и точка L – середина отрезка ВК. Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точку L параллельно прямым КА и МС. Найдите площадь полученного сечения, если сторона основания равна , а боковое ребро равно 2.

Задание №9.

В основании прямой призмы ABCDA₁B₁C₁D₁ лежит ромб ABCD со сторонойи углом А, равным 60°. На ребрах AB, B₁C₁ и DC взяты соответственно точки E, F и K так, что AE=EB, B₁F=FC₁ и DK=3KC. Найдите косинус угла между плоскостями EFK и ABC, если высота призмы равна 5.

Задание№10.

В правильной четырёхугольной призме ABCDA₁B₁C₁D₁ стороны основания равны 1 , а боковые ребра равны 5. На ребре AA₁ отмечена точка E так, что AE:EA₁=2:3. Найдите угол между плоскостями ABC и BED₁.

Вариант №4.

Задание№1.

Даны координаты вершин пирамиды А₁А₂А₃А₄:

А₁(0;-1;1), А₂(6;-4;-5), А₃(9;-3;-1), А₄(1;1;3). Найти:

1)Длину ребра А₁А₂;

2) Угол между ребрами А₁А₂ и А₁А₄;

3) Угол между ребром А₁А₄ и гранью А₁А₂А₃;

4) Площадь грани А₁А₂А₃;

5) Объем пирамиды.

Задание№2.

В параллелограмме ABCD даны векторы Найти площадь параллелограмма, построенного на диагоналях параллелограмма ABCD.

Задание№3.

Даны три вершины параллелограмма . Найти длину высоты, опущенной из вершины С (через площадь параллелограмма).

Задание№4.

Проверить, лежат ли в одной плоскости точки Найти линейную зависимость вектора , если это возможно.

Задание№5.

Докажите, что через данную точку можно провести плоскость, параллельную двум данным скрещивающимся прямым, и притом только одну.

Задание №6.

Ребро куба АBCDA₁B₁C₁D₁ равно . Найдите:

а) расстояние от вершины С до плоскости BDC₁;

б) угол между диагональю грани и плоскостью

Задание№7.

Найдите угол между скрещивающимися медианами двух граней правильного тетраэдра.

Задание№8.

В прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁, AB=BC= , AA₁=2 . Сечение параллелепипеда проходит через точки B и D и образует с плоскостью ABC угол =arctg . Найдите площадь сечения.

Задание№9.

Диаметр АС основания конуса равен образующей РА этого конуса. Хорда основания ВС составляет угол 60⁰. Найдите косинус угла между прямыми АР и ВС.

Задание№10.

В правильной четырехугольной призме ABСDA₁B₁C₁D₁ стороны основания равны 2, а боковые ребра равны 5. На ребре АА₁ отмечена точка Е так, что АЕ:ЕА₁ = 3:2. Найдите угол между плоскостями АВС и ВЕD₁.

Вариант№5.

Задание№1.

Даны координаты вершин пирамиды А₁А₂А₃А₄:

А₁(-5;1;3), А₂(1;-2;-3), А₃(4;-1;1), А₄(-4;3;5). Найти:

1)Длину ребра А₁А₂;

2) Угол между ребрами А₁А₂ и А₁А₄;

3) Угол между ребром А₁А₄ и гранью А₁А₂А₃;

4) Площадь грани А₁А₂А₃;

5) Объем пирамиды.

Задание№2.

В прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ ребро AB= 8, ребро AD= , ребро АА₁=4. Точка К - середина ребра ВВ₁. Найдите площадь сечения, проходящего через точки A₁,D₁ и К.

Задание№3.

Точки A(-2;1;-3), B(3;4;4), C(5;6;0), E(4;6;t) служат вершинами параллелепипеда, объем которого равен 16. Найти t.

Задание№4.

Проверить, лежат ли в одной плоскости точки А(-5;1;3), B(1;-2;-3), C(4;-1;1), D(-4;3;5) Найти линейную зависимость вектора , если это возможно.

Задание№5.

Дан параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁ построенный на векторах . Найти высоту, проведенную из вершины A₁ на грань ABCD.

Задание№6.

Ребро куба АBCDA₁B₁C₁D₁ равно . Найдите:

а) расстояние от вершины С до плоскости BDC₁;

б) угол между диагональю грани и плоскостью

Задание№7.

На ребре СС₁ куба ABCDA₁B₁C₁D₁ отмечена точка Е так, что СЕ:ЕС₁=1:2. Найдите угол между прямыми ВЕ и АС₁.

Задание№8.

В правильной треугольной пирамиде МАВС с вершиной М высота равна 3, а боковые ребра равны 6. Найдите площадь сечения этой пирамиды плоскостью, проходящей через середины сторон АВ и АС параллельно прямой МА.

Задание№9.

В правильной четырехугольной пирамиде АВСMT со стороной основания АВ=4 и высотой ТО₁=1. Найдите косинус угла между прямыми ОТ и MK, где О и К - середины ребер АВ и ТС.

Задание№10.

В правильной треугольной призме ABCA₁B₁C₁, все ребра которой равны 1, точка D середина ребра A₁B₁. Найдите тангенс угла между прямыми AD и BC₁.

Вариант№6.

Задание№1.

Даны координаты вершин пирамиды А₁А₂А₃А₄:

А₁(-1;-3;0), А₂(5;-6;-6), А₃(8;-5;-2), А₄(0;-1;2). Найти:

1)Длину ребра А₁А₂;

2) Угол между ребрами А₁А₂ и А₁А₄;

3) Угол между ребром А₁А₄ и гранью А₁А₂А₃;

4) Площадь грани А₁А₂А₃;

5) Объем пирамиды.

Задание№2.

В правильной четырёхугольной пирамиде MABCD с вершиной M стороны основания равны 6, а боковые рёбра равны 16. Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через точку B и середину ребра MD параллельно прямой AC.

Задание№3.

Проверить, лежат ли точки A(2;-2;2), B(1;2;1), C(2;3;0), D(5;0;-6) в одной плоскости.

Задание№4.

Точки A(-3;2;-3), B(4;4;4), C(6;6;1), E(5;4;t) служат вершинами параллелепипеда, объем которого равен 36. Найти t.

Задание№5.

Дан параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁ построенный на векторах . Найти высоту, проведенную из вершины A₁ на грань ABCD.

Задание№6.

Ребро куба АBCDA₁B₁C₁D₁ равно . Найдите:

а) расстояние от вершины С до плоскости BDC₁;

б) угол между диагональю грани и плоскостью

Задание№7.

В прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ ,AB = 2, AD=AA₁=1. Найдите угол между прямой АВ₁ и плоскостью АВС₁.

Задание №8.

Точка Е - середина ребра АА₁ куба ABCDA₁B₁C₁D₁. Найдите площадь сечения куба плоскостью C₁DE, если ребра куба равны .

Задание№9.

В правильной четырехугольной пирамиде ABCDS с вершиной S боковое ребро АS вдвое больше стороны основания АВ. Найдите угол между прямыми AS и BK, где К – точка пересечения медиан грани СDS.

Задание №10.

Длины всех ребер правильной четырехугольной пирамиды SABCD равны между собой. Найдите угол между прямыми SН и ВМ, если отрезок SН - высота пирамиды, точка М - середина ее бокового ребра АS.

Вариант 7.

Задание №1.

Даны координаты вершин пирамиды А₁А₂А₃А₄:

А₁(-3;-2;-1), А₂(3;-5;-7), А₃(6;-4;-3), А₄(-2;0;1). Найти:

1)Длину ребра А₁А₂;

2) Угол между ребрами А₁А₂ и А₁А₄;

3) Угол между ребром А₁А₄ и гранью А₁А₂А₃;

4) Площадь грани А₁А₂А₃;

5) Объем пирамиды.

Задание№2.

В прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ ребро AB= 4, ребро AD= , ребро АА₁=6. Точка К- середина ребра ВВ₁. Найдите площадь сечения, проходящего через точки A₁,D₁ и К.

Задание№3.

Даны три вершины параллелограмма А(-3;-2;-1), B(3;-5;-7), C(6;-4;-3). Найти длину высоты, опущенной из вершины С (через площадь параллелограмма).

Задание№4.

Точки А(-3;-2;-1), В(3;-5;-7), С(6;-4;-3), D(-2;t;1) служат вершинами параллелепипеда, объем которого равен 64. Найти t.

Задание№5.

Докажите, что если точки пересечения медиан треугольников ABC и А₁В₁С₁ совпадают, то прямые АА₁, ВВ₁ и СС₁ параллельны некоторой плоскости.

Задание№6.

Ребро куба АBCDA₁B₁C₁D₁ равно . Найдите:

а) расстояние от вершины С до плоскости BDC₁;

б) угол между диагональю грани и плоскостью

Задание№7.

На ребре СС₁ куба ABCDA₁B₁C₁D₁ отмечена точка Е так, что СЕ:ЕС₁=1:3. Найдите угол между прямыми ВЕ и АС₁.

Задание№8.

В прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ AB=BC= , AA₁=2 . Сечение параллелепипеда проходит через точки B и D и образует с плоскостью ABC угол =arctg . Найдите площадь сечения.

Задание№9.

Найдите площадь сечения правильной четырехугольной пирамиды SАВСD плоскостью, параллельной апофеме SL боковой грани SВС и медиане АМ боковой грани SАВ и проходящей через середину бокового ребра SC, если сторона основания пирамиды равна 8, а расстояние от вершины пирамиды до секущей плоскости равно 40/21.

Задание№10.

В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ точки E и K середины ребер соответственно A₁B₁ и B₁C₁. Найдите косинус угла между прямыми AE и BK.

Вариант№9.

Задание №1.

Даны координаты вершин пирамиды А₁А₂А₃А₄:

А₁(-1;-4;-4), А₂(12;-1;-13), А₃(6;-6;-7), А₄(-16;1;1). Найти:

1)Длину ребра А₁А₂;

2) Угол между ребрами А₁А₂ и А₁А₄;

3) Угол между ребром А₁А₄ и гранью А₁А₂А₃;

4) Площадь грани А₁А₂А₃;

5) Объем пирамиды.

Задание №2.

Диагональ основания правильной четырехугольной призмы равна 3 , а диагональ призмы наклонена к плоскости основания под углом 30°. Найдите площадь сечения призы, проходящего через сторону нижнего основания и противоположную сторону верхнего основания.

Задание№3.

Даны координаты вершин параллелепипеда: A(-1;-4;-4), B(12;-1;-13), C(6;-6;-7), D(-16;1;1). Найти объем параллелепипеда, его высоту, опущенную из вершины С, угол между вектором AD и гранью, в которой лежат векторы АВ и АС.

Задание №4.

Проверить, лежат ли в одной плоскости точки A(2;6;2), B(0;1;3), C(3;0;3), D(4;4;5). Найти линейную зависимость вектора , если это возможно.

Задание №5.

Докажите, что если точки пересечения медиан треугольников ABC и А₁В₁С₁ совпадают, то прямые АА₁, ВВ₁ и СС₁ параллельны некоторой плоскости.

Задание №6.

Ребро куба АBCDA₁B₁C₁D₁ равно . Найдите:

а) расстояние от вершины С до плоскости BDC₁;

б) угол между диагональю грани и плоскостью

Задание №7.

Найдите расстояние между скрещивающимися диагоналями АВ₁ и ВС₁ смежных граней АА₁В₁В и ВВ₁С₁С куба ABCDA₁B₁C₁D₁, если ребро этого куба равно .

Задание №8.

В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ со стороной a точка K является серединой стороны верхнего основания B₁C₁, точка L делит другую сторону C₁D₁ этого основания в отношении 3:2, считая от вершины С₁ , точка N является серединой бокового ребра АА₁. Найдите площадь сечения, проходящего через точки К, L, N.

Задание№9.

В правильной треугольной призме ABCA₁B₁C₁, все ребра которой равны , найдите косинус угла между прямыми AB и CA₁.

Задание №10.

В правильной прямоугольной призме ABCA₁B₁C₁все ребра которой равны найдите квадрат косинуса угла между прямыми АВ и А₁С.

Вариант№10.

Задание№1.

Даны координаты вершин пирамиды А₁А₂А₃А₄:

А₁(2;2;5), А₂(5;6;4), А₃(3;2;2), А₄(4;0;2). Найти:

1)Длину ребра А₁А₂;

2) Угол между ребрами А₁А₂ и А₁А₄;

3) Угол между ребром А₁А₄ и гранью А₁А₂А₃;

4) Площадь грани А₁А₂А₃;

5) Объем пирамиды.

Задание№2.

В основании треугольной пирамиды SABC лежит прямоугольный треугольник АВС. Середина D гипотенузы этого треугольника является основанием высоты SD данной пирамиды. Известно, что SD=4, AC=6, BC=7. Через середину высоты SD проведено сечение пирамиды плоскостью, параллельной ребрам AC и SB. Найти площадь этого сечения.

Задание№3.

Даны три вершины параллелограммаA(4;4;3), B(6;2;0), C(7;0;8). Найти длину высоты, опущенной из вершины С (через площадь параллелограмма).

Задание №4.

Проверить, лежат ли в одной плоскости точки А(2;4;5), В(5;0;1), С(2;2;-1), D(5;-4; 5). Найти линейную зависимость вектора , если это возможно.

Задание№5.

Дан параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁ построенный на векторах . Найти высоту, проведенную из вершины A₁ на грань ABCD.

Задание№6.

Ребро куба АBCDA₁B₁C₁D₁ равно . Найдите:

а) расстояние от вершины С до плоскости BDC₁;

б) угол между диагональю грани и плоскостью

Задание№7.

Основание пирамиды – прямоугольник со сторонами 12 и 18. Одно из боковых рёбер перпендикулярно плоскости основания и равно 4. Найдите расстояние между этим ребром и скрещивающейся с ним диагональю основания, а также боковую поверхность пирамиды.

Задание№8.

На ребре МВ правильной пирамиды МАВС взяты точка К – середина этого ребра и точка L – середина отрезка ВК. Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точку L параллельно прямым КА и МС. Найдите площадь полученного сечения, если сторона основания равна , а боковое ребро равно 4.

Задание №9.

В основании прямой призмы ABCDA₁B₁C₁D₁ лежит ромб ABCD со сторонойи углом А, равным 45°. На ребрах AB, B₁C₁ и DC взяты соответственно точки E, F и K так, что AE=EB, B₁F=FC₁ и DK=3KC. Найдите косинус угла между плоскостями EFK и ABC, если высота призмы равна 3.

Задание№10.

В правильной четырёхугольной призме ABCDA₁B₁C₁D₁ стороны основания равны 1 , а боковые ребра равны 7. На ребре AA₁ отмечена точка E так, что AE:EA₁=2:1. Найдите угол между плоскостями ABC и BED₁.

Вариант№11.

Задание№1.

Даны координаты вершин пирамиды А₁А₂А₃А₄:

А₁(1;-5;2), А₂(2;-4;-2), А₃(6;-3;-3), А₄(2;0;3). Найти:

1)Длину ребра А₁А₂;

2) Угол между ребрами А₁А₂ и А₁А₄;

3) Угол между ребром А₁А₄ и гранью А₁А₂А₃;

4) Площадь грани А₁А₂А₃;

5) Объем пирамиды.

Задание№2.

В параллелограмме ABCD даны векторы Найти площадь параллелограмма, построенного на диагоналях параллелограмма ABCD.

Задание№3.

Даны три вершины параллелограмма . Найти длину высоты, опущенной из вершины С (через площадь параллелограмма).

Задание№4.

Проверить, лежат ли в одной плоскости точки Найти линейную зависимость вектора , если это возможно.

Задание№5.

Докажите, что через данную точку можно провести плоскость, параллельную двум данным скрещивающимся прямым, и притом только одну.

Задание №6.

Ребро куба АBCDA₁B₁C₁D₁ равно . Найдите:

а) расстояние от вершины С до плоскости BDC₁;

б) угол между диагональю грани и плоскостью

Задание№7.

Найдите угол между скрещивающимися медианами двух граней правильного тетраэдра.

Задание№8.

В прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ AB=BC= , AA₁=2 . Сечение параллелепипеда проходит через точки B и D и образует с плоскостью ABC угол =arctg . Найдите площадь сечения.

Задание№9.

Диаметр АС основания конуса равен образующей РА этого конуса. Хорда основания ВС составляет угол 30⁰. Найдите косинус угла между прямыми АР и ВС.

Задание№10.

В правильной четырехугольной призме ABСDA₁B₁C₁D₁ стороны основания равны 3, а боковые ребра равны 6. На ребре АА₁ отмечена точка Е так, что АЕ:ЕА₁ = 4:3. Найдите угол между плоскостями АВС и ВЕD₁.

Вариант№12.

Задание№1.

Даны координаты вершин пирамиды А₁А₂А₃А₄:

А₁(-3;12;4), А₂(4;-4-30), А₃(7;-2;7), А₄(-2;13;4). Найти:

1)Длину ребра А₁А₂;

2) Угол между ребрами А₁А₂ и А₁А₄;

3) Угол между ребром А₁А₄ и гранью А₁А₂А₃;

4) Площадь грани А₁А₂А₃;

5) Объем пирамиды.

Задание№2.

В прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ ребро AB= , ребро AD= , ребро АА₁=6. Точка К- середина ребра СС₁. Найдите площадь сечения, проходящего через точки A₁,D₁ и К.

Задание№3.

Точки A(-3;5;-3), B(0;1;10), C(0;6;3), E(5;3;t) служат вершинами параллелепипеда, объем которого равен 36. Найти t.

Задание№4.

Проверить, лежат ли в одной плоскости точки А(-7;3;5), B(2;0;-1), C(6;1;-1), D(-2;5;10) . Найти линейную зависимость вектора , если это возможно.

Задание№5.

Дан параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁ построенный на векторах . Найти высоту, проведенную из вершины A₁ на грань ABCD.

Задание№6.

Ребро куба АBCDA₁B₁C₁D₁ равно . Найдите:

а) расстояние от вершины С до плоскости BDC₁;

б) угол между диагональю грани и плоскостью

Задание№7.

На ребре СС₁ куба ABCDA₁B₁C₁D₁ отмечена точка Е так, что СЕ:ЕС₁=2:4. Найдите угол между прямыми ВЕ и АС₁.

Задание№8.

В правильной треугольной пирамиде SАВС с вершиной S высота равна 5, а боковые ребра равны 12. Найдите площадь сечения этой пирамиды плоскостью, проходящей через середины сторон АВ и АС параллельно прямой SА.

Задание№9.

В правильной четырехугольной пирамиде АВСMT со стороной основания АВ=2 и высотой ТО₁=1. Найдите косинус угла между прямыми ОТ и MK, где О и К - середины ребер АВ и ТС.

Задание№10.

В правильной треугольной призме ABCA₁B₁C₁, все ребра которой равны 3, точка D середина ребра A₁B₁. Найдите тангенс угла между прямыми AD и BC₁.

Вариант№13.

Задание№1.

Даны координаты вершин пирамиды А₁А₂А₃А₄:

А₁(0;6;8), А₂(6;3;2), А₃(9;4;6), А₄(2;8;10). Найти:

1)Длину ребра А₁А₂;

2) Угол между ребрами А₁А₂ и А₁А₄;

3) Угол между ребром А₁А₄ и гранью А₁А₂А₃;

4) Площадь грани А₁А₂А₃;

5) Объем пирамиды.

Задание№2.

В прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ ребро AB= , ребро AD= , ребро АА₁=2. Точка К- середина ребра ВВ₁. Найдите площадь сечения, проходящего через точки A₁,D₁ и К.

Задание№3.

Точки A(8;4;6), B(3;0;2), C(1;2;4), E(1;t;2) служат вершинами параллелепипеда, объем которого равен 16. Найти t.

Задание№4.

Проверить, лежат ли в одной плоскости точки А(3;2;3), B(3;-1;1), C(5;0;2), D(-4;3;5) Найти линейную зависимость вектора , если это возможно.

Задание№5.

Дан параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁ построенный на векторах . Найти высоту, проведенную из вершины A₁ на грань ABCD.

Задание№6.

Ребро куба АBCDA₁B₁C₁D₁ равно . Найдите:

а) расстояние от вершины С до плоскости BDC₁;

б) угол между диагональю грани и плоскостью

Задание№7.

На ребре СС₁ куба ABCDA₁B₁C₁D₁ отмечена точка K так, что СЕ:ЕС₁=3:2. Найдите угол между прямыми ВK и АС₁.

Задание№8.

В правильной треугольной пирамиде МАВС с вершиной М высота равна 6, а боковые ребра равны 9. Найдите площадь сечения этой пирамиды плоскостью, проходящей через середины сторон АВ и АС параллельно прямой МА.

Задание№9.

В правильной четырехугольной пирамиде АВСMT со стороной основания АВ=6 и высотой ТО₁=2. Найдите косинус угла между прямыми ОТ и MK, где О и К - середины ребер АВ и ТС.

Задание№10.

В правильной треугольной призме ABCA₁B₁C₁, все ребра которой равны , точка D середина ребра A₁B₁. Найдите тангенс угла между прямыми AD и BC₁.

Вариант №14.

Задание№1.

Даны координаты вершин пирамиды А₁А₂А₃А₄:

А₁(2;-3;5), А₂(0;-1;-2), А₃(3;-4;-3), А₄(0;-2;3). Найти:

1)Длину ребра А₁А₂;

2) Угол между ребрами А₁А₂ и А₁А₄;

3) Угол между ребром А₁А₄ и гранью А₁А₂А₃;

4) Площадь грани А₁А₂А₃;

5) Объем пирамиды.

Задание№2.

В правильной четырёхугольной пирамиде MABCD с вершиной M стороны основания равны , а боковые рёбра равны 8.Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через точку B и середину ребра MD параллельно прямой AC.

Задание№3.

Проверить, лежат ли точки A(2;5;0), B(3;2;4), C(3;0;0), D(2;2;-2) в одной плоскости.

Задание№4.

Точки A(-3;2;-3), B(5;5;5), C(0;1;1), E(5;t;2) служат вершинами параллелепипеда, объем которого равен 36. Найти t.

Задание№5.

Дан параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁ построенный на векторах . Найти высоту, проведенную из вершины A₁ на грань ABCD.

Задание№6.

Ребро куба АBCDA₁B₁C₁D₁ равно . Найдите:

а) расстояние от вершины С до плоскости BDC₁;

б) угол между диагональю грани и плоскостью

Задание№7.

В прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ ,AB = , AD=AA₁= . Найдите угол между прямой АВ₁ и плоскостью АВС₁.

Задание №8.

Точка Е - середина ребра АА₁ куба ABCDA₁B₁C₁D₁. Найдите площадь сечения куба плоскостью C₁DE, если ребра куба равны .

Задание№9.

В правильной четырехугольной пирамиде ABCDS с вершиной S боковое ребро АS вдвое меньше стороны основания АВ. Найдите угол между прямыми AS и BK, где К – точка пересечения медиан грани СDS.

Задание №10.

Длины всех ребер правильной четырехугольной пирамиды SABCD равны . Найдите угол между прямыми SН и ВМ, если отрезок SН - высота пирамиды, точка М - середина ее бокового ребра АS.

Вариант№15.

Задание №1.

Даны координаты вершин пирамиды А₁А₂А₃А₄:

А₁(-6;-4;-2), А₂(1;-3;-5), А₃(4;-2;-1), А₄(0;2;2). Найти:

1)Длину ребра А₁А₂;

2) Угол между ребрами А₁А₂ и А₁А₄;

3) Угол между ребром А₁А₄ и гранью А₁А₂А₃;

4) Площадь грани А₁А₂А₃;

5) Объем пирамиды.

Задание№2.

В прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ ребро AB= , ребро AD= , ребро АА₁= . Точка К- середина ребра ВВ₁. Найдите площадь сечения, проходящего через точки A₁,D₁ и К.

Задание№3.

Даны три вершины параллелограмма А(-4;-1;0), B(1;-3;-5), C(5;-2;-1). Найти длину высоты, опущенной из вершины С (через площадь параллелограмма).

Задание№4.

Точки А(-0;-3;-1), В(5;-3;-1), С(5;-3;-5), D(-6;t;2). служат вершинами параллелепипеда, объем которого равен 36. Найти t.

Задание№5.

Докажите, что если точки пересечения медиан треугольников ABC и А₁В₁С₁ совпадают, то прямые АА₁, ВВ₁ и СС₁ параллельны некоторой плоскости.

Задание№6.

Ребро куба АBCDA₁B₁C₁D₁ равно . Найдите:

а) расстояние от вершины С до плоскости BDC₁;

б) угол между диагональю грани и плоскостью

Задание№7.

На ребре СС₁ куба ABCDA₁B₁C₁D₁ отмечена точка Е так, что СЕ:ЕС₁=4:6. Найдите угол между прямыми ВЕ и АС₁.

Задание№8.

В прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ AB=BC= , AA₁=3 . Сечение параллелепипеда проходит через точки B и D и образует с плоскостью ABC угол =arctg . Найдите площадь сечения.

Задание№9.

Найдите площадь сечения правильной четырехугольной пирамиды SАВСD плоскостью, параллельной апофеме SL боковой грани SВС и медиане АМ боковой грани SАВ и проходящей через середину бокового ребра SC, если сторона основания пирамиды равна 4, а расстояние от вершины пирамиды до секущей плоскости равно 30/11.

Задание№10.

В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ точки E и K середины ребер соответственно A₁B₁ и B₁C₁. Найдите косинус угла между прямыми AE и BK.

Вариант№16.

Задание №1.

Даны координаты вершин пирамиды А₁А₂А₃А₄:

А₁(-2;0;-3), А₂(8;-3;-5), А₃(4;-3;-4), А₄(-10;0;2). Найти:

1)Длину ребра А₁А₂;

2) Угол между ребрами А₁А₂ и А₁А₄;

3) Угол между ребром А₁А₄ и гранью А₁А₂А₃;

4) Площадь грани А₁А₂А₃;

5) Объем пирамиды.

Задание №2.

Диагональ основания правильной четырехугольной призмы равна , а диагональ призмы наклонена к плоскости основания под углом 45°. Найдите площадь сечения призы, проходящего через сторону нижнего основания и противоположную сторону верхнего основания.

Задание№3.

Даны координаты вершин параллелепипеда: A(-0;-5;-3), B(5;-6;-10), C(7;-5;-3), D(-6;2;2). Найти объем параллелепипеда, его высоту, опущенную из вершины С, угол между вектором AD и гранью, в которой лежат векторы АВ и АС.

Задание №4.

Проверить, лежат ли в одной плоскости точки A(6;4;1), B(5;2;7), C(3;7;0), D(0;2;1). Найти линейную зависимость вектора , если это возможно.

Задание №5.

Докажите, что если точки пересечения медиан треугольников ABC и А₁В₁С₁ совпадают, то прямые АА₁, ВВ₁ и СС₁ параллельны некоторой плоскости.

Задание №6.

Ребро куба АBCDA₁B₁C₁D₁ равно . Найдите:

а) расстояние от вершины С до плоскости BDC₁;

б) угол между диагональю грани и плоскостью

Задание №7.

Найдите расстояние между скрещивающимися диагоналями АВ₁ и ВС₁ смежных граней АА₁В₁В и ВВ₁С₁С куба ABCDA₁B₁C₁D₁, если ребро этого куба равно .

Задание №8.

В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ со стороной a точка K является серединой стороны верхнего основания B₁C₁, точка L делит другую сторону C₁D₁ этого основания в отношении 4:3, считая от вершины С₁ , точка N является серединой бокового ребра АА₁. Найдите площадь сечения, проходящего через точки К, L, N.

Задание№9.

В правильной треугольной призме ABCA₁B₁C₁, все ребра которой равны , найдите косинус угла между прямыми AB и CA₁.

Задание №10.

В правильной прямоугольной призме ABCA₁B₁C₁все ребра которой равны найдите квадрат косинуса угла между прямыми АВ и А₁С.

Вариант№17.

Задание№1.

Даны координаты вершин пирамиды А₁А₂А₃А₄:

А₁(5;0;5), А₂(7;6;3), А₃(1;2;3), А₄(7;0;1). Найти:

1)Длину ребра А₁А₂;

2) Угол между ребрами А₁А₂ и А₁А₄;

3) Угол между ребром А₁А₄ и гранью А₁А₂А₃;

4) Площадь грани А₁А₂А₃;

5) Объем пирамиды.

Задание№2.

В основании треугольной пирамиды SABC лежит прямоугольный треугольник АВС. Середина D гипотенузы этого треугольника является основанием высоты SD данной пирамиды. Известно, что SD=2, AC=4, BC=9. Через середину высоты SD проведено сечение пирамиды плоскостью, параллельной ребрам AC и SB. Найти площадь этого сечения.

Задание№3.

Даны три вершины параллелограммаA(5;7;2), B(8;3;0), C(6;0;3). Найти длину высоты, опущенной из вершины С (через площадь параллелограмма).

Задание №4.

Проверить, лежат ли в одной плоскости точки А(5;1;1), В(1;0;2), С(7;5;-1), D(1;-4; 1). Найти линейную зависимость вектора , если это возможно.

Задание№5.

Дан параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁ построенный на векторах . Найти высоту, проведенную из вершины A₁ на грань ABCD.

Задание№6.

Ребро куба АBCDA₁B₁C₁D₁ равно . Найдите:

а) расстояние от вершины С до плоскости BDC₁;

б) угол между диагональю грани и плоскостью

Задание№7.

Основание пирамиды – прямоугольник со сторонами 6 и 10. Одно из боковых рёбер перпендикулярно плоскости основания и равно 3. Найдите расстояние между этим ребром и скрещивающейся с ним диагональю основания, а также боковую поверхность пирамиды.

Задание№8.

На ребре МВ правильной пирамиды МАВС взяты точка К – середина этого ребра и точка L – середина отрезка ВК. Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точку L параллельно прямым КА и МС. Найдите площадь полученного сечения, если сторона основания равна , а боковое ребро равно 2.

Задание №9.

В основании прямой призмы ABCDA₁B₂C₃D₄ лежит ромб ABCD со сторонойи углом А, равным 35°. На ребрах AB, B₁C₁ и DC взяты соответственно точки E, F и K так, что AE=EB, B₁F=FC₁ и DK=3KC. Найдите косинус угла между плоскостями EFK и ABC, если высота призмы равна 8.

Задание№10.

В правильной четырёхугольной призме ABCDA₁B₁C₁D₁ стороны основания равны 2 , а боковые ребра равны 5. На ребре AA₁ отмечена точка E так, что AE:EA₁=3:1. Найдите угол между плоскостями ABC и BED₁.

Вариант№18.

Даны координаты вершин пирамиды А₁А₂А₃А₄:

А₁(6;-8;4), А₂(5;-2;-8), А₃(6;-9;-63), А₄(3;1;5). Найти:

1)Длину ребра А₁А₂;

2) Угол между ребрами А₁А₂ и А₁А₄;

3) Угол между ребром А₁А₄ и гранью А₁А₂А₃;

4) Площадь грани А₁А₂А₃;

5) Объем пирамиды.

Задание№2.

В параллелограмме ABCD даны векторы Найти площадь параллелограмма, построенного на диагоналях параллелограмма ABCD.

Задание№3.

Даны три вершины параллелограмма . Найти длину высоты, опущенной из вершины С (через площадь параллелограмма).

Задание№4.

Проверить, лежат ли в одной плоскости точки Найти линейную зависимость вектора , если это возможно.

Задание№5.

Докажите, что через данную точку можно провести плоскость, параллельную двум данным скрещивающимся прямым, и притом только одну.

Задание №6.

Ребро куба АBCDA₁B₁C₁D₁ равно . Найдите:

а) расстояние от вершины С до плоскости BDC₁;

б) угол между диагональю грани и плоскостью

Задание№7.

Найдите угол между скрещивающимися медианами двух граней правильного тетраэдра.

Задание№8.

В прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ AB=BC= , AA₁=2 . Сечение параллелепипеда проходит через точки B и D и образует с плоскостью ABC угол =arctg . Найдите площадь сечения.

Задание№9.

Диаметр АС основания конуса равен образующей РА этого конуса. Хорда основания ВС составляет угол 45⁰. Найдите косинус угла между прямыми АР и ВС.

Задание№10.

В правильной четырехугольной призме ABСDA₁B₁C₁D₁ стороны основания равны 8, а боковые ребра равны 12. На ребре АА₁ отмечена точка Е так, что АЕ:ЕА₁ = 6:3. Найдите угол между плоскостями АВС и ВЕD₁.

Вариант№19.