I. Определение обратной матрицы без определения матриц, обратных треугольным

Покажем, что обращение матрицы можно произвести и без использования формулы (3.22), т. е. минуя определение матриц I. Определение обратной матрицы без определения матриц, обратных треугольным - student2.ru и I. Определение обратной матрицы без определения матриц, обратных треугольным - student2.ru , обратных тем треугольным, на которые разложена матрица А.

Из формулы (3.22) умножением ее обеих частей сначала слева на матрицу В, а потом справа на матрицу С, получаем

I. Определение обратной матрицы без определения матриц, обратных треугольным - student2.ru .

Но произведение I. Определение обратной матрицы без определения матриц, обратных треугольным - student2.ru матрицы В на обратную ей матрицу I. Определение обратной матрицы без определения матриц, обратных треугольным - student2.ru есть единичная матрица Е, потому

I. Определение обратной матрицы без определения матриц, обратных треугольным - student2.ru , (3.23)

а произведение I. Определение обратной матрицы без определения матриц, обратных треугольным - student2.ru единичной матрицы Е на матрицу I. Определение обратной матрицы без определения матриц, обратных треугольным - student2.ru оставляет эту последнюю без изменений: I. Определение обратной матрицы без определения матриц, обратных треугольным - student2.ru . Поэтому (3.23) перепишется так:

I. Определение обратной матрицы без определения матриц, обратных треугольным - student2.ru . (3.24)

Аналогично легко показать, что

I. Определение обратной матрицы без определения матриц, обратных треугольным - student2.ru . (3.25)

Введем такие обозначения:

1) элементы матрицы А будем обозначать через I. Определение обратной матрицы без определения матриц, обратных треугольным - student2.ru , а элементы ее обратной матрицы – через I. Определение обратной матрицы без определения матриц, обратных треугольным - student2.ru ;

2) элементы треугольных матриц В и С обозначим через I. Определение обратной матрицы без определения матриц, обратных треугольным - student2.ru и I. Определение обратной матрицы без определения матриц, обратных треугольным - student2.ru соответственно, а элементы обратных матриц – через I. Определение обратной матрицы без определения матриц, обратных треугольным - student2.ru и I. Определение обратной матрицы без определения матриц, обратных треугольным - student2.ru .

В развернутом виде формула (3.24) запишется так, причем мы рассмотрим только тот случай, когда диагональные элементы матрицы В равны 1.

I. Определение обратной матрицы без определения матриц, обратных треугольным - student2.ru

I. Определение обратной матрицы без определения матриц, обратных треугольным - student2.ru · I. Определение обратной матрицы без определения матриц, обратных треугольным - student2.ru = I. Определение обратной матрицы без определения матриц, обратных треугольным - student2.ru

I. Определение обратной матрицы без определения матриц, обратных треугольным - student2.ru I. Определение обратной матрицы без определения матриц, обратных треугольным - student2.ru I. Определение обратной матрицы без определения матриц, обратных треугольным - student2.ru

Из этой формулы легко определятся те элементы I. Определение обратной матрицы без определения матриц, обратных треугольным - student2.ru , которые стоят в треугольнике над главной диагональю (для них первый индекс i меньше второго индекса j: i < j). Для этого надо использовать правило умножения матриц и условие равенства двух матриц. Например, умножая элементы первой строки матрицы В на соответствующие элементы второго столбца матрицы I. Определение обратной матрицы без определения матриц, обратных треугольным - student2.ru и приравнивая сумму произведений нулю – элементу I. Определение обратной матрицы без определения матриц, обратных треугольным - student2.ru в матрице I. Определение обратной матрицы без определения матриц, обратных треугольным - student2.ru , получим

I. Определение обратной матрицы без определения матриц, обратных треугольным - student2.ru

или

I. Определение обратной матрицы без определения матриц, обратных треугольным - student2.ru ,

откуда

I. Определение обратной матрицы без определения матриц, обратных треугольным - student2.ru .

Здесь нижний индекс суммирования k = 2есть первый индекс определяемого элемента I. Определение обратной матрицы без определения матриц, обратных треугольным - student2.ru , сложенный с 1, т. е. 2 = 1 + 1. Легко установить и общую формулу для определения элементов I. Определение обратной матрицы без определения матриц, обратных треугольным - student2.ru при i < j

I. Определение обратной матрицы без определения матриц, обратных треугольным - student2.ru . (i < j). (3.26)

Для определения диагональных элементов I. Определение обратной матрицы без определения матриц, обратных треугольным - student2.ru и элементов I. Определение обратной матрицы без определения матриц, обратных треугольным - student2.ru , стоящих под главной диагональю (i > j), воспользуемся формулой (3.25)

I. Определение обратной матрицы без определения матриц, обратных треугольным - student2.ru .

 
  I. Определение обратной матрицы без определения матриц, обратных треугольным - student2.ru

Определяемые из этой формулы элементы стоят в треугольнике первого сомножителя. Напомним, что если диагональные элементы треугольной матрицы равны 1, то в обратной для нее матрице диагональные элементы также равны 1 – см. формулу (3.8).

Например, элемент I. Определение обратной матрицы без определения матриц, обратных треугольным - student2.ru определится из произведения элементов последней строки первого сомножителя на соответствующие элементы последнего столбца второго, если сумму этих произведений приравнять на основании условия равенства двух матриц элементу I. Определение обратной матрицы без определения матриц, обратных треугольным - student2.ru матрицы I. Определение обратной матрицы без определения матриц, обратных треугольным - student2.ru :

I. Определение обратной матрицы без определения матриц, обратных треугольным - student2.ru

I. Определение обратной матрицы без определения матриц, обратных треугольным - student2.ru I. Определение обратной матрицы без определения матриц, обратных треугольным - student2.ru

Рассмотрим вычисление какого-либо другого диагонального элемента, например I. Определение обратной матрицы без определения матриц, обратных треугольным - student2.ru ;

I. Определение обратной матрицы без определения матриц, обратных треугольным - student2.ru ;

I. Определение обратной матрицы без определения матриц, обратных треугольным - student2.ru ;

I. Определение обратной матрицы без определения матриц, обратных треугольным - student2.ru .

(здесь нижний индекс суммирования 4 = 3 + 1, т. е. он равен индексу i определяемого элемента плюс 1) и вообще

I. Определение обратной матрицы без определения матриц, обратных треугольным - student2.ru , (3.27)

а элемент I. Определение обратной матрицы без определения матриц, обратных треугольным - student2.ru , стоящий под главной диагональю (i > j), находят, как легко проверить по формуле

I. Определение обратной матрицы без определения матриц, обратных треугольным - student2.ru . (i > j) (3.28)

Из формул (3.26) и (3.27) видно, что элементы I. Определение обратной матрицы без определения матриц, обратных треугольным - student2.ru обратной матрицы I. Определение обратной матрицы без определения матриц, обратных треугольным - student2.ru выражаются через элементы I. Определение обратной матрицы без определения матриц, обратных треугольным - student2.ru и I. Определение обратной матрицы без определения матриц, обратных треугольным - student2.ru тех треугольных матриц, в виде произведения которых представлена данная матрица А, а элементы матриц, обратных треугольным, определять нет надобности. Для удобства выпишем формулы (3.26), (3.27), (3.28), по которым определяются элементы обратной матрицы:

I. Определение обратной матрицы без определения матриц, обратных треугольным - student2.ru ; (i < j)

I. Определение обратной матрицы без определения матриц, обратных треугольным - student2.ru ; (i = j)

I. Определение обратной матрицы без определения матриц, обратных треугольным - student2.ru ; (i > j).

I. Определение обратной матрицы без определения матриц, обратных треугольным - student2.ru В заключение укажем последовательность, в которой следует вести вычисления элементов I. Определение обратной матрицы без определения матриц, обратных треугольным - student2.ru , так как между ними существует зависимость, определяемая формулами (3.26) – (3.28), причем эту последовательность укажем применительно к матрице пятого порядка (в качестве примера):

Из этой схемы видно, что сначала следует определить элементы последней строки, начиная тоже с последнего I. Определение обратной матрицы без определения матриц, обратных треугольным - student2.ru , а затем элементы последнего столбца, начиная тоже с последнего, затем – элементы предпоследней строки и предпоследнего столбца, опять-таки начиная с последнего и т. д. Стрелки и римские цифры, проставленные на этой схеме, указывают необходимую последовательность.

На практике обратную матрицу получают, пользуясь такой схемой:

1. Выписывают данную матрицу

2. Под ней образуют две треугольные матрицы, произведение которых равно данной (см. предыдущие задачи).

3. Под этими матрицами по формулам (3.26) – (3.28) получают обратную матрицу данной, соблюдая последовательность определения элементов по указанной схеме.

Задача 3.7 Обратить матрицу

I. Определение обратной матрицы без определения матриц, обратных треугольным - student2.ru .

Решение.

I. Определение обратной матрицы без определения матриц, обратных треугольным - student2.ru I. Определение обратной матрицы без определения матриц, обратных треугольным - student2.ru
-1
I. Определение обратной матрицы без определения матриц, обратных треугольным - student2.ru I. Определение обратной матрицы без определения матриц, обратных треугольным - student2.ru I. Определение обратной матрицы без определения матриц, обратных треугольным - student2.ru
I. Определение обратной матрицы без определения матриц, обратных треугольным - student2.ru I. Определение обратной матрицы без определения матриц, обратных треугольным - student2.ru I. Определение обратной матрицы без определения матриц, обратных треугольным - student2.ru
I. Определение обратной матрицы без определения матриц, обратных треугольным - student2.ru I. Определение обратной матрицы без определения матриц, обратных треугольным - student2.ru I. Определение обратной матрицы без определения матриц, обратных треугольным - student2.ru
-13 I. Определение обратной матрицы без определения матриц, обратных треугольным - student2.ru
I. Определение обратной матрицы без определения матриц, обратных треугольным - student2.ru I. Определение обратной матрицы без определения матриц, обратных треугольным - student2.ru I. Определение обратной матрицы без определения матриц, обратных треугольным - student2.ru I. Определение обратной матрицы без определения матриц, обратных треугольным - student2.ru I. Определение обратной матрицы без определения матриц, обратных треугольным - student2.ru
I. Определение обратной матрицы без определения матриц, обратных треугольным - student2.ru I. Определение обратной матрицы без определения матриц, обратных треугольным - student2.ru I. Определение обратной матрицы без определения матриц, обратных треугольным - student2.ru I. Определение обратной матрицы без определения матриц, обратных треугольным - student2.ru
I. Определение обратной матрицы без определения матриц, обратных треугольным - student2.ru I. Определение обратной матрицы без определения матриц, обратных треугольным - student2.ru I. Определение обратной матрицы без определения матриц, обратных треугольным - student2.ru I. Определение обратной матрицы без определения матриц, обратных треугольным - student2.ru
-2
                   

Ниже приведены подробные вычисления элементов I. Определение обратной матрицы без определения матриц, обратных треугольным - student2.ru обратной матрицы.

I. Определение обратной матрицы без определения матриц, обратных треугольным - student2.ru ;

I. Определение обратной матрицы без определения матриц, обратных треугольным - student2.ru ;

I. Определение обратной матрицы без определения матриц, обратных треугольным - student2.ru ;

I. Определение обратной матрицы без определения матриц, обратных треугольным - student2.ru ;

I. Определение обратной матрицы без определения матриц, обратных треугольным - student2.ru ;

I. Определение обратной матрицы без определения матриц, обратных треугольным - student2.ru ;

I. Определение обратной матрицы без определения матриц, обратных треугольным - student2.ru ;

I. Определение обратной матрицы без определения матриц, обратных треугольным - student2.ru ;

I. Определение обратной матрицы без определения матриц, обратных треугольным - student2.ru ;

I. Определение обратной матрицы без определения матриц, обратных треугольным - student2.ru ;

I. Определение обратной матрицы без определения матриц, обратных треугольным - student2.ru ;

I. Определение обратной матрицы без определения матриц, обратных треугольным - student2.ru ;

I. Определение обратной матрицы без определения матриц, обратных треугольным - student2.ru ;

I. Определение обратной матрицы без определения матриц, обратных треугольным - student2.ru ;

I. Определение обратной матрицы без определения матриц, обратных треугольным - student2.ru ;

I. Определение обратной матрицы без определения матриц, обратных треугольным - student2.ru ;

Итак, обратная матрица

I. Определение обратной матрицы без определения матриц, обратных треугольным - student2.ru = I. Определение обратной матрицы без определения матриц, обратных треугольным - student2.ru = I. Определение обратной матрицы без определения матриц, обратных треугольным - student2.ru I. Определение обратной матрицы без определения матриц, обратных треугольным - student2.ru .

Проверка. Должно быть I. Определение обратной матрицы без определения матриц, обратных треугольным - student2.ru · А = Е. Действительно,
I. Определение обратной матрицы без определения матриц, обратных треугольным - student2.ru I. Определение обратной матрицы без определения матриц, обратных треугольным - student2.ru · I. Определение обратной матрицы без определения матриц, обратных треугольным - student2.ru = I. Определение обратной матрицы без определения матриц, обратных треугольным - student2.ru I. Определение обратной матрицы без определения матриц, обратных треугольным - student2.ru = I. Определение обратной матрицы без определения матриц, обратных треугольным - student2.ru =Е.

Наши рекомендации