Скалярным произведением двух векторов называется действительное число, равное произведению длин умножаемых векторов на косинус угла между ними.

Скалярное произведение векторов Скалярным произведением двух векторов называется действительное число, равное произведению длин умножаемых векторов на косинус угла между ними. - student2.ru и Скалярным произведением двух векторов называется действительное число, равное произведению длин умножаемых векторов на косинус угла между ними. - student2.ru будем обозначать как Скалярным произведением двух векторов называется действительное число, равное произведению длин умножаемых векторов на косинус угла между ними. - student2.ru . Тогда формула для вычисления скалярного произведения имеет вид Скалярным произведением двух векторов называется действительное число, равное произведению длин умножаемых векторов на косинус угла между ними. - student2.ru , где Скалярным произведением двух векторов называется действительное число, равное произведению длин умножаемых векторов на косинус угла между ними. - student2.ru и Скалярным произведением двух векторов называется действительное число, равное произведению длин умножаемых векторов на косинус угла между ними. - student2.ru - длины векторов Скалярным произведением двух векторов называется действительное число, равное произведению длин умножаемых векторов на косинус угла между ними. - student2.ru и Скалярным произведением двух векторов называется действительное число, равное произведению длин умножаемых векторов на косинус угла между ними. - student2.ru соответственно, а Скалярным произведением двух векторов называется действительное число, равное произведению длин умножаемых векторов на косинус угла между ними. - student2.ru - угол между векторами Скалярным произведением двух векторов называется действительное число, равное произведению длин умножаемых векторов на косинус угла между ними. - student2.ru и Скалярным произведением двух векторов называется действительное число, равное произведению длин умножаемых векторов на косинус угла между ними. - student2.ru .

Из определения скалярного произведения видно, что если хотя бы один из умножаемых векторов нулевой, то Скалярным произведением двух векторов называется действительное число, равное произведению длин умножаемых векторов на косинус угла между ними. - student2.ru .

Вектор можно скалярно умножить на себя. Скалярное произведение вектора на себя равно квадрату его длины, так как по определению Скалярным произведением двух векторов называется действительное число, равное произведению длин умножаемых векторов на косинус угла между ними. - student2.ru .

Угол между векторами — угол между направлениями этих векторов (наименьший угол).

Скалярным произведением двух векторов называется действительное число, равное произведению длин умножаемых векторов на косинус угла между ними. - student2.ru

По определению, угол между двумя векторами находится в промежутке [0°; 180°].
Угол между векторами Скалярным произведением двух векторов называется действительное число, равное произведению длин умножаемых векторов на косинус угла между ними. - student2.ru обозначается так: Скалярным произведением двух векторов называется действительное число, равное произведению длин умножаемых векторов на косинус угла между ними. - student2.ru .
Если векторы перпендикулярны, то угол между ними равен 90º. Если векторы сонаправлены, в частности один из них или оба нулевые, то угол между ними равен 0о. Если противоположно направленные векторы, то угол между ними равен 180º.
Угол между двумя ненулевыми векторами находится с помощью вычисления скалярного произведения. По определению скалярное произведение равно произведению длин векторов на косинус угла между ними (скалярное произведение для двух векторов с координатами (x1; y1) и (x2; y2) вычисляется по формуле: x1x2 + y1y2).

15. N-мерным вектором называется последовательность Скалярным произведением двух векторов называется действительное число, равное произведению длин умножаемых векторов на косинус угла между ними. - student2.ru чисел. Эти числа называются координатами вектора. Число координат вектора n называется размерностью вектора.

Линейной комбинацией векторов Скалярным произведением двух векторов называется действительное число, равное произведению длин умножаемых векторов на косинус угла между ними. - student2.ru называют вектор

Скалярным произведением двух векторов называется действительное число, равное произведению длин умножаемых векторов на косинус угла между ними. - student2.ru

где Скалярным произведением двух векторов называется действительное число, равное произведению длин умножаемых векторов на косинус угла между ними. - student2.ru - коэффициенты линейной комбинации. Если Скалярным произведением двух векторов называется действительное число, равное произведению длин умножаемых векторов на косинус угла между ними. - student2.ru комбинация называется тривиальной, если Скалярным произведением двух векторов называется действительное число, равное произведению длин умножаемых векторов на косинус угла между ними. - student2.ru - нетривиальной.

Система Скалярным произведением двух векторов называется действительное число, равное произведению длин умножаемых векторов на косинус угла между ними. - student2.ru линейно зависима Скалярным произведением двух векторов называется действительное число, равное произведению длин умножаемых векторов на косинус угла между ними. - student2.ru Скалярным произведением двух векторов называется действительное число, равное произведению длин умножаемых векторов на косинус угла между ними. - student2.ru что Скалярным произведением двух векторов называется действительное число, равное произведению длин умножаемых векторов на косинус угла между ними. - student2.ru

Система Скалярным произведением двух векторов называется действительное число, равное произведению длин умножаемых векторов на косинус угла между ними. - student2.ru линейно независима Скалярным произведением двух векторов называется действительное число, равное произведению длин умножаемых векторов на косинус угла между ними. - student2.ru

16. Векторное (линейное) пространство — это математическая структура, которая формируется набором элементов, называемых векторами, для которых определены операции сложения друг с другом и умножения на число — скаляр.

Размерностью векторного пространства называется число, равное максимальному количеству линейно независимых векторов в этом пространстве.

Базис векторного пространства – это упорядоченная совокупность линейно независимых векторов этого пространства, число которых равно размерности пространства.

17. Скалярным квадратом n-мерного вектора Скалярным произведением двух векторов называется действительное число, равное произведению длин умножаемых векторов на косинус угла между ними. - student2.ru называется скалярное произведение вектора на себя:

Скалярным произведением двух векторов называется действительное число, равное произведению длин умножаемых векторов на косинус угла между ними. - student2.ru

Евкли́дово простра́нство (также Эвкли́дово простра́нство) — в изначальном смысле, пространство, свойства которого описываются аксиомами евклидовой геометрии. В этом случае предполагается, что пространство имеет размерность 3.

В современном понимании, в более общем смысле, может обозначать один из сходных и тесно связанных объектов, определённых ниже. Обычно Скалярным произведением двух векторов называется действительное число, равное произведению длин умножаемых векторов на косинус угла между ними. - student2.ru -мерное евклидово пространство обозначается Скалярным произведением двух векторов называется действительное число, равное произведению длин умножаемых векторов на косинус угла между ними. - student2.ru , хотя часто используется не вполне приемлемое обозначение Скалярным произведением двух векторов называется действительное число, равное произведению длин умножаемых векторов на косинус угла между ними. - student2.ru .

Норма в векторном пространстве Скалярным произведением двух векторов называется действительное число, равное произведению длин умножаемых векторов на косинус угла между ними. - student2.ru над полем вещественных или комплексных чисел — это функционал Скалярным произведением двух векторов называется действительное число, равное произведению длин умножаемых векторов на косинус угла между ними. - student2.ru , обладающий следующими свойствами:

1. Скалярным произведением двух векторов называется действительное число, равное произведению длин умножаемых векторов на косинус угла между ними. - student2.ru

2. Скалярным произведением двух векторов называется действительное число, равное произведению длин умножаемых векторов на косинус угла между ними. - student2.ru (неравенство треугольника);

3. Скалярным произведением двух векторов называется действительное число, равное произведению длин умножаемых векторов на косинус угла между ними. - student2.ru

Эти условия являются аксиомами нормы.

18. Условия ортогональности векторов. Два вектора a и b

ортогональны (перпендикулярны), если их скалярное произведение равно нулю

a· b= 0

Так в случае плоской задачи вектора a= {ax;ay}и b= {bx; by} ортогональны, если a· b = ax · bx + ay · by = 0

Базис e1, e2, … , en в n –мерном евклидовом пространстве En называется ортогональным, если (ei, ej) = 0 ij , т.е. все векторы попарно ортогональны.

Ортогональный базис из единичных векторов называется ортонормированным.

19. Оператором называется правило, по которому каждому элементу x некоторого непустого множества X ставится в соответствие единственный элемент y некоторого непустого множества Y. Говорят, что оператор действует из X в Y.

Действие оператора обозначают y = A(x), y — образ x, x — прообраз y.

Если каждый элемнт y из Y имеет единственный прообраз x из X, y= A(x), оператор называют взаимно однозначным отображением X в Y или преобразованием X, X — область определения оператора.

Пусть X и Y два линейные пространства. Оператор A, действующий из X в Y, называется линейным оператором, если для любых двух элементов uи v из X и любого числа α справедливо:

A(u+ v) = A(u) + A(v) , A(α·u) = α· A(u).

Если элементу x соответствует y, то y называется образом элемента x, а x - прообразом элемента y. Пишут: Скалярным произведением двух векторов называется действительное число, равное произведению длин умножаемых векторов на косинус угла между ними. - student2.ru или y = f(x). Множество Aвсех элементов Скалярным произведением двух векторов называется действительное число, равное произведению длин умножаемых векторов на косинус угла между ними. - student2.ru , имеющих один и тот же образ Скалярным произведением двух векторов называется действительное число, равное произведению длин умножаемых векторов на косинус угла между ними. - student2.ru , называется полным прообразом элемента y.

20. Матрицей линейного оператора в базисах e, f называется матрица A, столбцами которой являются координаты образов базисных векторов базиса e в базисе f , A = {aij}= {A(ej )i}:

Скалярным произведением двух векторов называется действительное число, равное произведению длин умножаемых векторов на косинус угла между ними. - student2.ru

Координаты образа y = A(x) и прообраза x связаны соотношеннием:

y =A· x,

Скалярным произведением двух векторов называется действительное число, равное произведению длин умножаемых векторов на косинус угла между ними. - student2.ru


Скалярным произведением двух векторов называется действительное число, равное произведению длин умножаемых векторов на косинус угла между ними. - student2.ru

21. Наиболее просто устроены матрицы диагонального вида Скалярным произведением двух векторов называется действительное число, равное произведению длин умножаемых векторов на косинус угла между ними. - student2.ru . Возникает вопрос, нельзя ли найти базис, в котором матрица линейного оператора имела бы диагональный вид. Такой базис существует.

Пусть дано линейное пространство Rn и действующий в нем линейный оператор A; в этом случае оператор A переводит Rn в себя, то есть A:Rn → Rn.

Определение. Ненулевой вектор Скалярным произведением двух векторов называется действительное число, равное произведению длин умножаемых векторов на косинус угла между ними. - student2.ru называется собственным вектором оператора A, если оператор A переводит Скалярным произведением двух векторов называется действительное число, равное произведению длин умножаемых векторов на косинус угла между ними. - student2.ru в коллинеарный ему вектор, то есть Скалярным произведением двух векторов называется действительное число, равное произведению длин умножаемых векторов на косинус угла между ними. - student2.ru . Число λ называется собственным значением или собственным числом оператора A, соответствующим собственному вектору Скалярным произведением двух векторов называется действительное число, равное произведению длин умножаемых векторов на косинус угла между ними. - student2.ru .

Отметим некоторые свойства собственных чисел и собственных векторов.

1. Любая линейная комбинация собственных векторов Скалярным произведением двух векторов называется действительное число, равное произведению длин умножаемых векторов на косинус угла между ними. - student2.ru оператора A, отвечающих одному и тому же собственному числу λ, является собственным вектором с тем же собственным числом.

2. Собственные векторы Скалярным произведением двух векторов называется действительное число, равное произведению длин умножаемых векторов на косинус угла между ними. - student2.ru оператора A с попарно различными собственными числами λ1, λ2, …, λmлинейно независимы.

3. Если собственные числа λ12= λm= λ, то собственному числу λ соответствует не более m линейно независимых собственных векторов.

Итак, если имеется Скалярным произведением двух векторов называется действительное число, равное произведению длин умножаемых векторов на косинус угла между ними. - student2.ru линейно независимых собственных векторов Скалярным произведением двух векторов называется действительное число, равное произведению длин умножаемых векторов на косинус угла между ними. - student2.ru , соответствующих различным собственным числам λ1, λ2, …, λn, то они линейно независимы, следовательно, их можно принять за базис пространства Rn. Найдем вид матрицы линейного оператора A в базисе из его собственных векторов, для чего подействуем оператором A на базисные векторы: Скалярным произведением двух векторов называется действительное число, равное произведению длин умножаемых векторов на косинус угла между ними. - student2.ru тогда Скалярным произведением двух векторов называется действительное число, равное произведению длин умножаемых векторов на косинус угла между ними. - student2.ru .

Таким образом, матрица линейного оператора A в базисе из его собственных векторов имеет диагональный вид, причем по диагонали стоят собственные числа оператора A.

Характеристическим многочленом оператора Скалярным произведением двух векторов называется действительное число, равное произведению длин умножаемых векторов на косинус угла между ними. - student2.ru называется многочлен Скалярным произведением двух векторов называется действительное число, равное произведению длин умножаемых векторов на косинус угла между ними. - student2.ru .Характеристический многочлен линейного оператора Скалярным произведением двух векторов называется действительное число, равное произведению длин умножаемых векторов на косинус угла между ними. - student2.ru не зависит от выбора базиса, в котором представлена его матрица. Уравнение Скалярным произведением двух векторов называется действительное число, равное произведению длин умножаемых векторов на косинус угла между ними. - student2.ru называется характеристическим уравнением оператора Скалярным произведением двух векторов называется действительное число, равное произведению длин умножаемых векторов на косинус угла между ними. - student2.ru .

22. Найдем вид матрицы линейного оператора A в базисе из его собственных векторов, для чего подействуем оператором A на базисные векторы: Скалярным произведением двух векторов называется действительное число, равное произведению длин умножаемых векторов на косинус угла между ними. - student2.ru тогда Скалярным произведением двух векторов называется действительное число, равное произведению длин умножаемых векторов на косинус угла между ними. - student2.ru .

Таким образом, матрица линейного оператора A в базисе из его собственных векторов имеет диагональный вид, причем по диагонали стоят собственные числа оператора A.

23. Квадратичная форма — функция на векторном пространстве, задаваемая однородным многочленом второй степени от координат вектора. Матрица квадратичной формы в произвольном базисе совпадает с матрицей полярной ей билинейной формы в том же базисе..

Матрицу Скалярным произведением двух векторов называется действительное число, равное произведению длин умножаемых векторов на косинус угла между ними. - student2.ru называют матрицей квадратичной формы в данном базисе. В случае, если характеристика поля Скалярным произведением двух векторов называется действительное число, равное произведению длин умножаемых векторов на косинус угла между ними. - student2.ru не равна 2, можно считать, что матрица квадратичной формы симметрична, то есть Скалярным произведением двух векторов называется действительное число, равное произведению длин умножаемых векторов на косинус угла между ними. - student2.ru .

Если матрица квадратичной формы имеет полный ранг, то квадратичную форму называют невырожденной, иначе — вырожденной

24. Квадратичная форма называется канонической, если все Скалярным произведением двух векторов называется действительное число, равное произведению длин умножаемых векторов на косинус угла между ними. - student2.ru т. е.

Скалярным произведением двух векторов называется действительное число, равное произведению длин умножаемых векторов на косинус угла между ними. - student2.ru

Всякую квадратичную форму можно привести к каноническому виду с помощью линейных преобразований

Наши рекомендации