Лекції: Наближене диференціювання

1. Постановка задачі наближеного диференціювання

2. Наближене диференціювання за допомогою інтерполяційного многочлена Ньютона

3. Графічне диференціювання

Чисельним диференціювання користуються для відшукання похідної функції, а також для наближеного обчислення похідної аналітично заданої функції, безпосереднє диференціювати яку тяжко.

Для відшукання похідної функції y=f(x) здійснюють інтерполюваня функції на розглядуваному відрізку [a;b] многочленом P_n(x) і його похідну приймають за похідну функції, тобто покладають

f^’(x)=P_n^’(x), a x b (1).

Аналогічно можна поступати і при знаходженні похідних вищих порядків, хоча для похідних порядку вище другого таку процедуру зазвичай не застосовують. Це зв’язано з тим, що похибка наближеної формули (1) мало зв’язана з похибкою інтерполювання. Дійсно, геометрично очевидно, що якщо ординати f(x₁) i P_n(x) кривих y=f(x) i y=P_n(x) в точці х₁ мало відрізняються одна від другої, то це не веде за собою незначної відмінності їх похідних f^’(x₁) i P_n^’(x₁) – кутових коефіцієнтів дотичних до цих кривих (рис). З зростанням порядку похідної точність чисельного диференціювання різко падає.

Для знаходження похідної f^’(x) функції f(x), заданої таблицею з рівностоящими вузлами, використаємо многочлен Ньютона, представлений першою формулою, якщо х ближче до х₀, чи другою, якщо х ближче до х_n. Тоді із P_n(x)=P_n(x₀+th)=y₀+ ,

враховуючи t= , одержимо

P_n^’(x)=(P_n(x₀+th))_x^’=(P_n)^’_t*t_x^’= ,

P_n^”(x)=(P_n^’(x_n+th))_x^’=(P_n^’)_t*t_x^’= .

Аналогічно із P_n(x)=P_n(x_n+th)=y_n+ ,

враховуючи t= , одержимо

P_n^’(x)=(P_n(x_n+th))_x^’=(P_n)^’_t*t_x^’= ,

P_n^”(x)=(P_n^’(x_n+th))_x^’=(P_n^’)_t*t_x^’= .

Відмітимо, що за х₀ чи х_n можна прийняти будь–який проміжний вузол таблиці, тому зазвичай вибирають ближчий до х табличне значення аргументу.

Формули чисельного диференціювання значно спрощуються, якщо похідна відшуковується у вузлі інтерполяції, наприклад в точці х_k . Прийнявши тоді х_k за х_0, одержимо t=0, а із формул одержуємо

P_n^’(x₀)= ,

P_n^”(x)= .

Чисельним диференціювання користуються для відшукання похідної функції, а також для наближеного обчислення похідної аналітично заданої функції, безпосереднє диференціювати яку тяжко.

Для відшукання похідної функції y=f(x) здійснюють інтерполюваня функції на розглядуваному відрізку [a;b] многочленом P_n(x) і його похідну приймають за похідну функції, тобто покладають

f^’(x)=P_n^’(x), a x b (1).

Аналогічно можна поступати і при знаходженні похідних вищих порядків, хоча для похідних порядку вище другого таку процедуру зазвичай не застосовують. Це зв’язано з тим, що похибка наближеної формули (1) мало зв’язана з похибкою інтерполювання. Дійсно, геометрично очевидно, що якщо ординати f(x₁) i P_n(x) кривих y=f(x) i y=P_n(x) в точці х₁ мало відрізняються одна від другої, то це не веде за собою незначної відмінності їх похідних f^’(x₁) i P_n^’(x₁) – кутових коефіцієнтів дотичних до цих кривих (рис). З зростанням порядку похідної точність чисельного диференціювання різко падає.

Для знаходження похідної f^’(x) функції f(x), заданої таблицею з рівностоящими вузлами, використаємо многочлен Ньютона, представлений першою формулою, якщо х ближче до х₀, чи другою, якщо х ближче до х_n. Тоді із P_n(x)=P_n(x₀+th)=y₀+ ,

враховуючи t= , одержимо

P_n^’(x)=(P_n(x₀+th))_x^’=(P_n)^’_t*t_x^’= ,

P_n^”(x)=(P_n^’(x_n+th))_x^’=(P_n^’)_t*t_x^’= .

Аналогічно із P_n(x)=P_n(x_n+th)=y_n+ ,

враховуючи t= , одержимо

P_n^’(x)=(P_n(x_n+th))_x^’=(P_n)^’_t*t_x^’= ,

P_n^”(x)=(P_n^’(x_n+th))_x^’=(P_n^’)_t*t_x^’= .

Відмітимо, що за х₀ чи х_n можна прийняти будь–який проміжний вузол таблиці, тому зазвичай вибирають ближчий до х табличне значення аргументу.

Формули чисельного диференціювання значно спрощуються, якщо похідна відшуковується у вузлі інтерполяції, наприклад в точці х_k . Прийнявши тоді х_k за х_0, одержимо t=0, а із формул одержуємо

P_n^’(x₀)= ,

P_n^”(x)= .

Суть графічного диференціювання полягає в тому, щоб по графіку функції, заданому на деякому відрізку [a;b], будується приблизно графік її похідної. Ця побудова основана на геометричному змісті похідної і по формулі Лагранжа скінчених приростів.

Нехай на малому відрізку [x₀;x₀+ x] заданий графік функції y=f(x). Із формули скінчених приростів слідує, що

f^’( )= ,

де х₀< <x₀+ x. Геометрично вираз, що стоїть справа, це тангенс кута нахилу хорди АВ, а розміщений зліва кутовий коефіцієнт дотичної до цієї точки Є(x₀;x₀+ x). Якщо x мале, то в якості можна взяти точку, що лежить посередині [x₀;x₀+ x], тобто =х₀+ , тоді одержуємо наближену рівність f^’(х₀+ ) .

Для відшукання похідної в точці х₀+ треба знайти тангенс кута нахилу хорди АВ. Для цього проведемо слідуючи побудови. Від точки О (або від любої другої точки зовні відрізка [x₀;x₀+ x]) вліво відкладемо одиничний відрізок ОК і проведемо KD||AB. Величина відрізка OD=OK*tg , де =<DKO=<BAC. Відповідно, OD=f^’(х₀+ ). Проведемо DN паралельно осі ох. Тоді точка N, що відповідає абсцисі х₀+ , буде мати ординатою f^’(х₀+ ), тобто це точка графіка похідної функції f(x).

Нехай тепер функція f(x) задана на відрізку [a;b]. Відрізок [a;b] розіб’ємо на n частинних відрізки, не обов’язково рівних між собою, але так, щоб на кожному із них функція вела себе монотонно. На кожному частинному відрізку проведемо побудови, аналогічні описаним вище для відрізка [x₀;x₀+ x]. В кінці побудовані точки, аналогічні точці N, з’єднуємо ламаною, яка приблизно представляє графік похідної заданої функції f(x).