Лекції: Наближене розв`язування інтегралів

1. Постановка задачі

2. Формули прямокутників

· лівих

· правих

· середніх

3. Формула трапеції

4. Формула Сімпсона

5. Формула Монте - Карло

6. Графічне інтегрування

Нехай функція f(x) задана на деякому відрізку [a;b]. Розглянемо задачу обчислення її визначеного інтеграла Лекції: Наближене розв`язування інтегралів - student2.ru . Якщо для f(x) відома первісна F(x), то інтеграл може бути обчислений точно по основній формулі інтегрального числення – формулі Ньютона-Лейбніца Лекції: Наближене розв`язування інтегралів - student2.ru

Однак первісна лише для вузького классу функцій виражається через елементарні функції, причому нерідко її відшукання зв`язане з дуже громісткими обчисленнями. Крім того, можлива ситуація, коли підінтегральна функція задана не аналітично, а таблично чи графічно. Тому для обчислення визначеного інтеграла часто приходиться застосовувати різні наближені формули. Досить просто ці формули можна одержати, виходячи з геометричного змісту визначеного інтегралу: якщо f(x) Лекції: Наближене розв`язування інтегралів - student2.ru на [a;b], то Лекції: Наближене розв`язування інтегралів - student2.ru - площа криволінійної трапеції, обмеженої відрізком [a;b] осі ох, кривою у=f(x) і прямими х=а, х=b. При наближеному обчисленні криволінійну трапецію заміняють фігурою, обмежену тим же відрізком [a;b], площа якої обчислюється значно простіше. Звідси одержують наближену формулу Лекції: Наближене розв`язування інтегралів - student2.ru =S Лекції: Наближене розв`язування інтегралів - student2.ru , яку використовують для обчислення лише тоді, коли можна оцінити її похибку.

В дальнішому розглядається функція f(x) Лекції: Наближене розв`язування інтегралів - student2.ru для х Лекції: Наближене розв`язування інтегралів - student2.ru [a;b], але одержані результати будуть вірні для будь-якої інтегруючої на [a;b] функції.

Ідея формули прямокутників заключається в тому, що на малому відрізку [x Лекції: Наближене розв`язування інтегралів - student2.ru ;x Лекції: Наближене розв`язування інтегралів - student2.ru +h] площа криволінійної трапеції приблизно рівна площі прямокутника з основою [x Лекції: Наближене розв`язування інтегралів - student2.ru ;x Лекції: Наближене розв`язування інтегралів - student2.ru +h] і висотою, що рівна ординаті в якійсь точці Лекції: Наближене розв`язування інтегралів - student2.ru Лекції: Наближене розв`язування інтегралів - student2.ru [x Лекції: Наближене розв`язування інтегралів - student2.ru ;x Лекції: Наближене розв`язування інтегралів - student2.ru +h], тобто

Лекції: Наближене розв`язування інтегралів - student2.ru .

В залежності від того, яку точку відрізка [x Лекції: Наближене розв`язування інтегралів - student2.ru ;x Лекції: Наближене розв`язування інтегралів - student2.ru +h] вибирають в якості Лекції: Наближене розв`язування інтегралів - student2.ru , і одержимо різновиди формули прямокутників.

Розіб`ємо відрізок [a;b] на n різних частин точками Лекції: Наближене розв`язування інтегралів - student2.ru де h= Лекції: Наближене розв`язування інтегралів - student2.ru

На кожному частинному відрізку [ Лекції: Наближене розв`язування інтегралів - student2.ru ] замінимо відповідну криволінійну трапецію на прямокутник, висоту якого можна визначити по різному.

Формули лівих прямокутників. Якщо вибрати в якості висоти прямокутника на кожному з відрізків [ Лекції: Наближене розв`язування інтегралів - student2.ru ] (і= Лекції: Наближене розв`язування інтегралів - student2.ru ) ординату в лівому кінці, тобто Лекції: Наближене розв`язування інтегралів - student2.ru , то криволінійна трапеція заміниться на ступіньчасту фігуру, площа якої можна прийняти за площу трапеції. Відповідно,

S Лекції: Наближене розв`язування інтегралів - student2.ru , Лекції: Наближене розв`язування інтегралів - student2.ru =S Лекції: Наближене розв`язування інтегралів - student2.ru =h Лекції: Наближене розв`язування інтегралів - student2.ru .

Одержану формулу називають формулою лівих прямокутників.

Ідея формули прямокутників заключається в тому, що на малому відрізку [x Лекції: Наближене розв`язування інтегралів - student2.ru ;x Лекції: Наближене розв`язування інтегралів - student2.ru +h] площа криволінійної трапеції приблизно рівна площі прямокутника з основою [x Лекції: Наближене розв`язування інтегралів - student2.ru ;x Лекції: Наближене розв`язування інтегралів - student2.ru +h] і висотою, що рівна ординаті в якійсь точці Лекції: Наближене розв`язування інтегралів - student2.ru Лекції: Наближене розв`язування інтегралів - student2.ru [x Лекції: Наближене розв`язування інтегралів - student2.ru ;x Лекції: Наближене розв`язування інтегралів - student2.ru +h], тобто

Лекції: Наближене розв`язування інтегралів - student2.ru .

В залежності від того, яку точку відрізка [x Лекції: Наближене розв`язування інтегралів - student2.ru ;x Лекції: Наближене розв`язування інтегралів - student2.ru +h] вибирають в якості Лекції: Наближене розв`язування інтегралів - student2.ru , і одержимо різновиди формули прямокутників.

Розіб`ємо відрізок [a;b] на n різних частин точками Лекції: Наближене розв`язування інтегралів - student2.ru де h= Лекції: Наближене розв`язування інтегралів - student2.ru

На кожному частинному відрізку [ Лекції: Наближене розв`язування інтегралів - student2.ru ] замінимо відповідну криволінійну трапецію на прямокутник, висоту якого можна визначити по різному.

Формула правих прямокутників. Якщо в якості висоти прямокутника вибрати ординату правого кінця частинного відрізка, тобто висота прямокутника на відрізку [ Лекції: Наближене розв`язування інтегралів - student2.ru ] рівна Лекції: Наближене розв`язування інтегралів - student2.ru , i=( Лекції: Наближене розв`язування інтегралів - student2.ru ), то для наближеного обчислення інтеграла одержимо формулу правих прямокутників: S Лекції: Наближене розв`язування інтегралів - student2.ru , Лекції: Наближене розв`язування інтегралів - student2.ru =S Лекції: Наближене розв`язування інтегралів - student2.ru =h Лекції: Наближене розв`язування інтегралів - student2.ru .

Ідея формули прямокутників заключається в тому, що на малому відрізку [x Лекції: Наближене розв`язування інтегралів - student2.ru ;x Лекції: Наближене розв`язування інтегралів - student2.ru +h] площа криволінійної трапеції приблизно рівна площі прямокутника з основою [x Лекції: Наближене розв`язування інтегралів - student2.ru ;x Лекції: Наближене розв`язування інтегралів - student2.ru +h] і висотою, що рівна ординаті в якійсь точці Лекції: Наближене розв`язування інтегралів - student2.ru Лекції: Наближене розв`язування інтегралів - student2.ru [x Лекції: Наближене розв`язування інтегралів - student2.ru ;x Лекції: Наближене розв`язування інтегралів - student2.ru +h], тобто

Лекції: Наближене розв`язування інтегралів - student2.ru .

В залежності від того, яку точку відрізка [x Лекції: Наближене розв`язування інтегралів - student2.ru ;x Лекції: Наближене розв`язування інтегралів - student2.ru +h] вибирають в якості Лекції: Наближене розв`язування інтегралів - student2.ru , і одержимо різновиди формули прямокутників.

Розіб`ємо відрізок [a;b] на n різних частин точками Лекції: Наближене розв`язування інтегралів - student2.ru де h= Лекції: Наближене розв`язування інтегралів - student2.ru

На кожному частинному відрізку [ Лекції: Наближене розв`язування інтегралів - student2.ru ] замінимо відповідну криволінійну трапецію на прямокутник, висоту якого можна визначити по різному.

Формула середніх прямокутників. Висотою прямокутника, побудованого на частинному відрізку, вважають ординату, взяту в середній точці відрізка, тобто Лекції: Наближене розв`язування інтегралів - student2.ru . Тоді S Лекції: Наближене розв`язування інтегралів - student2.ru , Лекції: Наближене розв`язування інтегралів - student2.ru =S Лекції: Наближене розв`язування інтегралів - student2.ru =h Лекції: Наближене розв`язування інтегралів - student2.ru .

Формула трапеції заснована на тому, що на відрізку [x Лекції: Наближене розв`язування інтегралів - student2.ru ;x Лекції: Наближене розв`язування інтегралів - student2.ru +h] дугу кривої у=f(x) заміняють хордою, що стягує кінці цієї дуги, тобто проводять лінійне інтерполювання функції у=f(x). При цьому площу криволінійної трапеції заміняють площою трапеції з основами f(x Лекції: Наближене розв`язування інтегралів - student2.ru ) і f(x Лекції: Наближене розв`язування інтегралів - student2.ru +h) і висотою h, відповідно, Лекції: Наближене розв`язування інтегралів - student2.ru Звідси, щоб обчислити Лекції: Наближене розв`язування інтегралів - student2.ru , розіб`ємо відрізок [a;b] на n рівних частинних відрізки, так що крок Лекції: Наближене розв`язування інтегралів - student2.ru .

Проведемо через точки поділу ординати і замінимо дану криву ламаною, відрізки якої з`єднують кінці двух сусідніх ординат. Криволінійна трапеція при цьому заміниться на фігуру, що складається з n трапецій, висоти яких h, а основи – ординати Лекції: Наближене розв`язування інтегралів - student2.ru , i=( Лекції: Наближене розв`язування інтегралів - student2.ru ) в точках поділу. Площа такої фігури виражається формулою Лекції: Наближене розв`язування інтегралів - student2.ru , а для обчислення інтеграла маємо формулу Лекції: Наближене розв`язування інтегралів - student2.ru =S Лекції: Наближене розв`язування інтегралів - student2.ru =h Лекції: Наближене розв`язування інтегралів - student2.ru , яку називають формулою трапеції.

Метод Сімпсона .

Спосіб наближеного обчислення визначеного інтеграла по формулі Сімпсона заснований на тому, що на відрізку [x Лекції: Наближене розв`язування інтегралів - student2.ru ;x Лекції: Наближене розв`язування інтегралів - student2.ru +2h] дугу кривої у=f(x) заміняють дугою квадратичної параболи, що проходить через точки А(х Лекції: Наближене розв`язування інтегралів - student2.ru ;f(x Лекції: Наближене розв`язування інтегралів - student2.ru )), В(х Лекції: Наближене розв`язування інтегралів - student2.ru +h;f(x Лекції: Наближене розв`язування інтегралів - student2.ru +h)), C(х Лекції: Наближене розв`язування інтегралів - student2.ru +2h;f(x Лекції: Наближене розв`язування інтегралів - student2.ru +2h)), тобто проводять квадратичне інтерполювання функції у=f(x). Тоді за наближене значення площі криволінійної трапеції приймають площу параболічної трапеції, яка має ту саму основу [x Лекції: Наближене розв`язування інтегралів - student2.ru ;x Лекції: Наближене розв`язування інтегралів - student2.ru +2h] і обмежена зверху дугою параболи. Для того, щоб скласти рівняння цієї параболи, використаємо першу інтерполяційну формулу Н`ютона. Складемо многочлен другої степені по трьох вузлах інтерполяції: х Лекції: Наближене розв`язування інтегралів - student2.ru , х Лекції: Наближене розв`язування інтегралів - student2.ru =x Лекції: Наближене розв`язування інтегралів - student2.ru +h, х Лекції: Наближене розв`язування інтегралів - student2.ru =x Лекції: Наближене розв`язування інтегралів - student2.ru +2h. Одержимо Лекції: Наближене розв`язування інтегралів - student2.ru .

Перетворимо цей вираз. Так як х Лекції: Наближене розв`язування інтегралів - student2.ru =x Лекції: Наближене розв`язування інтегралів - student2.ru +h, то (х-x Лекції: Наближене розв`язування інтегралів - student2.ru )*(х-х Лекції: Наближене розв`язування інтегралів - student2.ru )=(х-x Лекції: Наближене розв`язування інтегралів - student2.ru )*((х-x Лекції: Наближене розв`язування інтегралів - student2.ru )-h)=(х-x Лекції: Наближене розв`язування інтегралів - student2.ru ) Лекції: Наближене розв`язування інтегралів - student2.ru -(х-x Лекції: Наближене розв`язування інтегралів - student2.ru )*h i Лекції: Наближене розв`язування інтегралів - student2.ru . Площа параболічної трапеції S Лекції: Наближене розв`язування інтегралів - student2.ru Лекції: Наближене розв`язування інтегралів - student2.ru

Лекції: Наближене розв`язування інтегралів - student2.ru . Якщо ввести позначення Лекції: Наближене розв`язування інтегралів - student2.ru - ордината початку відрізка, Лекції: Наближене розв`язування інтегралів - student2.ru - ордината кінця відрізка, то одержана формула матиме вигляд S Лекції: Наближене розв`язування інтегралів - student2.ru ) (1), де Лекції: Наближене розв`язування інтегралів - student2.ru .

Розділимо тепер відрізок [a;b] на n их частин, причому ввазатимемо n-парним числом, тобто n=2m, тоді Лекції: Наближене розв`язування інтегралів - student2.ru .

Нехай Лекції: Наближене розв`язування інтегралів - student2.ru - точки поділу. Прведемо ординати в цих точках Лекції: Наближене розв`язування інтегралів - student2.ru .З`єднаємо кінці кожних трьох сусідніх ординат дугами парабол, тобто на відрізках криву дугами парабол. Застосуємо до кожного з відрізків формулу (1). Тоді

Лекції: Наближене розв`язування інтегралів - student2.ru , звівши подібні доданки, одержимо Лекції: Наближене розв`язування інтегралів - student2.ru

Лекції: Наближене розв`язування інтегралів - student2.ru (2)

Лекції: Наближене розв`язування інтегралів - student2.ru Формулу (2) називають параболічною формулою чи формулою Сімпсона. Розглянемо задачу відшукання наближеного значення Лекції: Наближене розв`язування інтегралів - student2.ru по формулі (2) і оцінимо похибку одержаного наближення. Для контролю задамо число Е>0 – точність шуканого наближення. Метод розв`язання задачі полягає в наступному. Значення S Лекції: Наближене розв`язування інтегралів - student2.ru послідовно обчислюються по фомулі (2) при n=2,4,8,...,2 Лекції: Наближене розв`язування інтегралів - student2.ru ,..., тобто обчислюються наближення Лекції: Наближене розв`язування інтегралів - student2.ru . Після наступного обчислення (n>2) визначається похибка одержаного наближення: Лекції: Наближене розв`язування інтегралів - student2.ru . Якщо Лекції: Наближене розв`язування інтегралів - student2.ru , то наближення Лекції: Наближене розв`язування інтегралів - student2.ru задовільняє заданій точності. Обчислення закінчене і Лекції: Наближене розв`язування інтегралів - student2.ru = Лекції: Наближене розв`язування інтегралів - student2.ru - наближене значення визначеного інтеграла, при заданому Е>0. В інакшому випадку обчислення повторюються.

Метод Монте-Карло.

Постановка задачі: ми маємо криволінійну трапецію, яка обмежена y=f(x), x=a, x=b і відрізком [a;b]. Необхідно знайти таку фігуру, яка повністю вміщає в себе криволінійну трапецію і достатньо просто знайти площу цієї фігури. Позначимо через S – площу фігури, яка включає криволінійну трапецію. Через S Лекції: Наближене розв`язування інтегралів - student2.ru - площу криволінійної трапеції. Через N –кількість точок, які ми будемо вкидати у фігуру площі S. А через N Лекції: Наближене розв`язування інтегралів - student2.ru - кількість точок, які попадуть у криволінійну трапецію. Тоді справедливе співвідношення Лекції: Наближене розв`язування інтегралів - student2.ru . Звідси Лекції: Наближене розв`язування інтегралів - student2.ru .

Зауваження 1: В оптимальному випадку відшуковується max значення функції y=f(x) на відрізку [a;b] і обчислюється площа прямокутника зі сторонами :

1) 1) сторона b-a,

2) 2) сторона max(f(x)).

Зауваження 2: Результат обчислення не залежить від вигляду і площі фігури, яка включає криволінійну трапецію.

Зауваження 3: Для складання програми необхідно використати генератор випадкових чисел. Перед цим необхідно активізувати його за допомогою стрічечки рандомайс.

Графічного інтегрування.

Наближене обчислення інтеграла методом графічного інтегрування застосовується тоді, коли підінтегральна функція задана графічно. Нехай на [a;b] задана неперервна крива, рівняння якої y=f(x). На основі теореми про середнє для визначеного інтеграла існує така точка Лекції: Наближене розв`язування інтегралів - student2.ru [a;b], що

Лекції: Наближене розв`язування інтегралів - student2.ru . Геометрично це означає, що площа криволінійної трапеції чисельно рівна площі прямокутника з основою [a;b] і висотою f( Лекції: Наближене розв`язування інтегралів - student2.ru ). Розглянемо криволінійну трапецію і проведемо горизонтальну пряму приблизно так, щоб одержати потрібний прямокутник. Абсцисами точок перетину прямої і кривої будуть ті точки Лекції: Наближене розв`язування інтегралів - student2.ru , про яких згадується у теоремі про середнє. Відкладемо на осі ох зліва від початку координат одиничний відрізок ОР і продовжимо проведену горизонтальну пряму до перетину з віссю ординат (якщо а<0, то краще спочатку зліва від а провести вертикальну пряму і при дальніших діях замінити вісь оу цією прямою). Нехай пряма перетне вісь оу в точці Q, тоді ОQ =f( Лекції: Наближене розв`язування інтегралів - student2.ru ). З`єднаємо точки Р і Q і з точки а проведемо пряму аМ, паралельно РQ, до перетину в точці М з вертикаллю, проведеною з точки b. Покажемо, що bМ= Лекції: Наближене розв`язування інтегралів - student2.ru , тобто величина побудованого відрізка чисельно рівна значенню визначеного інтеграла. Дійсно, Лекції: Наближене розв`язування інтегралів - student2.ru . Звідси

Лекції: Наближене розв`язування інтегралів - student2.ru

Зауваження: Функція f(x)>0. Однак одержаний результат має місце для будь-якої неперервної на [a;b] функції y=f(x). Наприклад, функція f(x) міняє знак на [a;b]. Заштриховані площі на рисунку 2 приблизно рівні. Оскільки площа частини криволінійної трапеції, розміщеної нище осі ох, більша, то Лекції: Наближене розв`язування інтегралів - student2.ru буде від`єним. Проводячи попередні побудови, одержимо відрізок bM, величина якого від`ємна і тут bM= Лекції: Наближене розв`язування інтегралів - student2.ru .

На основі проведеної побудови і проводиться графічне інтегрування.

Наши рекомендации