Основні правила диференціювання

Основні теореми про границі функцій

Теорема 1. Якщо функції Основні правила диференціювання - student2.ru і Основні правила диференціювання - student2.ru в точці Основні правила диференціювання - student2.ru мають границі, то сума і добуток цих функцій також мають у цій точці границю, причому
Основні правила диференціювання - student2.ru ;
Основні правила диференціювання - student2.ru .
Теорема 2. Якщо функції Основні правила диференціювання - student2.ru і Основні правила диференціювання - student2.ru в точці Основні правила диференціювання - student2.ru мають границі й Основні правила диференціювання - student2.ru , то й функція Основні правила диференціювання - student2.ru має в цій точці границю, яка дорівнює
Основні правила диференціювання - student2.ru .
Теорема 3. Якщо при Основні правила диференціювання - student2.ru функція Основні правила диференціювання - student2.ru має границю A, то ця границя єдина.

11)Гіпербола.Означення. Множина точок площини, для яких модуль різниці відстаней від двох заданих точок, що називаються фокусами, є величиною сталою, яка дорівнює 2а і менша за відстань між фокусами, називається гіперболою.

Канонічне рівняння гіперболи має вигляд:

Основні правила диференціювання - student2.ru , де b2 = c2 – a2.

Парабола.Означення. Множина то­чок площини, що містяться на одна-
ковій відстані від даної точки фокуса
і даної прямої, яка не проходить че-
рез фокус і називається директрисою, є парабола.

Основні правила диференціювання - student2.ru або у2 = 2рх

— канонічне рівняння параболи, коли e = 1. Парабола симетрична осі Ох, проходить через початок системи координат.

12 Означення. Функція Основні правила диференціювання - student2.ru називається неперервною в точці Основні правила диференціювання - student2.ru якщо Основні правила диференціювання - student2.ru

Властивості неперервних функцій

Теорема 1. Якщо функції Основні правила диференціювання - student2.ru і Основні правила диференціювання - student2.ru неперервні у точці Основні правила диференціювання - student2.ru то у цій точці будуть неперервними функції Основні правила диференціювання - student2.ru Основні правила диференціювання - student2.ru Основні правила диференціювання - student2.ru ; в останньому випадку за умови, що Основні правила диференціювання - student2.ru

Теорема 2. Якщо функція Основні правила диференціювання - student2.ru — неперервна для Основні правила диференціювання - student2.ru а функція Основні правила диференціювання - student2.ru — неперервна для Основні правила диференціювання - student2.ru і значення функції Основні правила диференціювання - student2.ru то складна функція Основні правила диференціювання - student2.ru — неперервна для Основні правила диференціювання - student2.ru

Теорема 3 (Коші). Якщо функція Основні правила диференціювання - student2.ru неперервна на закритому проміжку Основні правила диференціювання - student2.ru і на кінцях проміжку набуває значення різних знаків (наприклад Основні правила диференціювання - student2.ru ), тоді на відкритому проміжку Основні правила диференціювання - student2.ru існує така точка х = с, що Основні правила диференціювання - student2.ru

Методика дослідження функції на неперервність.

1. Знайти область визначення функції D(y).

2. Визначити скінченні граничні точки D(y) і обчислити односторонні границі функції у цих точках.

3. Зробити висновок про характер точок розриву (якщо вони є) і побудувати графік функції поблизу цих точок

13) Означення. Похідною функції Основні правила диференціювання - student2.ru за аргументом х називається границя відношення приросту функції до приросту аргументу, коли приріст аргументу прямує до нуля.

Операція знаходження похідної називається диференціюванням цієї функції.

Геометричний зміст похідної— похідна Основні правила диференціювання - student2.ru чисельно дорівнює кутовому коефіцієнту дотичної, проведеної до графіка функції Основні правила диференціювання - student2.ru у точці з абсцисою х.

Механічний зміст похідної

Припустимо, що точка М рухається прямолінійно нерівномірно по деякій прямій лінії, яку візьмемо за вісь ОхРух точки відбувається за законом х = f (t), де х — шлях; t — час. Знайдемо швидкість точки М у да-
ний момент часу t (миттєва швидкість).

Нехай точка М у момент t перебувала на відстані х від початкової точки М0, а в момент часу Основні правила диференціювання - student2.ru точка опинилася на відстані Основні правила диференціювання - student2.ru від початкової точки й зайняла положення М1. Отже, час t набув приросту Основні правила диференціювання - student2.ru , а шлях х — приросту Основні правила диференціювання - student2.ru . Середня швидкість руху точки М за час Основні правила диференціювання - student2.ru описується формулою Основні правила диференціювання - student2.ru .

Основні правила диференціювання

Теорема 1. Похідна сталої дорівнює нулю, тобто якщо у = с, де с = const, то Основні правила диференціювання - student2.ru .

Наши рекомендации