Свободные колебания пружинного маятника
Цель работы: Изучение колебаний пружинного маятника. Определение жесткости пружины и основных параметров колебаний: периода, коэффициента затухания, добротности.
Пружинным маятником называется система, состоящая из груза массой m, подвешенного на упругой пружине (рис.1), причем масса
пружины пренебрежимо мала по
сравнению с массой груза. Если вывести груз из положения равновесия, то, со стороны деформированной на величину x пружины, на груз подействует возвращающая сила F, пропорциональная, согласно закону Гука величине смещения.
F=-kx . (1)
Здесь k - коэффициент жесткости пружины.
Движению груза противодействует сила сопротивления, которая при небольшой скорости движения пропорциональна ее величине, т.е.
fсопр= . (2)
Здесь r - коэффициент сопротивления.
Уравнение движения груза массой m в соответствии со 2-м законом Ньютона запишется в виде: ma = F+fсопр. Т.к. ускорение а = , то после подстановки получим:
. (3)
Введем обозначения:
, , (4)
где b - коэффициент затухания, w0 - циклическая частота свободных незатухающих колебаний, T0 -их период. Получим стандартное дифференциальное уравнение затухающих колебаний:
(5)
Решение уравнения (5) имеет вид:
, (6),
где - убывающая со временем амплитуда, которая в начальный момент времени t=0 равнялась А0; j0 - начальная фаза колебаний, w - циклическая частота затухающих колебаний.
(7)
Если масса колеблющегося груза велика, то влияние коэффициента затухания на частоту незначительно, т.е. , и им часто пренебрегают. В этом случае период колебаний пружинного маятника можно считать равным периоду его незатухающих колебаний:
(8)
Коэффициент затухания b и обратно пропорциональная ему величина добротность Q являются важнейшими характеристиками колебательной системы, параметрами контроля качества изделий в ряде областей машиностроения. Например, чем быстрее происходит затухание колебаний в лопатках турбин, деталях машин, самолетов, тем меньше разрушаются механизмы; в камертонах, струнах, колоколах, напротив, добиваются минимального затухания или максимальной добротности. Добротностью Q называется величина, пропорциональная отношению запасенной энергии к энергии, потерянной за период:
(9)
Здесь d=bT -логарифмический декремент затухания.
По величине добротности можно судить о том, как много колебаний совершит система до остановки. Для определения добротности Q по формуле (9) нужно измерить потерю энергии за период, что весьма сложно. Поэтому оценивают потерю энергии Q` за время t1=nT (n - число полных колебаний), в течение которого амплитуда уменьшится в S раз: . Так как вся энергия маятника может быть выражена через его максимальную потенциальную энергию, связанную с амплитудой соотношением:
(10)
а амплитуда со временем убывает по экспоненте , то
= . (11)
Здесь использовано разложение экспоненты в ряд
Из (11) следует формула для вычисления добротности:
(12)
Зная добротность Q , можно из (4) , (9) и (12) найти коэффициент затухания системы b и коэффициент сопротивления r:
; r=2mb (13).