Основними фігурами в просторі є точка, пряма і площина.
Хід уроку.
І. Узагальнення та систематизація знань учнів.
Просторові геометричні фігури
У 7–9 класах ви познайомилися із планіметрією. Планіметрія – це розділ геометрії, в якому вивчають властивості плоских геометричних фігур: трикутників, паралелограмів, кіл тощо.
Але, крім плоских фігур, існують і просторові фігури: прямокутний паралелепіпед, куб, піраміда, циліндр, конус, куля. Багато оточуючих нас предметів мають форму прямокутного паралелепіпеда: класна кімната, цегла, сірникова коробка тощо. Популярна в усьому світі іграшка — кубик-Рубік – має форму куба. Добре відомі піраміди Стародавнього Єгипту дають нам уявлення про широкий клас геометричних тіл, які називають пірамідами.
У курсі математики 5–6 класів ви вчилися будувати зображення цих просторових фігур. На рис. 1 зображено прямокутний паралелепіпед.
Прямокутний паралелепіпед – це просторова геометрична фігура, обмежена шістьма прямокутниками, які називаються гранями. Сторони прямокутників називаються ребрами прямокутного паралелепіпеда.
Завдання 1.
Назвіть вершини, ребра, грані прямокутного паралелепіпеда, зображеного на рис. 1.
Куб — це прямокутний паралелепіпед, у якого всі шість граней квадрати (рис. 2).
Завдання 2.
Назвіть передню, задню, ліву, праву, верхню, нижню грані куба, зображеного на рис. 2.
Верхню і нижню грані прямокутного паралелепіпеда називають основами, а ребра цих граней — ребрами основи, інші ребра називають бічними ребрами, а інші грані — бічними гранями.
Завдання 3.
Назвіть бічні ребра прямокутного паралелепіпеда (див. рис. 1) та куба (див. рис. 2).
n-кутною пірамідою називають геометричне тіло, обмежене n-кутником (який називають основою піраміди) і n трикутниками (бічними гранями) із спільною вершиною (яка називають вершиною піраміди). На рис. 3 зображено трикутну піраміду, яку ще називають тетраедром, на рис. 4 — чотирикутну піраміду.
Завдання 4.
Назвіть основи, бічні грані, бічні ребра, ребра основи, вершини пірамід, зображених на рис. 3 і 4.
Паралелепіпеди і піраміди — це представники великого класу геометричних фігур, які називають многогранниками. Окрім многогранників, у геометрії розглядають і інші просторові фігури: циліндри, конуси, кулі тощо.
Розділ геометрії, в якому вивчають властивості просторових фігур, називається стереометрією.
У 10 та 11 класах ми будемо вивчати властивості просторових фігур.
ІІ. Сприйняття й усвідомлення нового матеріалу.
Основні поняття стереометрії
Основними фігурами в просторі є точка, пряма і площина.
Уявлення про точки і прямі ви маєте з курсу планіметрії. Нагадаємо, що точки позначаються великими латинськими буквами, наприклад, точки А, В, С...; прямі позначаються малими латинськими буквами, наприклад, прямі а, b, с..., або двома великими буквами, наприклад, АВ, ВС, CD... Матеріальними моделями частини площини є, наприклад, поверхня стола, поверхня віконного скла, поверхня мармурової плити тощо. У геометрії площину мислять необмеженою, ідеально рівною і гладенькою.
Зображають площини у вигляді паралелограма (рис. 5) або у вигляді довільної області (рис. 6).
Позначають площини грецькими буквами, наприклад, α, β , γ... На рис. 5 зображено площину α , на рис. 6 — площину β. Грані многогранників — це частини площин.
Як і будь-яка геометрична фігура, площина складається з точок. Якщо точка А лежить у площині α, говорять, що площина α проходить через точку А, і записують: А α. Якщо точка А не лежить у площині α, говорять, що площина α не проходить через точку А, і записують: А α.
Якщо кожна точка прямої а лежить у площині α , говорять, що пряма а лежить у площині α , або площина α проходить через пряму а, і записують: а α. Запис а α означає, що пряма а не лежить у площині α.
Завдання 5.
Побудуйте та запишіть за допомогою символів:
а) площину α і точку А, що лежить у ній;
б) площину α і точку В, яка не лежить у ній;
в) площину β, яка проходить через пряму а;
г) площину γ та пряму а, яка не лежить у площині γ;
д) дві площини α і β, які проходять через пряму с.
Аксіоми стереометрії
Як і в планіметрії, властивості основних фігур у стереометрії виражаються аксіомами.
Нагадаємо, що в планіметрії властивість прямих і точок виражалася аксіомою:
Яка б не була пряма, існують точки, які належать їй, і точки, які їй не належать.
Наприклад, на рис. 3 точки А і В належать прямій АВ, а точки S і С їй не належать.
Взявши яку-небудь площину (наприклад, площину підлоги класної кімнати), ми можемо вказати точки, які належать цій площині, і точки, які їй не належать. Тому однією із властивостей площини є аксіома С1:
Яка б не була площина, існують точки, які належать цій площині, і точки, які не належать їй.
Завдання 6.
Користуючись зображенням куба на рис. 2, вкажіть точки, які:
а) не належать передній грані; в) належать верхній грані;
б)належать грані ABCD; г) не належать грані А1В1ВА.
Розглянемо другу аксіому стереометрії С2: