Метод Гаусса решения линейных систем

Замечание. Линейная система (2.2) может иметь единственное решение, бесконечно много решений или не иметь ни одного решения.

Примеры:

1. Метод Гаусса решения линейных систем - student2.ru . Единственным решением является пара чисел х = 1, у = 2.

2. Метод Гаусса решения линейных систем - student2.ru . Решением этой системы будут любые два числа х и у, удовлетворяющие условию у = 3 – х. Например, х=1, у=2; х=0, у=3 и т. д.

3. Метод Гаусса решения линейных систем - student2.ru . Очевидно, что эта система не имеет решений, так как разность двух чисел не может принимать двух различных значений.

Условия существования и количества решений линейной системы будут изучены в дальнейшем, а пока рассмотрим способы нахождения единственного решения системы,

в которой число уравнений равно числу неизвестных: Метод Гаусса решения линейных систем - student2.ru (2.3)

Пусть Метод Гаусса решения линейных систем - student2.ru (этого всегда можно добиться, поменяв уравнения местами). Разделим обе части первого уравнения на Метод Гаусса решения линейных систем - student2.ru и вычтем полученное уравнение из каждого из остальных уравнений системы, умножив его предварительно на Метод Гаусса решения линейных систем - student2.ru где i – номер очередного уравнения. Как известно, полученная при этом новая система будет равносильна исходной. Коэффициенты при Метод Гаусса решения линейных систем - student2.ru во всех уравнениях этой системы, начиная со второго, будут равны 0, т.е. система выглядит так:

Метод Гаусса решения линейных систем - student2.ru .

Если новые коэффициенты при х2 не все равны нулю, можнотаким же образом исключить Метод Гаусса решения линейных систем - student2.ru из третьего и последующих уравнений. Продолжая эту операцию для следующих неизвестных, приведем систему к так называемому треугольному виду:

Метод Гаусса решения линейных систем - student2.ru . (2.4)

Здесь символами Метод Гаусса решения линейных систем - student2.ru и Метод Гаусса решения линейных систем - student2.ru обозначены изменившиеся в результате преобразований числовые коэффициенты и свободные члены.

Из последнего уравнения системы (2.4) единственным образом определяется Метод Гаусса решения линейных систем - student2.ru , а затем последовательной подстановкой – остальные неизвестные.

Замечание. Иногда в результате преобразований в каком-либо из уравнений обращаются в 0 все коэффициенты и правая часть, то есть оно превращается в тождество 0=0. Исключив его из системы, мы уменьшим число уравнений по сравнению с числом неизвестных. Такая система не может иметь единственного решения.

Если же в процессе применения метода Гаусса какое-нибудь уравнение превратится в равенство вида 0=1 (коэффициенты при неизвестных обратились в 0, а правая часть приняла ненулевое значение), то исходная система не имеет решения, так как подобное равенство является неверным при любых значениях неизвестных.

Примеры:

1. Решим методом Гаусса систему Метод Гаусса решения линейных систем - student2.ru

Вычтем из второго уравнения удвоенное первое, а из третьего – первое, умноженное на 5.

Получим: Метод Гаусса решения линейных систем - student2.ru . Теперь вычтем из третьего уравнения удвоенное второе, а затем разделим второе уравнение на –7 (коэффициент при у), а третье – на 15 (новый коэффициент при z). Система примет вид:

Метод Гаусса решения линейных систем - student2.ru . Отсюда z=3, y=2, x=1 – единственное решение системы.

2. Система Метод Гаусса решения линейных систем - student2.ru после исключения х из второго и третьего уравнений примет вид: Метод Гаусса решения линейных систем - student2.ru . Если затем вычесть второе уравнение из третьего, то последнее уравнение станет тождеством 0=0. В системе осталось два уравнения: Метод Гаусса решения линейных систем - student2.ru . Ее решение можно записать в виде: х = -2, у – любое число, z = 7 – y. Таким образом, система имеет бесконечно много решений.

3. Метод Гаусса решения линейных систем - student2.ru . Применив к этой системе метод Гаусса, получим Метод Гаусса решения линейных систем - student2.ru ,

откуда Метод Гаусса решения линейных систем - student2.ru . Последнее равенство является неверным при любых значениях неизвестных, следовательно, система не имеет решения.

Правило Крамера.

Рассмотрим систему (2.3). Назовем главным определителем этой системы определитель Метод Гаусса решения линейных систем - student2.ru , элементами которого являются коэффициенты при неизвестных:

Метод Гаусса решения линейных систем - student2.ru Метод Гаусса решения линейных систем - student2.ru .

Предположим сначала, что Метод Гаусса решения линейных систем - student2.ru Умножим каждое уравнение системы (2.3) на алгебраические дополнения Метод Гаусса решения линейных систем - student2.ru элементов j-го столбца Метод Гаусса решения линейных систем - student2.ru

Сложив затем все уравнения, получим:

Метод Гаусса решения линейных систем - student2.ru . (2.5)

Отметим, что Метод Гаусса решения линейных систем - student2.ru .

(j-й столбец)

(Результат получен из разложения определителя по j-му столбцу). Такой определитель равен 0 при Метод Гаусса решения линейных систем - student2.ru и равен Метод Гаусса решения линейных систем - student2.ru при i = j. Правая часть равенства (2.5) представляет собой определитель Метод Гаусса решения линейных систем - student2.ru , в котором вместо j-го столбца стоит столбец свободных членов системы (2.3). Назовем такой определитель Метод Гаусса решения линейных систем - student2.ru . Рассматривая j = 1,2,…,n, получим систему, эквивалентную исходной: (2.6) . Разделив все уравнения на Метод Гаусса решения линейных систем - student2.ru , найдем единственное решение: Метод Гаусса решения линейных систем - student2.ru .

Предположим теперь, что Метод Гаусса решения линейных систем - student2.ru =0. Тогда система (2.6) примет вид: Метод Гаусса решения линейных систем - student2.ru .

В этом случае, если все Метод Гаусса решения линейных систем - student2.ru =0, система выглядит так: Метод Гаусса решения линейных систем - student2.ru и имеет бесконечно много решений. Если же хотя бы один из Метод Гаусса решения линейных систем - student2.ru Метод Гаусса решения линейных систем - student2.ru система решений не имеет.

Таким образом, правило Крамера позволяет найти единственное решение системы (2.3) или сделать вывод о существовании бесконечного числа решений либо об их отсутствии:

Наши рекомендации