Примеры для самостоятельной работы. а) Вычислить определители третьего порядка:
а) Вычислить определители третьего порядка:
1. 
2. 
3. 
4. 
6. 
7. 
8. 
9. 
10. 
11. 
12. 
13. 
14. 
15. 
16. 
17. 
18. 
19. 
20. 
21. 
22. 
23. 
24. 
26. 
27. 
28. 
29. 
30. 
б) Вычислить определители четвертого порядка:
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 
8. 
9. 
10. 
11. 
12. 
13. 
14. 
15. 
16. 
17. 
18. 
19. 
20. 
21. 
22. 
23. 
24. 
25. 
26. 
27. 
28. 
29. 
30. 
Задание №4
Пример 6.Пользуясь правилом умножения матриц, представить в виде определителя произведение определителей .
Решение.
Примеры для самостоятельной работы
Пользуясь правилом умножения матриц, представить в виде определителя произведение определителей:
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 
8. 
9. 
10. 
11. 
12. 
13. 
14. 
15. 
16. 
17. 
18. 
19. 
20. 
21. 
22. 
23. 
24. 
25. 
26. 
27. 
28. 
29. 
30. 
Задание №5
Пример 7. Найти обратную матрицу для матрицы 
.
Решение.Вычислим определитель матрицы
.
Определитель detА¹0, следовательно, матрица А имеет обратную.
Составим транспонированную матрицу АТ для матрицы А:
.
Найдем алгебраические дополнения элементов матрицы АТ:
Тогда матрица, составленная из алгебраических дополнений матрицы АТ, запишется в виде: 
.
Запишем обратную матрицу:
.
Покажем, что А×А-1=Е.
Действительно,
.
Примеры для самостоятельной работы
Найти обратную матрицу для матрицы:
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 
8. 
9. 
10. 
11. 
12. 
13. 
14. 
15. 
16. 
17. 
18. 
19. 
20. 
21. 
22. 
23. 
24. 
25. 
26. 
27. 
28. 
29. 
30. 
Задание № 6
Пример 8.Найти ранг матрицы .
Решение.Прибавим к четвертому столбцу первый, умноженный на (-4), затем вычеркнем 4 столбец, состоящий из нулей.
.
Вычислим минор третьего порядка: 
.
Следовательно, r(А)=3.
Примеры для самостоятельной работы
Найти ранг матрицы:
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 
8. 
9. 
10. 
11. 
12. 
13. 
14. 
15. 
16. 
17. 
18. 
19. 
20. 
21. 
22.
23. 
24. 
25. 
26. 
27. 
28. 
29. 
30. 
Задание №7
Пример 9.Проверить совместность системы: 
.
Решение.Расширенная матрица системы имеет вид
.
Переставим первый и третий столбцы 
.
Прибавим элементы первого столбца, умноженные на 2, к элементам 3-го и 4-го столбцов, а из второго вычтем первый столбец:
.
Вычеркнем второй столбец, так как его элементы пропорциональны соответствующим элементам третьего столбца. Элементы третьего столбца умножим на 2 и прибавим к элементам 4-го: 
.
Очевидно, что ранг основной матрицы этой системы r(А)=2, так как минор второго порядка 
.
Ранг расширенной матрицы r(В)=3, так как 
.
Таким образом, r(А)=2, r(В)=3, то есть r(А)¹r(В), поэтому система несовместна.
Пример №10.Исследовать систему уравнений: 
.
Решение.Преобразуем расширенную матрицу системы с помощью элементарных преобразований:
.
Очевидно, что r(А)=r(В)=2. По теореме Кронекера-Капелли система совместна.
Запишем первое и второе уравнения заданной системы:
За базисные неизвестные примем х1 и х2, так как определитель 
из коэффициентов при этих неизвестных отличен от нуля. Свободным неизвестным служит х3. Переписав систему в виде
выразим х1 и х2 через х3:
, 
.
Полагая х3 = u, получим решение системы в виде
, 
, 
.
Придавая u различные числовые значения, будем получать различные решения данной системы уравнений.
Примеры для самостоятельной работы
Исследовать систему уравнений:
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 
8. 
9. 
10. 
11. 
12. 
13. 
14. 
15. 
16. 
17. 
18. 
19. 
20. 
21. 
22. 
23. 
24. 
25. 
26. 
27. 
28. 
29. 
30. 
Задание № 8
Пример 11.Решить методом Крамера систему уравнений
.
Решение.Вычислим определитель системы
.
Следовательно, система имеет единственное решение. Найдем Dх1, Dх2, Dх3.
Определим решение системы уравнений по формулам Крамера:
