Непротиворечивость аксиоматической теории

СВОЙСТВА АКСИОМАТИЧЕСКИХ ТЕОРИЙ

Аксиоматическая теория называетсянепротиворечивой, если в пределах данной теории нельзя доказать одновременно высказывание и его отрицание. Если в рамках данной теории можно одновременно доказать некоторое высказывание и его отрицание, то аксиоматическая теория называется противоречивой.

Аксиоматическая теория называется полной, если средств этой теории достаточно для того, чтобы доказать или опровергнуть любое утверждение, сформулированное в терминах данной теории.

Система аксиом теории называется независимой, если никакая из аксиом этой системы не является следствием других аксиом этой системы.

Аксиоматическая теория называется категоричной, если любые две ее модели изоморфны.

Непротиворечивость аксиоматической теории

Определение. Аксиоматическая теория называется непротиворечивой, если ни для какого утверждения A, сформулированного в терминах этой теории, само утверждение A и его отрицание A не могут быть одновременно доказаны (быть теоремами этой теории). Если для некоторого утверждения A теории оба утверждения A и A являются ее теоремами, то аксиоматическая теория называется противоречивой.

Следовательно, определения противоречивой и непротиворечивой аксиоматической теорий можно сформулировать и следующим равносильным образом. Аксиоматическая теория называется противоречивой, если любое высказывание, сформулированное в терминах этой теории, является ее теоремой, и называется непротиворечивой, если существует высказывание, не являющееся ее теоремой (такое высказывание называется невыводимой формулой). Значит, противоречивая теория никакой ценности не имеет, потому что в ней можно доказать что угодно.

Непротиворечивость аксиоматической теории нельзя доказать средствами данной теории, то есть на языке этой теории. Доказательство непротиворечивости аксиоматических теорий можно осуществить различными методами. Одним из них является метод моделирования,или метод интерпретаций. Модель – это множество объектов конкретной природы, с определенными на нем отношениями и операциями, на котором выполняются все аксиомы рассматриваемой системы.

Определение. Формальная аксиоматическая теория считается содержательно непротиворечивой, если существует модель, в которой истинны все теоремы данной теории.

Развивая аксиоматическую теорию на базе той или иной системы аксиом Σ, мы не вкладываем в ее основные понятия и отношения между ними никакого содержания сверх того, что сказано о них в аксиомах; в них содержатся все сведения об этих понятиях, необходимые для построения теории путем чисто логических умозаключений. Изменим теперь нашу точку зрения на первоначальные понятия: будем понимать под ними некоторые вполне определенные объекты и соотношения между ними из какой-нибудь области математики (другой аксиоматической теории), которую мы считаем уже установленной и обоснованной (непротиворечивой). Это придание каждому первоначальному понятию и отношениям между ними конкретного содержания посредством каких-то конкретных предметов и конкретных отношений между ними называется интерпретированием данной системы аксиом Σ. Совокупность этих конкретных предметов и отношений между ними называется интерпретацией данной системы аксиом. В результате каждая аксиома из Σ превращается во вполне определенное предложение из той уже обоснованной области математики (непротиворечивой аксиоматической теории), которая используется для интерпретации. Каждое из этих предложений может быть как истинным (теоремой), так и ложным в непротиворечивой аксиоматической теории, использованной для интерпретации. Если все аксиомы из Σ превращаются в истинные утверждения, то построенная интерпретация называется моделью данной системы аксиом Σ. Если же хотя бы одна аксиома превратилась в ложное утверждение, то можно считать, что интерпретирование не удалось.

Если модель системы аксиом Σ построена, то все аксиомы из Σ превратились в истинные предложения; значит, логически следующие из них теоремы также превратятся в истинные предложения (в смысле той аксиоматической теории, которая использована для построения модели). Поэтому, если предположить, что в исследуемой аксиоматической теории (построенной на базе системы аксиом Σ) могут быть выведены две теоремы A и A, противоречащие друг другу, то в модели им соответствовали бы два истинных утверждения A^∗ и A^∗, также друг другу противоречащих (утверждение и его отрицание не могут быть одновременно истинными). Но это невозможно, так как аксиоматическая теория, в которой мы рассматриваем модель нашей системы аксиом Σ, считается свободной от противоречий (непротиворечивой).

Проблема непротиворечивости математики и доказательство ее непротиворечивости была поставлена в 1900 году на 2 Международном математическом конгрессе Давидом Гильбертом. Гильберт, пожалуй, был первым математиком, который провозгласил законность любой математической теории, для которой доказана её непротиворечивость, невзирая на возможность её содержательной интерпретации. В наше время такое утверждение не вызывает возражений, но ещё в начале 20-го века господствовала другая точка зрения, согласно которой математические понятия и теоремы с самого начала должны иметь содержательный смысл в виде аналогов в реальном мире или, точнее говоря, среди человеческих представлений о нём. Гильбертовская идеология вызвала неприятие в определенных кругах математиков, обвинявших Гильберта в «игре формулами». Однако дальнейшее развитие оснований математики пошло именно по этому пути. История развития математики даёт нам целый ряд поучительных примеров, когда неоправданное требование аналогии математических понятий объектам реального мира накладывало априорный запрет на некоторые понятия, которые впоследствии прочно вошли в математику. Сначала математический мир не хотел признавать существования отрицательных чисел. Столкновение с иррациональными числами привело к отлучению на долгое время геометрии от арифметики. Мнимые и комплексные числа, также как и отрицательные, долгое время считались несуществующими, и потому незаконными. В 1900 году в Париже на 2 Всемирном математическом конгрессе Давид Гильберт изложил в виде тезисов сформулированные им 23 наиважнейшие, по его мнению, задачи, которые предстояло решить ученым–теоретикам наступающего ХХ века. Первая проблема Гильберта – континуум-гипотеза, вторая проблема Гильберта – противоречивы или нет аксиомы арифметики.

При полной формализации возникла проблема доказательства непротиворечивости построенной таким образом формальной системы средствами этой же системы, то есть абсолютное доказательство непротиворечивости. Для доказательства непротиворечивости формальных систем Гильберт создал теорию доказательств.

Поскольку непротиворечивость одной аксиоматической теории исследуется с помощью средств другой аксиоматической теории, то вопрос о непротиворечивости одной аксиоматической теории сводится к вопросу о непротиворечивости другой аксиоматической теории. Наличие такой модели доказывает относительную непротиворечивость теории. Вопрос о непротиворечивости теории действительных чисел может быть сведен путем построения соответствующих моделей к вопросу о непротиворечивости теории натуральных чисел, построенной на основе системы аксиом Пеано. К непротиворечивости арифметики аналогичным образом сводится непротиворечивость обширных областей классической математики. Тем не менее «абсолютная» непротиворечивость ни евклидовой геометрии, ни арифметики натуральных чисел не установлена. Уверенность в непротиворечивости этих теорий, в их истинности есть своего рода акт веры.

Курт Гёдель (1906-1978), австрийский логик, математик и философ математики, ученик Давида Гильберта.

Вторая теорема Гёделя (о непротиворечивости). Во всякой непротиворечивой теории, включающей формальную арифметику, формула F, утверждающая непротиворечивость этой теории, не является выводимой в ней.

Иными словами, непротиворечивость теории не может быть доказана средствами этой теории. Однако вполне может оказаться, что непротиворечивость одной конкретной теории может быть установлена средствами другой, более мощной формальной теории. Но тогда встаёт вопрос о непротиворечивости этой второй теории, и т. д.

Теорема о неполноте и доказательство, утверждает примерно следующее: при определенных условиях в любом языке существуют истинные, но недоказуемые утверждения. Роджер Пенроуз с ее помощью доказал, что разумная деятельность не сводится к вычислениям, т.е. не может быть реализована с помощью программы. Теоремы Геделя нанесли сокрушительный удар по всеобъемлющей аксиоматизации.