Обзор аксиоматической системы Ф.Бахмана

Ф.Бахман – глава кильской геометрической школы, возглавлял исследования в области оснований геометрии первой половины ХХ века. Его идеи можно рассматривать как развитие идей Г.Винера, исследования которого относятся еще к догильбертовскому периоду

(1890, 1891, 1893 г.г.). Осевая симметрия, как основное неопределяемое понятие, первоначально используется взамен понятия о движении, которое в свою очередь, впервые использовано Ф.Шуром в работе «Основания геометрии», изданной в 1909 г.

Для евклидовой и классических неевклидовых геометрий точки и прямые взаимно однозначно соответствуют центральным и осевым симметриям, которые являются, так называемыми, инволютивными образующими группы движений плоскости, т.е. такими ее движениями d, для которых

d ◦ d = 1или короче d2=1. С другой стороны, такие отношения как «принадлежность» (в данном случае лучше использовать слово «инцидентность»), «ортогональность» для прямых могут быть выражены на языке отношений между симметриями. Отсюда возникает возможность перевода на язык отношений между симметриями геометрических отношений между точками и прямыми. Сами симметрии становятся основанием геометрических исследований, которые естественным образом используют алгебру симметрий.

Первый вариант аксиоматической системы Бахмана, который мы сейчас представим, использует классические понятия точки, прямой, инцидентности и ортогональности, а потому не может рассматриваться как вариант прямого использования только групповых свойств симметрий в определении геометрической системы Евклида. Его можно рассматривать как некий пропедевтический вариант, обеспечивающий более осознанное восприятие теоретико-группового и, в этом смысле, подлинно алгебраического варианта аксиоматики евклидовой плоскости.

Рассматривая два множества, элементы одного из них называем точками, а другого – прямыми. На этих множествах считаем заданными: отношение инцидентности, как отношение между точками и прямыми, и отношение ортогональности, как отношение между прямыми. Рассматриваются так же отображения этих множеств на себя, сохраняющие инцидентность точек и прямых и ортогональность прямых, которые называются ортогональными коллинеациями. Нетождественная инволютивная коллинеация, имеющая неподвижную прямую неподвижных точек, называется осевой симметрией, причем неподвижная прямая такой коллинеации называется осью симметрии.

Множество точек и прямых с перечисленными выше отношениями называем евклидовой плоскостью, если для точек, прямых и этих отношений выполняются следующие условия – аксиомы.

I1 Существует, по крайней мере, одна прямая.

I2 Каждая прямая содержит, по крайней мере, три точки.

I3 Для любых двух различных точек существует единственная прямая инцидентная с каждой точкой.

I4 Отношение ортогональности прямых симметрично.

Если прямые обозначить малыми латинскими буквами, а отношение ортогональности знаком ^, то эту аксиому можно представить: если а ^ b,

то b ^ а.

I5 Ортогональные прямые имеют общую точку.

Если точки обозначить большими латинскими буквами, то аксиома предстанет в виде: если а ^ b, то существует Р, которая принадлежит а и b.

I6 Через каждую точку проходит прямая, ортогональная данной прямой.

Иначе говоря, если А и b - точка и прямая, то существует прямая а, которая проходит через А и ортогональна b. Если точка А инцидентна с прямой b, то такая прямая единственна.

II1 Для каждой прямой существует, по крайней мере, одна осевая симметрия, для которой данная прямая является осью симметрии.

II2 Произведение трех симметрий, оси которых имеют общую точку, или ортогональны одной прямой, есть осевая симметрия.

III1 Если а ^ с и b ^ с, и а ^ d, то b ^ d .

III2 Для любых двух прямых а, b либо существует общая точка С прямых а и b, либо существует прямая с такая, что а ^ с и b ^ с.

Представим теперь теоретико-групповое аксиоматическое определение евклидовой плоскости, для чего первоначально введем несколько понятий и обозначений, необходимых для краткой формулировки аксиом.

Рассматривается группа, содержащая инволютивные элементы порядка 2. Пример такой группы – группа движений. Используются внутренние автоморфизмы группы, при которых образы инволютивных элементов – инволютивные элементы: если a – элемент группы, а s ее инволютивный элемент, то a ◦ s ◦ a-1 – инволютивный элемент, данной группы.

1) если s2 ◦ s1 инволютивно, то будем писать s2 |s1 . Вместо s1 |s и

s2 |s для краткости записываем s1,s2 |s и т.п.

Если s2 |s1, то s1 |s2.

2). Если s ◦ r ◦ s-1 инволютивно, то s ◦ r ◦ s-1 = r.

Если s1,s2 |s, то говорим, что s соединяет s1 и s2 , s1 и s2 соединимы, если существует s такой, что s1,s2 |s, в противном случае их называем несоединимыми.

Итак, S – группа, J - система ее инволютивных образующих. Элементы J обозначаем малыми латинскими буквами: а,b, с,….

Если а|b , то а ◦ b обозначаем большой латинской буквой.

Аксиома 1.Для любых Р и Q найдется такой q, что Р,Q|q.

Аксиома 2. Из Р, Q|q, h следует, что Р = Q, или q = h.

Аксиома 3. Если а, b, с| Р, то существует элемент d такой, что а ◦ b ◦ с = d

Аксиома 4. Если а, b, с| g, то существует элемент d такой, что а ◦ b ◦ с = d

Аксиома 5. Существуют q, h , u такие, что q| h, uпри этом не имеет места ни одно из соотношений u |q, u|h и u | q ◦ h.

Эта группа аксиом относится как к евклидовой так и к двум другим классическим, неевклидовым геометриям и в этом смысле она определяет ту геометрию, которую называют абсолютной. Элементы группы S называют движениями, а элементы множества J ее инволютивных образующих – осевыми симметриями, центральные симметрии – произведение двух элементов из J. которые сами являются инволютивными элементами S.

Аксиома 6.Существуют а, b, сиd такие, что а, b|с, d и а ¹ b, с ¹ d.

Аксиома 7. Для любых двух а и b найдется С, что а, b|С, или существует с, для которого а, b|с.

Добавив аксиомы 6 и 7, мы перешли от абсолютной геометрии плоскости к евклидовой.

Роль симметрии в широком смысле достаточно велика в науке и, в частности, в физике элементарных частиц при их классификации. Поэтому использование симметрий в самих основаниях геометрии представляется безусловно оправданным. Другое достоинство аксиоматики Ф.Бахмана в том, что она определяет путь полной алгебраизации геометрии и тем самым открывает наиболее глубокие связи между этими ветвями математики.

С точки зрения образовательных последствий с уверенностью можно сказать о значимости этого пути построения геометрических систем лишь при углубленном изучении математики и геометрии, в частности, что само имеет смысл главным образом при подготовке будущего преподавателя математики.

Рекомендуемая литература

1.Д.Гильберт, Основания геометрии, М.,1948 г.

2.С.В.Бахвалов, В.П.Иваницкая, Основания геометрии,М.,1972 г.

3.И.П.Егоров, Геометрия, М.,1979 г.

4.В.Ф.Каган,Основания геометрии, часть I, М.,1949 г.

5.А.Д.Александров, Н.Ю.Нецветаев, Геометрия, М.,1990 г.

6.Ф.Бахман, Построение геометрии на основе понятия симметрии, М.,

1969 г.

7.Д.И.Перепелкин, Курс элементарной геометрии, ч.I и ч. II,

М., 1948, 1949 г.г.

8.Энциклопедия элементарной математики, т.IV, М.,1963 г.

9.Ж.Адамар, Элементарная геометрия, ч. I и ч. II, М., 1952, 1957 г.

10. Г.С.М.Кокстер, С.Л.Грейтцер, Новые встречи с геометрией,М.,1978 г.

11.Н.Ф.Четверухин, Изображение фигур в курсе геометрии, М.,1958 г.

12. Н.Ф.Четверухин,Стереометрические задачи на проекционном чертеже,

М.,1953 г.

13. Б.И.Аргунов, М.Б.Балк, Элементарная геометрия,М.,1966 г.

14.В.Г.Болтянский, Элементарная геометрия,М.,1985 г.

15.А.П.Киселев, Геометрия, часть I и часть II.

16.Г.Шоке, Геометрия,М.,1970 г.

17.Е.Е.Вересова, Н.С.Денисова, Т.Н.Полякова, Практикум по решению математических задач, М., 1979 г.

Оглавление

Предисловие………………………………………………...стр.3

Лекция 1……………………………………………………. стр.4

Лекция 2……………………………………………………. стр.11

Лекция 3……………………………………………………. стр.27

Лекция 4……………………………………………………. стр.41

Лекция 5……………………………………………………. стр.57

Лекция 6……………………………………………………. стр. 84

Лекция 7……………………………………………………. стр.110

Рекомендуемая литература…………………………………стр.122

Наши рекомендации