Связь метода Гаусса с разложением матрицы на множители. Теорема об LU разложении

Государственное образовательное учреждение

Высшего профессионального образования

Поволжский государственный университет

Телекоммуникаций и информатики

Кафедра Программное обеспечение и управление в технических системах

ЗАДАНИЯ И МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

К контрольной работе по дисциплине

«ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ»

Для студентов заочной формы обучения

САМАРА, 2012 Г.

СОДЕРЖАНИЕ

1.Теоретическая часть 3

1.1 Точные методы 3

1.1.1 Метод Гаусса 3

1.1.2 Связь метода Гаусса с разложением матрицы на множители. Теорема об LU разложении. 6

1.1.3 Метод Гаусса с выбором главного элемента 8

1.1.4 Метод Холецкого (метод квадратных корней) 9

2. Практическая часть 10

2.1 Задание на контрольную работу 10

2.2 Варианты заданий 10

2.3 Пример решения задачи 13

2.4 Требования к оформлению контрольной работы 22

Список использованной литературы 24

Теоретическая часть

Решение систем линейных алгебраических уравнений

Рассмотрим систему линейных алгебраических урав­нений:

(1.1)

или в матричной форме:

Aх=b, (1.2)

где: A={a_ij} квадратная матрица размерности (m´m,); х=(х₁,…., х_m)^T; T – операция транспонирования; b=(b₁,….,b_m)^T; detA¹0.

Предположим, что определитель матрицы A не равен нулю. Тогда решение х существует и единственно. На практике встречаются системы, имеющие большой поря­док.Методы решения системы (1.1) делятся на две группы:

1) прямые (точные методы);

2) итерационные методы (приближенные).

Точные методы

В точных методах решение х находится за конечное число действий, но из-за погрешности округления и их накопления прямые методы можно назвать точными, только отвлекаясь от погрешностей округления.

Метод Гаусса

Вычисления с помощью метода Гаусса (который называют также методом последовательного исключения неизвестных) состоят из двух основных этапов: прямого хода и обратного хода. Прямой ход метода заключается в последовательном исключении неизвестных из системы для преобразования ее к эквивалентной системе с треугольной матрицей. На этапе обратного хода производят вычисления значений неизвестных. Рассмотрим простейший вариант метода Гаусса, называемый схемой единственного деления.

Прямой ход метода

1-й шаг. Предположим, что а₁₁¹0. Поделим первое уравнение на этот элемент, который назовем ведущим элементом первого шага :

. (1.3)

Остальные уравнения системы (1.1) запишем в виде

, (1.4)

где i= .

Уравнение (1.3) умножаем на a_i1 и вычитаем из i-го уравнения системы (1.4). Это позволит обратить в нуль коэффициенты при x₁ во всех уравнениях, кроме первого.

Получим эквивалентную систему вида:

. (1.5)

,

где i,j= . Система (1.5) имеет матрицу вида:

.

Дальше работаем с укороченной системой, т.к. х₁ входит только в 1-ое уравнение

.

2-й шаг. На этом шаге исключаем неизвестное х₂ из уравнений с номерами i=3,4,…,m. Если ведущий элемент второго шага , то из укороченной системы ана­логично исключаем неизвестное x₂ и получаем матрицу коэффициентов такого вида:

.

Аналогично повторяем указанные действия для неиз­вестных х₃,х₄,...,х_m-1и приходим к системе :

. (1.6)

Эта система с верхней треугольной матрицей:

.

Обратный ход метода. Из последнего уравнения сис­темы (1.6) находим х_m, из предпоследнего х_m-1, ..., из пер­вого уравнения – х₁.

Общая формула для вычислений:

x_m=y_m/c_mm,

, (i=m-1,…,1).

Для реализации метода Гаусса требуется примерно (1/3)m³ арифметических операций, причем большинство из них приходится на прямой ход.

Ограничение метода единственного деления заключа­ется в том, что ведущие элементы на k-ом шаге ис­ключения не равны нулю, т.е. ≠0.

Но если ведущий элемент близок к нулю, то в процессе вычисления может накапливаться погрешность. В этом случае на каждом шаге исключают не х_k, a х_j (при j¹k). Такой подход называется методом выбора главного элемента. Для этого выбирают неизвестные x_j с наибольшим по абсолютной величине коэффициентом либо в строке, либо в столбце, либо во всей матрице. Для его реализации требуется − арифметических действий.

Связь метода Гаусса с разложением матрицы на множители. Теорема об LU разложении.

Пусть дана система Aх=b (1.1), которая при прямом ходе преобразуется в эквивалентную систему (1.6) и запишем ее в виде

Cх=y, (1.6*)

где С – верхняя треугольная матрица с единицами на главной диагонали, полученная из (1.6) делением последнего уравнения системы на с_mm.

Как связаны в системе (1.1) элементы bи элементы yиз (1.6*)?

Если внимательно посмотреть на прямой ход метода Гаусса, то можно увидеть, что

.

Для произвольного j имеем

, (1.7)

где j= , d_ji – числовые коэффициенты:

. (1.8)

Можно записать систему:

b=Dy,

где D−нижняя треугольная матрица с элементами на главной диагонали (j= , ).

В связи с тем, что в методе Гаусса угловые коэффици­енты не равны нулю , то на главной диагонали матрицы D стоят не нулевые элементы. Следовательно, эта матрица имеет обратную, тогда y=D^-1b, Сx= D^-1b.

Тогда

D´Cx=b. (1.9)

В результате использования метода Гаусса, получили разложение матрицы А на произведение двух матриц

A = D´C,

где D − нижняя треугольная матрица, у которой элементы на главной диагонали не равны нулю, а C – верхняя тре­угольная матрица с единичной диагональю.

Таким образом, если задана матрица A и вектор b, то в методе Гаусса сначала производится разложение этой матрицы А на произведение D и C, а затем последова­тельно решаются две системы:

Dy=b,

Cx=y. (1.10)

Из последней системы находят искомый вектор x. При этом разложение матрицы А на произведение СD – есть прямой ход метода Гаусса, а решение систем (1.10) обратный ход. Обозначим нижнюю треугольную матрицу через L, верхнюю треугольную матрицу − U.

Теорема об LU разложении

Введем обозначения: − угловой минор порядка j матрицы А, т.е.

Теорема.Пусть все угловые миноры матрицы А не равны нулю (Δ_j¹0 для j= ). Тогда матрицу А можно представить единственным образом в виде произведе­ния А=L*U.

Идея доказательства.Рассмотрим матрицу А второго порядка и будем искать разложение этой матрицы в виде L и U.

.

Сопоставляя эти два равенства, определяем элементы матриц L и U (перемножим и приравняем неизвестные). Система имеет единственное решение. Методом математической индукции сказанное можно обобщить для матрицы размерности m´m.

Следствие. Метод Гаусса (схему единственного деле­ния) можно применять только в том случае, когда угловые миноры матрицы А не равны нулю.