Теорема Гаусса для электрического поля в среде. Вектор электрического смещения и его связь с вектором напряженности.

Основной прикладной задачей электростатики является расчет электрических полей, создаваемых заряженными телами.

В частном случае такой расчет можно произвести с помощью закона Кулона и принципа суперпозиции электрического поля. Но в ряде случаев эта задача сильно усложняется. Например: 1) большое число точечных зарядов, создающих электростатическое поле или распределенный заряд на теле сложной формы; 2) электрическое поле создается в среде с неоднородным диэлектриком.

Во втором случае вектор напряженности электрического поля Теорема Гаусса для электрического поля в среде. Вектор электрического смещения и его связь с вектором напряженности. - student2.ru зависит от диэлектрической проницаемости e среды, в которой создано поле

Теорема Гаусса для электрического поля в среде. Вектор электрического смещения и его связь с вектором напряженности. - student2.ru , (2.1)

Теорема Гаусса для электрического поля в среде. Вектор электрического смещения и его связь с вектором напряженности. - student2.ru где Теорема Гаусса для электрического поля в среде. Вектор электрического смещения и его связь с вектором напряженности. - student2.ru – напряженность электрического поля в вакууме; e – относительная диэлектрическая проницаемость среды.    

В связи с этим при переходе через границу раздела сред напряженность электрического поля и характеризующая его густота силовых линий будут скачкообразно меняться (рис. 2.1). Картина будет еще сложнее в случае неоднородного электрического поля и диэлектрика произвольной формы.

Для облегчения расчета электрических полей в неоднородных диэлектриках вводится понятие вектора электрического смещения иливектора электрической индукции Теорема Гаусса для электрического поля в среде. Вектор электрического смещения и его связь с вектором напряженности. - student2.ru

Теорема Гаусса для электрического поля в среде. Вектор электрического смещения и его связь с вектором напряженности. - student2.ru , (2.2)

где e0 – электрическая постоянная; e – относительная диэлектрическая проницаемость среды; Теорема Гаусса для электрического поля в среде. Вектор электрического смещения и его связь с вектором напряженности. - student2.ru – вектор напряженности электрического поля.

Направление вектора электрического смещения Теорема Гаусса для электрического поля в среде. Вектор электрического смещения и его связь с вектором напряженности. - student2.ru совпадает с направлением вектора напряженности Теорема Гаусса для электрического поля в среде. Вектор электрического смещения и его связь с вектором напряженности. - student2.ru . Согласно определению вектора электрического смещения Теорема Гаусса для электрического поля в среде. Вектор электрического смещения и его связь с вектором напряженности. - student2.ru и выражения (2.2) можно записать

Теорема Гаусса для электрического поля в среде. Вектор электрического смещения и его связь с вектором напряженности. - student2.ru . (2.3)

Из выражения (2.3) видно, что вектор электрического смещения не зависит от среды, в которой создается электрическое поле, и определяется только зарядами, создающими это поле. Графически такое поле представлено на рис. 2.2. Как видно из рисунка, силовые линии вектора электрического смещения непрерывны на границе раздела диэлектрика.

Число линий электрического смещения, пресекающих единичную поверхность, расположенную перпендикулярно линиям смещения, равно величине электрического смещения.

Рассмотрим в однородном электрическом поле плоскую поверхность S, ориентация в пространстве этой поверхности определяется направлением нормали Теорема Гаусса для электрического поля в среде. Вектор электрического смещения и его связь с вектором напряженности. - student2.ru (рис. 2.3).

Теорема Гаусса для электрического поля в среде. Вектор электрического смещения и его связь с вектором напряженности. - student2.ru Теорема Гаусса для электрического поля в среде. Вектор электрического смещения и его связь с вектором напряженности. - student2.ru

Линии электрического смещения составляют угол a с направлением нормали. Величину

Теорема Гаусса для электрического поля в среде. Вектор электрического смещения и его связь с вектором напряженности. - student2.ru (2.4)

называют потоком вектора электрического смещениячерез данную поверхность. Через Теорема Гаусса для электрического поля в среде. Вектор электрического смещения и его связь с вектором напряженности. - student2.ru обозначена проекция вектора Теорема Гаусса для электрического поля в среде. Вектор электрического смещения и его связь с вектором напряженности. - student2.ru на направление нормали Теорема Гаусса для электрического поля в среде. Вектор электрического смещения и его связь с вектором напряженности. - student2.ru . Так как число линий, приходящихся на единицу площади поверхности электрического смещения, равно Теорема Гаусса для электрического поля в среде. Вектор электрического смещения и его связь с вектором напряженности. - student2.ru , то можно сказать, что поток вектора электрического смещения через данную поверхность равен числу линий электрического смещения, проходящих через эту поверхность.

Если поле неоднородно или поверхность, через которую определяется поток, не является плоской, то эту поверхность можно разбить на бесконечно малые элементы Теорема Гаусса для электрического поля в среде. Вектор электрического смещения и его связь с вектором напряженности. - student2.ru . Тогда для любого поля поток смещения через этот элемент поверхности

Теорема Гаусса для электрического поля в среде. Вектор электрического смещения и его связь с вектором напряженности. - student2.ru .

Полный поток смещения через поверхность S определится суммированием Теорема Гаусса для электрического поля в среде. Вектор электрического смещения и его связь с вектором напряженности. - student2.ru

Теорема Гаусса для электрического поля в среде. Вектор электрического смещения и его связь с вектором напряженности. - student2.ru . (2.5)

Отметим, что поток смещения, определяющий число проходящих линий смещения, есть величина скалярная.

Остроградским и Гауссом была установлена связь полного потока через замкнутую поверхность с зарядами, охваченными ею.

Эта связь устанавливается теоремой Остроградского–Гаусса: поток электрического смещения через любую замкнутую поверхность равен алгебраической сумме всех зарядов, расположенных внутри поверхности

Теорема Гаусса для электрического поля в среде. Вектор электрического смещения и его связь с вектором напряженности. - student2.ru . (2.6)

Если в рассматриваемом пространстве имеется распределенный в объеме заряд с объемной плотностью r = r(x,y,z), то теорему Остроградского–Гаусса можно записать в дифференциальной форме

Теорема Гаусса для электрического поля в среде. Вектор электрического смещения и его связь с вектором напряженности. - student2.ru . (2.7)

Выражение (2.7) носит название уравнения Пуассона.

Наши рекомендации