Определение. Гиперболическим параболоидом называется поверхность, уравнение которой в некоторой декартовой системе координат имеет вид

Гиперболическим параболоидом называется поверхность, уравнение которой в некоторой декартовой системе координат имеет вид , где и - положительные числа.

Исследуем форму гиперболического параболоида. Так же, как и эллиптический параболоид, он имеет две плоскости симметрии и ось симметрии. Ими являются соответственно координатные плоскости , и координатная ось .

Для построения гиперболического параболоида найдем его сечения различными плоскостями. Найдем линию пересечения с плоскостью . На этой плоскости , поэтому

.

Это уравнение определяет на плоскости пару прямых , изображенных на рис. 23.

Найдем линию пересечения с плоскостью . На этой плоскости , поэтому .

Это уравнение на плоскости задает параболу, ветви которой направлены вниз. Построим ее (рис. 23). Сечение плоскостью также является параболой , но ее ветви направлены вверх (рис. 23).

Рис.23.Сечения гиперболического параболоида координатными плоскостями

Найдем линии пересечения поверхности с плоскостью . Уравнения этой линии

Первое уравнение преобразуем к виду , то есть к виду , где , . Данное уравнение является уравнением гиперболы. Ее действительная ось параллельна оси , а мнимая - оси . Полуоси равны соответственно и . Изобразим полученное сечение, но чтобы не перегружать рисунок линиями, асимптоты изображать не будем (рис. 24).

Найдем линии пересечения с плоскостями , параллельными плоскости . Уравнения этих линий

Первое из этих уравнений является уравнением параболы, такой же, как и в сечении плоскостью , только сдвинутой вдоль оси на величину вверх. Эти параболы изображены на рисунке 24.

Рис.24.Изображение гиперболического параболоида с помощью сечений

Так как - произвольное число, то вся поверхность может быть получена движением параболы, лежащей в плоскости . Передвигать параболу нужно так, чтобы ее плоскость оставалась параллельной плоскости , а вершина скользила по параболе в плоскости .

Плоскость , , пересекает поверхность по гиперболе, но в отличие от гиперболы , ее действительная ось параллельна теперь оси , а мнимая -- оси (рис. 25).

Рис.25.Дополнительное сечение Рис.26.Гиперболический параболоид