Определение. Эллиптическим параболоидом называется поверхность, уравнение которой в некоторой декартовой системе координат имеет вид

Эллиптическим параболоидом называется поверхность, уравнение которой в некоторой декартовой системе координат имеет вид Определение. Эллиптическим параболоидом называется поверхность, уравнение которой в некоторой декартовой системе координат имеет вид - student2.ru , где Определение. Эллиптическим параболоидом называется поверхность, уравнение которой в некоторой декартовой системе координат имеет вид - student2.ru и Определение. Эллиптическим параболоидом называется поверхность, уравнение которой в некоторой декартовой системе координат имеет вид - student2.ru - положительные числа.

Исследуем форму эллиптического параболоида. Он имеет две плоскости симметрии и ось симметрии. Ими являются соответственно координатные плоскости Определение. Эллиптическим параболоидом называется поверхность, уравнение которой в некоторой декартовой системе координат имеет вид - student2.ru , Определение. Эллиптическим параболоидом называется поверхность, уравнение которой в некоторой декартовой системе координат имеет вид - student2.ru и координатная ось Определение. Эллиптическим параболоидом называется поверхность, уравнение которой в некоторой декартовой системе координат имеет вид - student2.ru .

Для построения эллиптического параболоида найдем его сечения различными плоскостями. Найдем линию пересечения с плоскостью Определение. Эллиптическим параболоидом называется поверхность, уравнение которой в некоторой декартовой системе координат имеет вид - student2.ru . На этой плоскости Определение. Эллиптическим параболоидом называется поверхность, уравнение которой в некоторой декартовой системе координат имеет вид - student2.ru , поэтому Определение. Эллиптическим параболоидом называется поверхность, уравнение которой в некоторой декартовой системе координат имеет вид - student2.ru .

Координаты только одной точки плоскости Определение. Эллиптическим параболоидом называется поверхность, уравнение которой в некоторой декартовой системе координат имеет вид - student2.ru могут удовлетворять данному уравнению, а именно, начала координат. Найдем линию пересечения с плоскостью Определение. Эллиптическим параболоидом называется поверхность, уравнение которой в некоторой декартовой системе координат имеет вид - student2.ru . На этой плоскости Определение. Эллиптическим параболоидом называется поверхность, уравнение которой в некоторой декартовой системе координат имеет вид - student2.ru , поэтому Определение. Эллиптическим параболоидом называется поверхность, уравнение которой в некоторой декартовой системе координат имеет вид - student2.ru .

Это уравнение параболы на плоскости Определение. Эллиптическим параболоидом называется поверхность, уравнение которой в некоторой декартовой системе координат имеет вид - student2.ru . Построим ее (рис. 19). Сечение плоскостью Определение. Эллиптическим параболоидом называется поверхность, уравнение которой в некоторой декартовой системе координат имеет вид - student2.ru также является параболой. Найдем линии пересечения поверхности с плоскостью Определение. Эллиптическим параболоидом называется поверхность, уравнение которой в некоторой декартовой системе координат имеет вид - student2.ru . Уравнения этой линии

Определение. Эллиптическим параболоидом называется поверхность, уравнение которой в некоторой декартовой системе координат имеет вид - student2.ru

Очевидно, что только одна точка (начало координат) удовлетворяет этим уравнениям, если Определение. Эллиптическим параболоидом называется поверхность, уравнение которой в некоторой декартовой системе координат имеет вид - student2.ru . Эта точка называется вершиной параболоида.

Пусть Определение. Эллиптическим параболоидом называется поверхность, уравнение которой в некоторой декартовой системе координат имеет вид - student2.ru Определение. Эллиптическим параболоидом называется поверхность, уравнение которой в некоторой декартовой системе координат имеет вид - student2.ru . Первое уравнение преобразуем к виду Определение. Эллиптическим параболоидом называется поверхность, уравнение которой в некоторой декартовой системе координат имеет вид - student2.ru , то есть к виду Определение. Эллиптическим параболоидом называется поверхность, уравнение которой в некоторой декартовой системе координат имеет вид - student2.ru , где Определение. Эллиптическим параболоидом называется поверхность, уравнение которой в некоторой декартовой системе координат имеет вид - student2.ru , Определение. Эллиптическим параболоидом называется поверхность, уравнение которой в некоторой декартовой системе координат имеет вид - student2.ru . Полученное уравнение является уравнением эллипса. Изобразим полученное сечение (рис.19). При Определение. Эллиптическим параболоидом называется поверхность, уравнение которой в некоторой декартовой системе координат имеет вид - student2.ru плоскость поверхность не пересекает.

Определение. Эллиптическим параболоидом называется поверхность, уравнение которой в некоторой декартовой системе координат имеет вид - student2.ru

Рис.19.Сечения эллиптического параболоида координатными плоскостями

Найдем сечения параболоида плоскостями Определение. Эллиптическим параболоидом называется поверхность, уравнение которой в некоторой декартовой системе координат имеет вид - student2.ru , параллельными плоскости Определение. Эллиптическим параболоидом называется поверхность, уравнение которой в некоторой декартовой системе координат имеет вид - student2.ru . Линии этих сечений удовлетворяют уравнениям Определение. Эллиптическим параболоидом называется поверхность, уравнение которой в некоторой декартовой системе координат имеет вид - student2.ru и являются параболами, такими же, как в плоскости Определение. Эллиптическим параболоидом называется поверхность, уравнение которой в некоторой декартовой системе координат имеет вид - student2.ru , только сдвинутыми вверх на величину Определение. Эллиптическим параболоидом называется поверхность, уравнение которой в некоторой декартовой системе координат имеет вид - student2.ru , их вершины при таком сдвиге лежат на параболе, получившейся в сечении плоскостью Определение. Эллиптическим параболоидом называется поверхность, уравнение которой в некоторой декартовой системе координат имеет вид - student2.ru (рис. 20).

Определение. Эллиптическим параболоидом называется поверхность, уравнение которой в некоторой декартовой системе координат имеет вид - student2.ru Определение. Эллиптическим параболоидом называется поверхность, уравнение которой в некоторой декартовой системе координат имеет вид - student2.ru Определение. Эллиптическим параболоидом называется поверхность, уравнение которой в некоторой декартовой системе координат имеет вид - student2.ru

Рис.20 Дополнительное сечение Рис. 21.Эллиптический параболоид Рис. 22.Параболоид вращения

Следовательно, вся поверхность может быть получена движением параболы, лежащей в плоскости Определение. Эллиптическим параболоидом называется поверхность, уравнение которой в некоторой декартовой системе координат имеет вид - student2.ru . Парабола должна двигаться так, чтобы ее плоскость была параллельна плоскости Определение. Эллиптическим параболоидом называется поверхность, уравнение которой в некоторой декартовой системе координат имеет вид - student2.ru , а вершина скользила по параболе в плоскости Определение. Эллиптическим параболоидом называется поверхность, уравнение которой в некоторой декартовой системе координат имеет вид - student2.ru .

Если в уравнении Определение. Эллиптическим параболоидом называется поверхность, уравнение которой в некоторой декартовой системе координат имеет вид - student2.ru , то сечения плоскостями, параллельными плоскости Определение. Эллиптическим параболоидом называется поверхность, уравнение которой в некоторой декартовой системе координат имеет вид - student2.ru , являются окружностями. В этом случае поверхность называется параболоидом вращения и может быть образована вращением параболы, лежащей в плоскости Определение. Эллиптическим параболоидом называется поверхность, уравнение которой в некоторой декартовой системе координат имеет вид - student2.ru , вокруг оси Определение. Эллиптическим параболоидом называется поверхность, уравнение которой в некоторой декартовой системе координат имеет вид - student2.ru (рис. 22).

Наши рекомендации