Прямая в прямоугольно – декартовой системе координат. Способы задания прямой. Уравнение прямой, заданной точкой и нормальным вектором
Прямая в прямоугольно – декартовой системе координат:
Способы задания прямой.
1)L={H0(x0;y0); }
2)L={ }
Уравнение прямой, заданной точкой и нормальным вектором.
Вектор n называется нормальным вектором прямой L, если он перпендикулярен вектору p не равному 0.
– характеристика того, что вектор n является нормальным.
А(х-x0) + В(у-y0) = 0. - Уравнение прямой, заданной точкой и нормальным вектором.
Вопрос 14.
Нормальное уравнение прямой.
у
Нормальное уравнение прямой
Пусть прямая определяется заданием p и α (см. рис. 45). Рассмотрим прямоугольную систему координат . Введем полярную систему, взяв за полюс и за полярную ось. Уравнение прямой можно записать в виде , т. е. .
Но, в силу формул, связывающих прямоугольные и полярные координаты, имеем: , . Следовательно, уравнение (10.10) прямой в прямоугольной системе координат примет вид
(10.11)
Вопрос 15.
Расстояние от точки до прямой.
Опустим перпендикуляр из M0 на прямую L. H – основание перпендикуляра.
расстояние от точки до прямой.
Вопрос 16.
Векторное произведение векторов. Свойства 1-2.
Векторным произведением векторов называется вектор обладающий следующими характеристиками:
Под векторным произведением двух векторов a и b понимается вектор : для которого :
1) модуль векторного произведения численно равен площади параллелограмма , построенного на данных векторах:
2) Для того, чтобы были коллинеарными необходимо и достаточно чтобы их векторное произведение было равно 0, т.е.
Необходимость:
Пусть – коллинеарные =>
Достаточность:
Пусть
Вопрос 17.
Векторное произведение векторов. 3-ее свойство.
Для любых справедливо следующее соотношение:
1) – свойство антикоммутативности векторного произведения
2) – ассоциативность сколярного множителя
3) – свойство дистрибутивности относительно сложения векторов
Вопрос 18.
Координатные выражения векторного произведения.
Пусть нам дана .
a=
b=
Найдем смешаное произведение базисных векторов.
– координатное выражение векторного произведения
Вопрос 19.
Вычисление плошади параллелограмма и треугольника.
Пусть в дан параллелограмм A,B,C,D
c Вершинами A ;
B ;
C ;
Найти: S=
Решение: AB=
AC=
S=
S-треугольника ABC=
Вопрос 20.
Смешанное произведение векторов и его св-ва
Смешанным произведением 3-х векторов a b и c называется число, равное скалярному произведению векторного произведения 2-х векторов a и b на 3-ий вектор с.
Теорема 1.
Модуль смешанного произведения векторов численно равен объему параллелепипеда построенного на отрезках представляющих перемноженные векторы. V=
Задача1.
OA
OB
OC
V= =d-
Теорема 2.
Для того чтобы векторы a b c были компланарны, необходимо и достаточно чтобы их произведение (a,b,c)=0
Необходимость. Пусть a b c – компланарны
( =d, d перпендикулярно a и b и c=)d =
Достаточность
=0 =(d= .
Теорема 3.
Свойства:
1.
2. Цикличность смешанного произведения
3. 𝞴 – Скалярный множитель.
4. Дистрибутивность .
Вопрос 21.