Определение. Конусом второго порядка называется поверхность, уравнение которой в некоторой декартовой системе координат имеет вид

Конусом второго порядка называется поверхность, уравнение которой в некоторой декартовой системе координат имеет вид Определение. Конусом второго порядка называется поверхность, уравнение которой в некоторой декартовой системе координат имеет вид - student2.ru , где Определение. Конусом второго порядка называется поверхность, уравнение которой в некоторой декартовой системе координат имеет вид - student2.ru - положительные числа.

С математической точки зрения поверхность лучше определять с помощью уравнения Определение. Конусом второго порядка называется поверхность, уравнение которой в некоторой декартовой системе координат имеет вид - student2.ru , так как в нем меньше параметров, но при этом, во-первых, теряется аналогия с уравнениями предыдущих поверхностей, а во-вторых, если считать, что величины Определение. Конусом второго порядка называется поверхность, уравнение которой в некоторой декартовой системе координат имеет вид - student2.ru имеют размерность длины, то в уравнении размерности правой и левой части не согласуются.

Для краткости в дальнейшем конус второго порядка будем называть просто конус. Исследуем форму конуса. Так же, как эллипсоид и гиперболоиды, он имеет три плоскости симметрии, три оси симметрии и центр симметрии. Ими являются соответственно координатные плоскости, координатные оси и начало координат.

Для построения конуса найдем его сечения различными плоскостями. Найдем линию пересечения с плоскостью Определение. Конусом второго порядка называется поверхность, уравнение которой в некоторой декартовой системе координат имеет вид - student2.ru . На этой плоскости Определение. Конусом второго порядка называется поверхность, уравнение которой в некоторой декартовой системе координат имеет вид - student2.ru , поэтому Определение. Конусом второго порядка называется поверхность, уравнение которой в некоторой декартовой системе координат имеет вид - student2.ru .

Координаты только одной точки плоскости Определение. Конусом второго порядка называется поверхность, уравнение которой в некоторой декартовой системе координат имеет вид - student2.ru могут удовлетворять данному уравнению, а именно, начала координат. Найдем линию пересечения с плоскостью Определение. Конусом второго порядка называется поверхность, уравнение которой в некоторой декартовой системе координат имеет вид - student2.ru . На этой плоскости Определение. Конусом второго порядка называется поверхность, уравнение которой в некоторой декартовой системе координат имеет вид - student2.ru , поэтому Определение. Конусом второго порядка называется поверхность, уравнение которой в некоторой декартовой системе координат имеет вид - student2.ru

Это уравнение пары прямых Определение. Конусом второго порядка называется поверхность, уравнение которой в некоторой декартовой системе координат имеет вид - student2.ru на плоскости Определение. Конусом второго порядка называется поверхность, уравнение которой в некоторой декартовой системе координат имеет вид - student2.ru . Построим эти прямые (рис.15). Сечение плоскостью Определение. Конусом второго порядка называется поверхность, уравнение которой в некоторой декартовой системе координат имеет вид - student2.ru также является парой прямых с уравнением Определение. Конусом второго порядка называется поверхность, уравнение которой в некоторой декартовой системе координат имеет вид - student2.ru .

Определение. Конусом второго порядка называется поверхность, уравнение которой в некоторой декартовой системе координат имеет вид - student2.ru

Рис. 15. Сечения плоскостями Определение. Конусом второго порядка называется поверхность, уравнение которой в некоторой декартовой системе координат имеет вид - student2.ru и Определение. Конусом второго порядка называется поверхность, уравнение которой в некоторой декартовой системе координат имеет вид - student2.ru .

Найдем линии пересечения поверхности с плоскостями Определение. Конусом второго порядка называется поверхность, уравнение которой в некоторой декартовой системе координат имеет вид - student2.ru . Уравнения этих линий

Определение. Конусом второго порядка называется поверхность, уравнение которой в некоторой декартовой системе координат имеет вид - student2.ru

Первое уравнение преобразуем к виду Определение. Конусом второго порядка называется поверхность, уравнение которой в некоторой декартовой системе координат имеет вид - student2.ru . Обозначив Определение. Конусом второго порядка называется поверхность, уравнение которой в некоторой декартовой системе координат имеет вид - student2.ru и Определение. Конусом второго порядка называется поверхность, уравнение которой в некоторой декартовой системе координат имеет вид - student2.ru , получим

Определение. Конусом второго порядка называется поверхность, уравнение которой в некоторой декартовой системе координат имеет вид - student2.ru

Данное уравнение является уравнением эллипса. Построим полученные сечения (рис. 17).

Определение. Конусом второго порядка называется поверхность, уравнение которой в некоторой декартовой системе координат имеет вид - student2.ru Определение. Конусом второго порядка называется поверхность, уравнение которой в некоторой декартовой системе координат имеет вид - student2.ru

Рис.16. Дополнительное сечение Рис.17. Изображение конуса с помощью сечений

Точка пересечения конуса с плоскостью Определение. Конусом второго порядка называется поверхность, уравнение которой в некоторой декартовой системе координат имеет вид - student2.ru называется вершиной конуса.

Если в каноническом уравнении Определение. Конусом второго порядка называется поверхность, уравнение которой в некоторой декартовой системе координат имеет вид - student2.ru , то сечения конуса плоскостями параллельными плоскости Определение. Конусом второго порядка называется поверхность, уравнение которой в некоторой декартовой системе координат имеет вид - student2.ru являются окружностями. В этом случае поверхность называется прямым круговым конусом и может быть получена вращением прямой, лежащей в плоскости Определение. Конусом второго порядка называется поверхность, уравнение которой в некоторой декартовой системе координат имеет вид - student2.ru , вокруг оси Определение. Конусом второго порядка называется поверхность, уравнение которой в некоторой декартовой системе координат имеет вид - student2.ru .

Наши рекомендации