Задачи ВП при ограничениях вида неравенств
| (3.18) |
Z = f (x1 ,x2 ,…, xn ) max,
1(x1 ,x2 ,…, xn ) ≤ 
1,
| (3.19) |
2(x1 ,x2 ,…, xn ) ≤ 
2, - - - - - - - - - - - - - - -
m(x1 ,x2 ,…, xn ) ≤ m,
Путем добавления в левые части неравенств (3.31) неотрицательных переменных xn+1 ,xn+2 ,…, xn+m перейдем от ограничений-неравенств к ограничениям-равенствам
| (3.20) |
1(x1 ,x2 ,…, xn ) + xn+1= 1, 2(x1 ,x2 ,…, xn ) + xn+2= 2,
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
m(x1 ,x2 ,…, xn ) + xn+m= m.
Задача(3.18)-(3.20) является задачей ВП с ограничениями в виде равенств. Для ее решения, как и ранее, применим метод множителей Лагранжа
(x1 ,x2,…,xn+1,…, xn+m ,λ1, λ2,…, λm) = f (x1 ,x2 ,…, xn ) + 
i (bi– i(x1 ,x2,…,xn)- xn+i).
Вместо задачи (3.18)-(3.20) будем решать задачу на безусловный экстремум функции Лагранжа. Необходимое условие экстремума функции Лагранжа записывается так:
| (3.21) |
= 0, j=1,2,…,n,
| (3.22) |
=0, i=1,2,…,m,
| (3.23) |
=0, i=1,2,…,m. Учитывая вид функции 
, условия (3.21), (3.23) можно выразить следующим образом:
| (3.24) |
= 
- 
i 
= 0, 
= 
- i 
= 0,
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
= 
- i 
= 0,
= b1 - 1(x1 ,x2 ,…, xn ) - xn+1 = 0,
| (3.25) |
= bm - m(x1 ,x2 ,…, xn ) - xn+m =0.
Условия (3.22) с учетом неотрицательности переменных следует уточнить и записать в виде
| (3.26) |
∙ xn+i = 0, i=1,2,…,m. Если экстремум функции достигается внутри области допустимых решений (xn+i > 0), то в точке экстремума = 0, на границе области (xn+i = 0): ≤ 0 в случае выпуклости , < 0 - при вогнутости . Так как = - 
i , то условие (3.26) примет вид -λi xn+i = 0. Отсюда λi xn+i = 0, однако xn+i = bi– i(x1 ,x2,…,xn). Следовательно, получим
λi (bi– i(x1 ,x2,…,xn)) = 0.
В связи с тем, что = - i ≤0, получим 
i ≥0. Окончательно условие (3.26) можно записать так:
| (3.27) |
i(x1 ,x2,…,xn)) = 0, bi– i(x1 ,x2,…,xn) ≥ 0, i ≥0.
Причем, если i >0, то bi– i(x1 ,x2,…,xn) = 0, если i =0, то bi– i(x1 ,x2,…,xn) ≥ или 
i(x1 ,x2 ,…, xn ) ≤ i.
Для нахождения решения задачи (3.18)-(3.19) достаточно условий (3.24), (3.27). В них не входят переменные xn+i . Следовательно, можно и не вводить эти переменные в рассмотрение. Сразу можно было бы дял задачи (3.18)-(3.19) составлять функцию Лагранжа
= f (x1 ,x2 ,…, xn ) + i (b i - i (x1 ,x2 ,…, xn )).
Тогда необходимое условие экстремума этой функции включаю бы, как и прежде, условие (3.24). Условие же (3.27) для этой функции стало бы таким:
≥0, i =0, 
i ≥0, i=1,2,…,m,
где = b1 - 1(x1 ,x2 ,…, xn ).
Несколько усложняется решение задачи выпуклого программирования в случае ограничений в виде неравенств и ограничений неотрицательности.
Задача ВП в данном случае имеет вид
| (3.28) |
| (3.29) |
1(x1 ,x2 ,…, xn ) = 1, 2(x1 ,x2 ,…, xn ) = 2,
- - - - - - - - - - - - - - -
| (3.30) |
m(x1 ,x2 ,…, xn ) = m, xj ≥ 0, j=1,2,…,n.
| (3.31) |
| (3.32) |
= 0, j=1,2,…,n, i ≥0, i =0 , ≥0,
где - функция Лагранжа вида
= f (x1 ,x2 ,…, xn ) + i (b i - i (x1 ,x2 ,…, xn )).
Если принять во внимание условие неотрицательности xj ≥ 0, j=1,2,…,n , то вместо равенств (3.31) следует пользоваться равенствами
xj = 0, где xj ≥ 0, ≤ 0.
С учетом вида функции Лагранжа условия нахождения точка условного максимума задачи (3.28)-(3.30) можно будет записать так:
I группа условий:
- i 
≤ 0,
( - i ≤ 0)xj = 0,
xj ≥ 0, j=1,2,…,n;
II группа условий:
bi - i (x1 ,x2 ,…, xn )≥0,
i ( i (x1 ,x2 ,…, xn ) - b1) = 0,
xj ≥ 0, i=1,2,…,m.
Условия I и II называются условиями Куна -Таккера . Из совокупности этих условий выделим для более глубокого рассмотрения следующие отношения.