Вается близок к нормальному. Так как среднее статистическое

Значение случайной величины Х — это сумма достаточно боль-

Шого числа независимых случайных величин, то по централь-

Ной предельной теореме распределения близко к нормальному

С математическим ожиданием

(6.57)

И дисперсией

, (6.58)

А значит со стандартом

. (6.59)

Для того чтобы определить параметры нормального рас-

Пределения по которому находится оценка , заменяем в

формулах (6.57)−(6.59) истинные параметры М[Х], D[Х] и σ(x)

Их оценками , , и получаем

; (6.60)

; (6.61)

. (6.62)

Допуская, что случайная величина имеет нормальное

распределение с параметрами М[ ] и D[ ], находим прибли-

Женно вероятность того, что оценка отклоняется от своего

математического ожидания менее чем на ε.

, (6.63)

где Φо(х) — нормированная функция Лапласа, о которой уже

Говорилось в главе 2. Для нее составлены таблицы (см. прило-

Жение 5).

Используем данные рассматриваемого нами примера и

оценим точность и надежность . Для нашего примера имеем:

= 90; = 57,5; = 7,6. Найдем вероятность того, что, пола-

гая М[Х] ≈ , не совершим ошибки более чем ε = 3.

По формулам (6.60)−(6.62) получили:

М[ ] ≈ 90; D[ ] ≈ 2,88; σ[ ] ≈ 1,7.

Далее по формуле (6.63) имеем:

.

По таблице приложения 5 находим Φо(1,765) = 0,46164, т. е.

вероятность того, что ошибки от замены М[Х] на не превы-

сит 3 приближенно равна 0,92 (92%). Эту вероятность можно

Считать достаточной.

Доказывается, что при n > 20 оценка независимо от рас-

Пределения случайной величины Х приближенно распределе-

на по нормальному закону с параметрами:

M[ ] = D[Х]; (6.64)

; (6.65)

. (6.66)

Заменяя в формулах (6.64)−(6.66) D[Х] ее статистической

оценкой получим:

; (6.67)

; (6.68)

. (6.69)

Используя данные примера, по формулам (6.67)и (6.69) по-

лучим:

; .

Теперь по формуле (6.63) находим вероятность того, что

оценка отклонится от своего истинного значения D[Х] мень-

ше чем на ε = 3.

.

По таблице приложения 5 находим Φо(0,16) = 0,06356, т. е.

вероятность того что оценка от замены D[Х] на будет менее

3 равна 0,13 (13%), что явно недостаточно. У нас всего 20 наблю-

дений, а формулы (6.64)−(6.66) работают при n > 20.

Мы уже говорили, что наш пример учебный. В реальных

Задачах данных значительно больше, поэтому и вероятность,

Полученная по формуле (6.63), будет значительно выше.

Полученная нами гистограмма (см. рис. 6.2.) — это графи-

Ческое изображение нашего распределения. Но пользовать-

Ся гистограммой при дальнейших исследованиях неудобно.

Поэтому ставиться вопрос о том, как подобрать для данно-

Го конкретного распределения аналитическую зависимость

(формулу), которая выражала бы лишь существенные черты

Нашего распределения. Данную задачу называют, выравни-

Ваем статистических распределений. Обычно выравнива-

Ют гистограммы, т. е. заменяют ее некоторой теоретической

Кривой, имеющей определенное аналитическое выражение.

А затем это выражение принимают за плотность распреде-

ления f(x).

В рассматриваемом примере мы выравниваем построен-

Ную нами гистограмму по нормальному закону с параметрами

= 90; = 7,6, т. е. в выражении для плотности нормального

Распределения

.

Заменяем M[X] и σ[X] их оценками и получаем

. (6.70)

В качестве значений х берем границы интервалов в нашем

Группированном ряду, подставляем их в формулу (6.70) и по-

лучаем:

;

;

;

;

;

;

.

Полученные данные наносим на рис 6.2 и получаем плав-

Ную кривую.

Теперь проверим гипотезу Hо о нормальном законе рас-

пределения с плотностью f(x). Гипотезе Hо противопоставля-

Ется альтернативная гипотеза H1, которая говорит о том, что

Случайная величина Х не подчиняется нормальному закону с

параметрами = 90; = 7,6.

Для того чтобы сделать вывод о том, согласуются ли дан-

Ные наблюдений с выдвинутой нами гипотезой, применяют

Критерий согласия. Критерием согласия называется критерий

Проверки гипотезы о законе распределения. Он применяется

Для проверки согласия предполагаемого вида закона распреде-

Ления с опытными данными.

Существуют различные критерии согласия: Пирсона, Фи-

Шера, Колмогорова и др.

При проверке гипотез могут допускаться ошибки двух ви-

Дов. Ошибка первого рода состоит в том, что отвергается верная

Нулевая гипотеза Hо; ошибка второго рода — в том, что отверга-