Показатели центра распределения (мода, медиана, среднее арифметическое, среднее гармоническое, среднее геометрическое)

Любой многоэлементный объект, как правило оценивают небольшим числом параметров. Для описания часто используется описание центра (напр физики используют понятие центра тяжести, а геом используют понятие центра симметрии).

В статистике используют следующие показатели центра распределения: мода, медиана и среднее арифметическое.

Мода-значение признака, которое в выборке имеет наибольшую частоту.

Варианты
частоты

М=21 (мода-21)

Если дискретный признак представлен в виде полигона, то модой является варианта, в которой полигон имеет вершину. Дискретный признак может иметь одну моду, тогда он называется унимодальным.

Дискретный признак может иметь 2 моды, тогда он назыв. Бимодальным (полигон имеет 2 вершины). Признак может вообще не иметь моды, в этом случае более 2-х значений имеют одинаковую наибольшую частоту. Если признак непрерывный, то мода вычисляется:

Пусть дан непрерывный признак интервальным рядом вида:

Интерв 6,5-7,5 7,5-8,5 8,5-9,5 9,5-10,5 10,5-11,5
частоты

Пусть Показатели центра распределения (мода, медиана, среднее арифметическое, среднее гармоническое, среднее геометрическое) - student2.ru -начало интервала с максимальной частотой Показатели центра распределения (мода, медиана, среднее арифметическое, среднее гармоническое, среднее геометрическое) - student2.ru . Частота на предыдущем интервале f(-), частота на последующем интервале f(+), тогда

Показатели центра распределения (мода, медиана, среднее арифметическое, среднее гармоническое, среднее геометрическое) - student2.ru

Показатели центра распределения (мода, медиана, среднее арифметическое, среднее гармоническое, среднее геометрическое) - student2.ru , f(-)=12 Показатели центра распределения (мода, медиана, среднее арифметическое, среднее гармоническое, среднее геометрическое) - student2.ru , f(+)=14, тогда

Показатели центра распределения (мода, медиана, среднее арифметическое, среднее гармоническое, среднее геометрическое) - student2.ru

Можно найти моду графически по гистограмме :

Показатели центра распределения (мода, медиана, среднее арифметическое, среднее гармоническое, среднее геометрическое) - student2.ru

Медиана-число, которое на числовой оси делит все измеряемые значения признака на 2 равные по кол-ву группы: одни наблюдения не больше этого числа, другие –не меньше. Медиана обозначается буквами Ме. Для дискретных признаков медиана находится по следующим правилам:

· Все наблюдения (с повторениями значений, если они есть), выстраивают в порядке возрастания. Вычисляется число Показатели центра распределения (мода, медиана, среднее арифметическое, среднее гармоническое, среднее геометрическое) - student2.ru Если объем выборки n-число нечетное, то это число конкретное и является номером члена в упорядоченной выборке.

n=9 Показатели центра распределения (мода, медиана, среднее арифметическое, среднее гармоническое, среднее геометрическое) - student2.ru

2,5,6,6,8,10,13,14,16, тогда медиана 8 Показатели центра распределения (мода, медиана, среднее арифметическое, среднее гармоническое, среднее геометрическое) - student2.ru

Если объем выборки –число четное, то Показатели центра распределения (мода, медиана, среднее арифметическое, среднее гармоническое, среднее геометрическое) - student2.ru –это дробное число. За медиана берут полусумму двух соседних значений.

Напр, если выборка 3,5,5,7,10,11,15,17 n=8 Показатели центра распределения (мода, медиана, среднее арифметическое, среднее гармоническое, среднее геометрическое) - student2.ru

Медиана есть полусумма 4-ого и 5-ого значения , т.е. Показатели центра распределения (мода, медиана, среднее арифметическое, среднее гармоническое, среднее геометрическое) - student2.ru

Повторения в ряду наблюдений могут попасть в середину выборки, что не меняет правил подсчета:

1,2,4,4,4,7,9 n=7 Показатели центра распределения (мода, медиана, среднее арифметическое, среднее гармоническое, среднее геометрическое) - student2.ru Показатели центра распределения (мода, медиана, среднее арифметическое, среднее гармоническое, среднее геометрическое) - student2.ru

3,5,8,8,8,10,11,15 n=8 Показатели центра распределения (мода, медиана, среднее арифметическое, среднее гармоническое, среднее геометрическое) - student2.ru Показатели центра распределения (мода, медиана, среднее арифметическое, среднее гармоническое, среднее геометрическое) - student2.ru

Для непрерывных признаков медиана считается с помощью интервального и кумулятивного рядов. Пусть дан интервальный вариационный ряд и одновременно построен кумулятивный.

Интерв 6,5-7,5 7,5-8,5 8,5-9,5 9,5-10,5 10,5-11,5
Част
Накоп част

Пусть X1 –начало интервала с частотой Показатели центра распределения (мода, медиана, среднее арифметическое, среднее гармоническое, среднее геометрическое) - student2.ru , X2 –конец этого интервала до (X1,X2) накопленная частота f

Показатели центра распределения (мода, медиана, среднее арифметическое, среднее гармоническое, среднее геометрическое) - student2.ru n=60 Показатели центра распределения (мода, медиана, среднее арифметическое, среднее гармоническое, среднее геометрическое) - student2.ru

По правилам нахождения медианы для дискретных признаков надо искать полусумму 30 и 31-ого значений в упорядоченном ряду наблюдений

X1=8,5 X2=9,5 Показатели центра распределения (мода, медиана, среднее арифметическое, среднее гармоническое, среднее геометрическое) - student2.ru f=15

Показатели центра распределения (мода, медиана, среднее арифметическое, среднее гармоническое, среднее геометрическое) - student2.ru

Графически медиану можно определить по кумуляте.

Показатели центра распределения (мода, медиана, среднее арифметическое, среднее гармоническое, среднее геометрическое) - student2.ru

Среднее арифметическое (выборочное среднее).

Среднее арифметическое Показатели центра распределения (мода, медиана, среднее арифметическое, среднее гармоническое, среднее геометрическое) - student2.ru и является осн мерой центральной тенденции в мат статистике. Если X1,X2,…Xn –ряд наблюдений измеряемого признака в выборке объема n, то среднее арифм или выборочное среднее вычисляется по формуле

Показатели центра распределения (мода, медиана, среднее арифметическое, среднее гармоническое, среднее геометрическое) - student2.ru или Показатели центра распределения (мода, медиана, среднее арифметическое, среднее гармоническое, среднее геометрическое) - student2.ru

Если признак является дискретным и построен дискретный вариационный ряд

Варианты v1v2…vk
частоты m1m2…mk

Где k-общее число вариант, то ф-ла вычисления среднего арифметического упрощается (повторяющееся значения заменяются произведениями) т.е.

Показатели центра распределения (мода, медиана, среднее арифметическое, среднее гармоническое, среднее геометрическое) - student2.ru или Показатели центра распределения (мода, медиана, среднее арифметическое, среднее гармоническое, среднее геометрическое) - student2.ru

Если для признака построен интервальный вариационный ряд, то среднее ариф вычисляется так же, как и в случае дискретного вариационного ряда, только вместо вариант берутся середины интервалов.

Среднее гармоническое

Обозначается буквой Н. Является довольно специфической мерой, применяется для оценок достаточно редко (напр, когда необх усреднять время выполнения стандартного задания для людей с разной скоростью его выполнения). Формула для вычисления среднего гармонического имеет вид:

Показатели центра распределения (мода, медиана, среднее арифметическое, среднее гармоническое, среднее геометрическое) - student2.ru или Показатели центра распределения (мода, медиана, среднее арифметическое, среднее гармоническое, среднее геометрическое) - student2.ru

Для интервальных вариационных рядов в качестве вариант берутся середины интервалов.

Среднее геометрическое

Среднее геометрическое G также довольно редко используемая мера центральной тенденции, которая используется для нахождения средних темпов роста какого-то признака на протяжении нескольких одинаковых промежутков времени. Формула для вычисления ср геом имеет вид

Показатели центра распределения (мода, медиана, среднее арифметическое, среднее гармоническое, среднее геометрическое) - student2.ru

Между рассмотренными средними существует соотношение такое Показатели центра распределения (мода, медиана, среднее арифметическое, среднее гармоническое, среднее геометрическое) - student2.ru


Показатели вариации

Размах вариации. Лимиты.

Размах вариации (РВ) – разность наибольшего и наименьшего признаков выборки. РВ=xmax-xmin Лимиты - xmax и xmin

РВ показывает общую границу изменчивости признака. Этот показатель является слишком поверхностной оценкой, т.к. не дает представления об особенностях распределения значений внутри общих границ.

1, 2, 4, 5, 7, 8, 10, 11 и 1, 5, 5, 6, 6, 7, 7, 11

Например, есть ряды наблюдений, они имеют одни и те же лимиты xmin=1, xmax=11. Для них размах вариации один и тот же, но значения признаков имеет совершенно отчетливое различие в расположении. В первом случае значения равномерно располагаются по всей области. Во втором случае концентрируются около значения 6.

Среднее линейное отклонение.

Среднее линейное отклонение МД – среднее арифметическое абсолютных величин отклонений.

МД = Показатели центра распределения (мода, медиана, среднее арифметическое, среднее гармоническое, среднее геометрическое) - student2.ru или МД= Показатели центра распределения (мода, медиана, среднее арифметическое, среднее гармоническое, среднее геометрическое) - student2.ru

Формула проста, на практике практически не используется, т.к. плохо согласуется с теоретическими оценками теории вероятностей.

Выборочная дисперсия.

Чтобы избежать необходимости оценивать отклонение по абсолютной величине используют выборочную дисперсию ( Показатели центра распределения (мода, медиана, среднее арифметическое, среднее гармоническое, среднее геометрическое) - student2.ru ). Для вычисления выборочной дисперсии в формуле для среднего отклонения абсолютные величины отклонений заменяют их квадратами, а в знаменателе n заменяют на n-1, т.е.

Показатели центра распределения (мода, медиана, среднее арифметическое, среднее гармоническое, среднее геометрическое) - student2.ru или Показатели центра распределения (мода, медиана, среднее арифметическое, среднее гармоническое, среднее геометрическое) - student2.ru

В случае, когда признак является дискретным и для него составлен дискретный вариационный ряд вида

вариата ν1 ν2 νk
частота m1 m2 mk

Тогда дисперсия вычисляется по формуле Показатели центра распределения (мода, медиана, среднее арифметическое, среднее гармоническое, среднее геометрическое) - student2.ru или Показатели центра распределения (мода, медиана, среднее арифметическое, среднее гармоническое, среднее геометрическое) - student2.ru k<n

Если для признака составлены интервальный вариационный ряд, то вместо вариант берутся середины интервалов.

Стандартное отклонение.

Выборочная дисперсия вычисляется как среднее квадратов отклонения. Возведение в квадрат несколько меняет оценку вариации. Чтобы избавится от такого измерения вместо диперсии используют стандартное отклонение, которое вычисляют


Ассиметрия и эксцесс

При оценке свойств измеряемого признака большое значение имеет симметрия частот отклонений относительно среднего арифметического. Она сказывается на форме кривой распределения. Пусть по ряду наблюдения вычислено среднее арифметическое и ряд отклонения. Распределение частот симметрично, если отклонения со знаком «+» встречаются столько раз, сколько такие же отклонения по абсолютной величине со знаком «-». Симметрию легко выявить по полигону или гистограмме. Ветви полигона симметричны относительно вершины. Для количественной оценки несимметричности распределения введен коэффициент ассиметрии (ассиметрия), который вычисляется по формуле:

Показатели центра распределения (мода, медиана, среднее арифметическое, среднее гармоническое, среднее геометрическое) - student2.ru -показатель ассиметрии, где s – стандартное отклонение.

Если Аs=0 распределение частот симметричное.

Если As>0, э.зн., что чаще встречаются отклонения со знаком «+» и говорят о правосторонней симметрии.

Если As<0, э.зн., что чаще встречаются отклонения со знаком «-» и говорят о левосторонней симметрии.

Показатели центра распределения (мода, медиана, среднее арифметическое, среднее гармоническое, среднее геометрическое) - student2.ru

Эксцесс

Показатели центра распределения (мода, медиана, среднее арифметическое, среднее гармоническое, среднее геометрическое) - student2.ru (Обозначается Ex) – это показатель, который описывает формулу кривой распределения в смысл островершинности или плосковершинности. Чаще всего этот показатель используют для описания унимодальных распределений частот.

Вершина полигона острая, если небольшое число вариант около моды имеет превосходство в величине частоты.

Показатели центра распределения (мода, медиана, среднее арифметическое, среднее гармоническое, среднее геометрическое) - student2.ru Если варианты в районе моды имеют примерно сравнимые частоты, то полигон будет плосковершинным.

Значение эксцесса вычисляется по формуле:

Показатели центра распределения (мода, медиана, среднее арифметическое, среднее гармоническое, среднее геометрическое) - student2.ru

Если Eх=0, то распределение характеризуется как нормальное.

Если Eх>0, распределение островершинное.

Если Eх<0, распределение плосковершинное.
58. Эмпирическая функция распределения

Пусть имеется статистический ряд сгруппированных данных случайной величины Х. Эмпирической функцией распределения или функцией распределения выборки называется функция F*(x) определяемая для любых х относительную частоту событий Х<х => F*(х)= Показатели центра распределения (мода, медиана, среднее арифметическое, среднее гармоническое, среднее геометрическое) - student2.ru , где nx – число вариант меньше х. По определению эмпирические функции распределения зависят от выборки

1. ее значения принадлежат [0,1];

2. неубывающая;

3. х1 – наименьшая вариация, х2 – наибольшая вариация

Показатели центра распределения (мода, медиана, среднее арифметическое, среднее гармоническое, среднее геометрическое) - student2.ru x<x1; Показатели центра распределения (мода, медиана, среднее арифметическое, среднее гармоническое, среднее геометрическое) - student2.ru x>x2

Построим эмпирическую функцию распределения по данной таблице сгруппированных данных:

Показатели центра распределения (мода, медиана, среднее арифметическое, среднее гармоническое, среднее геометрическое) - student2.ru

При некоторых расчетах интервальный вариационный ряд заменяют дискретным вариационным рядом. В качестве значений признака берут середины интервалов.


Наши рекомендации