Дифференцирование сложной функции
Если функция дифференцируема в точке , а функция дифференцируема в точке , то сложная функция дифференцируема в точке и
,
где индекс внизу показывает, по какой переменной берется производная.
Задача 4. Найти производные следующих функций:
а) ; г) ;
б) ; д) .
в) ;
Решение. а) Функцию представим как композицию функций и . Используя таблицу производных, находим: , .
Тогда
.
б) Функцию представим как композицию функций ,
и .Найдем производные по промежуточным аргументам: , и .
Производную сложной функции находим по формуле . Окончательно получим = .
Аналогично решается задача в:
=
= = .
г) Предварительно упростив выражение, определяющее функцию, до вида
,
находим производную:
.
д) Прологарифмируем обе части равенства, задающего функцию
.
Находя производные от левой и правой частей этого тождества, получим
Вычисляя производную от правой части тождества и решая уравнение относительно , получим
.
Производные высших порядков
Производная от функции также определяется функцией от и может быть дифференцируема.
Производная от производной функции называется производной второго порядка от функции и обозначается:
.
Аналогично определяются производные третьего, четвертого и более высоких порядков.
Задача 5.Найти и для функции ;
Решение. Найдем сначала :
= = .
Затем находим вторую производную:
=
.