Основные принципы моделирования

Моделирование сложных систем основано на некоторых основных принципах, к которым относятся:

1. Принцип информационной достаточности - моделирование не имеет смысла, если известно все о моделируемом объекте, но моделирование невозможно, если известно слишком мало, информации должно быть достаточно для моделирования;

2. Принцип осуществимости - модель должна обеспечивать достижение поставленной цели исследования с вероятностью, существенно отличающейся от нуля, и за конечное время;

3. Принцип множественности моделей - один и тот же объект может быть смоделирован разными способами, в разных его моделях главное внимание будет уделять разным сторонам моделируемого объекта, будет использоваться разный набор исходных характеристик;

4. Принцип агрегирования - представление сложной системы состоящей из агрегатов (подсистем), для адекватного математического описания которых могут быть использованы стандартные математические схемы;

5. Принцип параметризации - моделируемая система может иметь в своём составе некоторые относительно изолированные подсистемы, характеризующиеся определённым параметром, в том числе векторным, которые можно заменять в модели соответствующими числовыми величинами, а не описывать процесс их функционирования, что облегчает моделирование, но снижает адекватность модели;

6. Принцип иерархической организации - представление многообразия окружающей природы в виде соподчиненных друг другу естественных и искусственных систем;

7. Принцип несовместимости - чем глубже анализируется реальная сложная система, тем менее определенны наши суждения о ее поведении. Иными словами, сложность системы и точность, с которой ее можно анализировать, связаны обратной зависимостью;

8. Принцип контринтуитивного поведения сложной системы - невозможно дать удовлетворительный прогноз о поведении сложной системы на достаточно большом промежутке времени, опираясь только на собственный опыт и интуицию; наша интуиция «воспитана» на общении с простыми системами, где связи элементов практически всегда удается проследить, и контринтуитивность поведения сложной системы состоит в том, что она реагирует на воздействия совсем иным образом, чем это нами интуитивно ожидалось.

Типы математических моделей: статистические, аналитические

Аналитическое моделирование

Для аналитического моделирования характерно, что процессыфункционирования системы записываются в виде некоторых функциональныхсоотношений (алгебраических, дифференциальных, интегральных уравнений). Аналитическая модель может быть исследована следующими методами:

1) аналитическим, когда стремятся получить в общем виде явныезависимости для характеристик систем;

2) численным, когда не удается найти решение уравнений в общем виде иих решают для конкретных начальных данных;

3) качественным, когда при отсутствии решения находят некоторые егосвойства.

Аналитические модели удается получить только для сравнительно простыхсистем. Для сложных систем часто возникают большие математическиепроблемы. Для применения аналитического метода идут на существенноеупрощение первоначальной модели. Однако исследование на упрощенноймодели помогает получить лишь ориентировочные результаты. Аналитическиемодели математически верно отражают связь между входными и выходнымипеременными и параметрами. Но их структура не отражает внутреннююструктуру объекта.

При аналитическом моделировании его результаты представляются в видеаналитических выражений. Например, подключив RC -цепь к источникупостоянного напряжения E ( R, C и E - компоненты данной модели), мыможем составить аналитическое выражение для временной зависимостинапряжения u(t ) на конденсаторе C :

. (1)

Это линейное дифференциальное уравнение (ДУ) и являетсяаналитической моделью данной простой линейной цепи. Его аналитическоерешение, при начальном условии u(0) = 0 , означающем разряженныйконденсатор C в момент начала моделирования, позволяет найти искомуюзависимость – в виде формулы:

u(t) = E(1− eхp(- t/ RC )). (2)

Однако даже в этом простейшем примере требуются определенные усилиядля решения ДУ (1) или для применения систем компьютерной математики (СКМ) с символьными вычислениями – систем компьютернойалгебры. Для данного вполне тривиального случая решение задачимоделирования линейной RC -цепи дает аналитическое выражение (2)достаточно общего вида – оно пригодно для описания работы цепи при любыхноминалах компонентов R, C и E , и описывает экспоненциальный зарядконденсатора C через резистор R от источника постоянного напряженияE .

Безусловно, нахождение аналитических решений при аналитическоммоделировании оказывается исключительно ценным для выявления общихтеоретических закономерностей простых линейных цепей, систем и устройств.Однако его сложность резко возрастает по мере усложнения воздействий намодель и увеличения порядка и числа уравнений состояния, описывающихмоделируемый объект. Можно получить более или менее обозримыерезультаты при моделировании объектов второго или третьего порядка, но ужепри большем порядке аналитические выражения становятся чрезмерногромоздкими, сложными и трудно осмысляемыми. Например, даже простойэлектронный усилитель зачастую содержит десятки компонентов. Тем неменее, многие современные СКМ, например, системы символьной математикиMaple, Mathematicaили среда MATLAB, способны в значительноймере автоматизировать решение сложных задач аналитическогомоделирования.

Одной из разновидностей моделирования является численное моделирование, которое заключается в получении необходимыхколичественных данных о поведении систем или устройств каким-либоподходящим численным методом, таким как методы Эйлера илиРунге-Кутта. На практике моделирование нелинейных систем и устройствс использованием численных методов оказывается намного болееэффективным, чем аналитическое моделирование отдельных частных линейныхцепей, систем или устройств. Например, для решения ДУ (1) или систем ДУв более сложных случаях решение в аналитическом виде не получается, но поданным численного моделирования можно получить достаточно полныеданные о поведении моделируемых систем и устройств, а также построитьграфики описывающих это поведение зависимостей.

Статистическое моделирование состоит в обработке данных о системе (модели) с целью получения статистических характеристик системы. Его можно считать разновидностью имитационного моделирования, способ исследования процессов поведения вероятностных систем в условиях, когда неизвестны внутренние взаимодействия в этих системах. Он заключается в машинной имитации изучаемого процесса, который как бы копируется на вычислительной машине со всеми сопровождающими его случайностями; используется главным образом при решении задач исследования операций, в анализе производственной деятельности. Один из наиболее распространенных методов статистических испытаний — метод Монте-Карло.

Смысл метода Монте-Карло состоит в том, что исследуемый процесс моделируется путем многократных повторений его случайных реализаций. Это объясняет происхождение экзотического названия метода: одним из простейших приборов, генерирующих случайные числа, может служить рулетка (город Монте-Карло в княжестве Монако знаменит своими игорными домами). Единичные реализации называются статистическими испытаниями— отсюда второе название метода. В простых случаях для выбора вариантов наугад (т.е., для реализации механизма случайного выбора) можно применять бросание игральной кости (классический учебный прием), но на практике для этого используют таблицы случайных чисел либо вырабатывают (генерируют) случайные числа на ЭВМ. В последнем случае используются специальные программные или аппаратурные средства, которые называются генераторами случайных чисел. Программные средства данного типа обычно выдают так называемые псевдослучайные последовательности (имеющие цикл повтора, хотя и очень длительный). Аппаратурные средства, базирующиеся на усилении и обработке теплового шума электронных схем, выдают чисто случайныепоследовательности.

Метод применяется в тех случаях, когда построение аналитической модели явления трудно или вовсе неосуществимо, например, при решении сложных задач теории массового обслуживания и ряда других задач исследования операций, связанных с изучением случайных процессов.

Примеры:

1) Вычисление числа π.

Изобразим на декартовой плоскости две фигуры – квадрат и сектор круга, как это показано на Рисунок 0‑2

Рисунок 0‑2 К вычислению числа π

Пусть имеем генератор случайных чисел в диапазоне от [0;1].
Будем считать эти числа координатами точки декартовой плоскости x и y.

Точка будет принадлежать области круга, если выполняется условие

Тогда после многократно проведенных испытаний значение числа π можно приближенно оценить по формуле

где

Nкр - число попаданий в область круга,

Nкв- число попаданий в область квадрата(общее число реализаций)

2) Аналогичным образом можно решить уже практически полезную задачу вычисления определенного интеграла, не имеющую точного аналитического решения.

3) Предположим, надо определить, как часто и как долго придется ждать покупателям в очереди в магазине при заданной его пропускной способности (допустим, для того, чтобы принять решение, следует ли расширять магазин). Подход покупателей носит случайный характер, распределение времени подхода может быть установлено из имеющейся информации. Время обслуживания покупателей тоже носит случайный характер и его распределение тоже может быть выявлено. Таким образом, имеются два стохастических (или случайных) процесса, взаимодействие которых и создает очередь.

Теперь, если наугад перебирать все возможности (например, число покупателей, приходящих за час), сохраняя те же характеристики распределения, можно искусственно воссоздать картину этого процесса. Повторяя такую картину многократно, каждый раз меняя условия (число подходящих покупателей), можно изучать получаемые статистические данные так, как если бы они были получены при наблюдении над реальным потоком покупателей.

Точно так же можно воссоздать искусственную картину работы самого магазина: здесь распределение будет повторять распределение времени обслуживания отдельного покупателя. Получаются опять два стохастических процесса. Их взаимодействие даст «очередь» с примерно такими же характеристиками (например, средней длиной очереди или средним временем ожидания), какими обладает реальная очередь.

А) моделирование однородных систем

Б) модели формальной кинетики

В) модели беологических сообществ(хищник – жертва)

Постановка задачи

Провести качественное и компьютерное моделирование отношений типа «Хищник - Жертва», описываемого системой уравнений:

dx1/dt =c1x1 - a12x1x2=P(x1,x2) (1)/dt =-c2x2+ a21x1x2= Q(x1,x2)

где, x1- численность популяции первого вида;

х2- численность популяции второго вида;и с2 - коэффициенты естественного прироста;, a21 - коэффициенты взаимного сотрудничества;

Для системы уравнений (1) первое слагаемое соответствует естественному приросту, а второе слагаемое - описывает внутривидовую конкуренцию. Из системы уравнений (1) видно, что наличие второго вида приводит к повышению эффективной ёмкости первого вида и наоборот, поэтому происходит снижение эффекта внутривидовой конкуренции. Проведем качественное исследование данной системы уравнений. Для качественного исследования в системе найдем точки равновесия (особые точки системы), которые определяют стационарные численности популяции.

Нахождение особых точек

Определим стационарные точки системы уравнений, которые являются алгебраическими корнями системы уравнений.

с1х1-а12х1х2=0 (2)x2+a21x1x2=0

Стационарные точки - это точки равновесия, определяемые из условия:

/dt=dx2/dt=0

Вынесем за скобку в первом уравнении х1, а во втором х2 и получим:

х1(с1-а12х2)=0

х2(-с2+а21х1)=0
Система уравнений (2) имеет две пары корней:

=0 и х2=0 1-я особая точка

х2=с2/а21 и х2=с1/a12 2-я особая точка

Если эти особые точки устойчивы, то величины х1 и х2 будут стремиться к этим точкам. Если особые точки не устойчивы, то численности популяций х1 и х2 будут удаляться от этих точек.

Система (1) представляет собой частный случай автономной динамической системы:

/dt=P(х1,х2)/dt=Q(x1,x2)

Особая точка соответствует стационарному (равновесному) состоянию системы. Любая экосистема является открытой, т.е. всегда обменивается энергией, информацией, веществом с окружающей средой.

Любая точка на фазовой плоскости является точкой состояния системы в данный момент времени и называется изображающей точкой. Со временем изображающая точка движется по фазовой плоскости. Эта линия, которая описывает изменение численности видов со временем, называется фазовой траекторией.