Системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными

где a, b, c, d, e, f – заданные числа; x, y – неизвестные. Числа a, b, d, e – коэффициенты при неизвестных; c, f – свободные члены. Решение этой системы уравнений может быть найдено двумя основными методами.

Метод подстановки.

1) Из одного уравнения выражаем одно из неизвестных, например x, через коэффициенты и другое неизвестное y:

x = ( c – by ) / a . (2)

2) Подставляем во второе уравнение вместо x :

d ( c – by ) / a + ey = f .

3) Решая последнее уравнение, находим y :

y = ( af – cd ) / ( ae – bd ).

4) Подставляем это значение вместо y в выражение (2) :

x = ( ce – bf ) / ( ae – bd ) .

П р и м е р . Решить систему уравнений:

Из первого уравнения выразим х через коэффициенты и y :

x = ( 2y + 4 ) / 3 .

Подставляем это выражение во второе уравнение и находим y :

( 2y + 4 ) / 3 + 3y = 5 , откуда y = 1 .

Теперь находим х, подставляя найденное значение вместо y в выражение для х: x = ( 2 · 1 + 4 ) / 3, откуда x = 2 .

Сложение или вычитание. Этот метод состоит в следующем.

1) Умножаем обе части 1-го уравнения системы (1) на (– d ), а обе части 2-го уравнения на а и складываем их:

Отсюда получаем: y = ( af – cd ) / ( ae – bd ).

2) Подставляем найденное для y значение в любое уравнение системы (1):

ax + b( af – cd ) / ( ae – bd ) = c.

3) Находим другое неизвестное: x = ( ce – bf ) / ( ae – bd ).

П р и м е р . Решить систему уравнений:

методом сложения или вычитания.

Умножаем первое уравнение на –1, второе – на 3 и складываем их:

отсюда y = 1. Подставляем это значение во второе уравнение

(а в первое можно?): 3x + 9 = 15, отсюда x = 2.

56. Определители второго порядка. Формулы для решения системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными имеют вид:

x = ( ce – bf ) / ( ae – bd ) ,

(3)

y = ( af – cd ) / ( ae – bd ) .

Эти формулы легко запоминаются, если ввести для их числителей и знаменателей следующий символ:

, который будет обозначать выражение: ps – qr .

Это выражение получается перекрёстным умножением чисел p, q, r, s :

и последующим вычитанием одного произведения из другого: ps – qr. Знак « + » берётся для произведения чисел, лежащих на диагонали, идущей из левого верхнего числа к правому нижнему; знак « – » - для другой диагонали, идущей из правого верхнего числа к левому нижнему. Например,

Выражение называется определителем второго порядка.

57. Системы трёх линейных уравнений с тремя неизвестными имеют вид:

где a, b, c, d, e, f, g, h, p, q, r, s – заданные числа; x, y, z – неизвестные. Числа a, b, c, e, f, g, p, q, r – коэффициенты при неизвестных; d, h, s – свободные члены. Решение этой системы может быть найдено теми же двумя основными методами, рассмотренными выше: подстановки и сложения или вычитания. Мы же рассмотрим здесь подробно только метод Крамера.

Во-первых, введём понятие определителя третьего порядка. Выражение

называется определителем третьего порядка.

Запоминать это выражение не нужно, так как его легко получить, если переписать таблицу (2), добавив справа первые два столбца. Тогда оно вычисляется путём перемножения чисел, расположенных на диагоналях, идущих от a, b, c – направо ( со знаком « + » ) и от c, a, b – налево ( со знаком « – » ), и затем суммированием этих произведений:

Используя определитель третьего порядка (2), можно получить решение системы уравнений (1) в виде:

Эти формулы и есть правило Крамера для решения системы трёх линейных уравнений с тремя неизвестными.

П р и м е р . Решить методом Крамера систему трёх линейных уравнений с тремя неизвестными:

Р е ш е н и е . Введём следующие обозначения: D - знаменатель в формулах (4),

Dx, Dy, Dz – числители в выражениях для x, y, z – соответственно.

Тогда используя схему (3), получим:

отсюда по формулам Крамера (4): x = Dx / D = 0 / 32 = 0;

y = Dy / D = 32 / 32 = 1; z = Dz / D = 64 / 32 = 2 .