Системы n линейных уравнений c n неизвестными

Общий вид системы уравнений (m=n):

Системы n линейных уравнений c n неизвестными - student2.ru (4).

Матрица А такой системы является квадратной: А= Системы n линейных уравнений c n неизвестными - student2.ru (5) и она имеет определитель Δ, который называется определителем системы.

Метод Крамера

Теорема (правило Крамера). Пусть Δ — определитель матрицы — определитель матрицы системы А, а Δj — определитель, полученный из определителя Δзаменой j-го столбца столбцом свободных членов В. Тогда, если Δ Системы n линейных уравнений c n неизвестными - student2.ru0, тосистема линейных уравнений (4) имеет единственное решение, определяемое по формулам

xi = Δj / Δ, j= 1,2,…,n. (7)

Формулы вычисления неизвестных (7) носят название формул Крамера.

Правило Крамера можно использовать, только когда определитель системы Δне равен нулю.

Пример: Решить, используя правило Крамера, систему уравнений:

Системы n линейных уравнений c n неизвестными - student2.ru

Решение:

Δ= Системы n линейных уравнений c n неизвестными - student2.ru = Системы n линейных уравнений c n неизвестными - student2.ru = Системы n линейных уравнений c n неизвестными - student2.ru =-11 Системы n линейных уравнений c n неизвестными - student2.ru 0

Вычислим дополнительные определители и значения неизвестных:

Δ1= Системы n линейных уравнений c n неизвестными - student2.ru = Системы n линейных уравнений c n неизвестными - student2.ru = - Системы n линейных уравнений c n неизвестными - student2.ru =-22; x1= Δ1/ Δ= (-22)/(-11)= 2.

Δ2= Системы n линейных уравнений c n неизвестными - student2.ru = Системы n линейных уравнений c n неизвестными - student2.ru = Системы n линейных уравнений c n неизвестными - student2.ru =11; x2 = Δ2/ Δ= 11/(-11)=-1.

Δ3= Системы n линейных уравнений c n неизвестными - student2.ru = Системы n линейных уравнений c n неизвестными - student2.ru = Системы n линейных уравнений c n неизвестными - student2.ru =-11; x3= Δ3/ Δ= (-11)/(-11)=1.

Путем подстановки можно проверить, что полученное решение Х=(2,-1,1) является верным.

Контрольные вопросы(ОК-1, ОК-2, ОК-11, ПК-1):

1. Что такое определитель системы линейных уравнений?

2. Какие системы называются совместными, несовместными, опре­делёнными, неопределёнными, однородными, неоднородными?

3. Что такое решение системы?

4. Приведите формулы Крамера для решения систем линейных уравнений

5. Какие системы могут быть решены по формулам Крамера?

Практические задания общие(ОК-1, ОК-2, ОК-11, ПК-1):

Пример 1.(ОК-1, ОК-2, ОК-11): Решить систему

Системы n линейных уравнений c n неизвестными - student2.ru

Решение:

Вычислим определитель основной матрицы системы:

Оставим без изменения первую строку (здесь элемент а11=1). Получим в первом столбце нули. Воспользуемся свойством 7. Сначала элементы 1-ой строки умножим на (-2) и сложим полученные элементы со 2-ой строкой. Затем умножим элементы 1-ой строки на (-3) и сложим с 3-ей строкой. Умножим на (-1) и сложим с 4-ой строкой. Получим определитель, в котором в 1-ом столбце все элементы, кроме а11, равны нулю.

Проведем разложение по первому столбцу.

Системы n линейных уравнений c n неизвестными - student2.ru

= Системы n линейных уравнений c n неизвестными - student2.ru

Так как Системы n линейных уравнений c n неизвестными - student2.ru =35 ≠ 0, то система имеет единственное решение и формулы Крамера можно применить.

Вычисляем определители:

Системы n линейных уравнений c n неизвестными - student2.ru ; Системы n линейных уравнений c n неизвестными - student2.ru ;

Системы n линейных уравнений c n неизвестными - student2.ru ; Системы n линейных уравнений c n неизвестными - student2.ru .

Следовательно,

х1 = Системы n линейных уравнений c n неизвестными - student2.ru = Системы n линейных уравнений c n неизвестными - student2.ru = 2, х2 = Системы n линейных уравнений c n неизвестными - student2.ru = Системы n линейных уравнений c n неизвестными - student2.ru = - 1,

х3 = Системы n линейных уравнений c n неизвестными - student2.ru = Системы n линейных уравнений c n неизвестными - student2.ru = 0, х4 = Системы n линейных уравнений c n неизвестными - student2.ru = Системы n линейных уравнений c n неизвестными - student2.ru = - 2.

Замечание.В случае, когда число неизвестных n велико, практическое использование формул Крамера затруднено в связи с необходимостью большого числа вычислений. Кроме того, что самое главное, в случае, когда коэффициенты уравнений системы заданы приближенно (в практических задачах бывает почти всегда), погрешность решения может быть весьма велика. Поэтому при практическом решении системы уравнений формулы Крамера используют редко.

2. Решить систему по формулам Крамера Системы n линейных уравнений c n неизвестными - student2.ru (ОК-1, ОК-2, ОК-11)

3. Решить системы уравнений методом Крамера (ОК-1, ОК-2, ОК-11):

а) Системы n линейных уравнений c n неизвестными - student2.ru б) Системы n линейных уравнений c n неизвестными - student2.ru в) Системы n линейных уравнений c n неизвестными - student2.ru

Индивидуальные задания(ОК-1, ОК-2, ОК-11, ПК-1):

№1. Решите системы линейных уравнений, применяя метод Крамера:

1. Системы n линейных уравнений c n неизвестными - student2.ru 2. Системы n линейных уравнений c n неизвестными - student2.ru

3. Системы n линейных уравнений c n неизвестными - student2.ru

4. Системы n линейных уравнений c n неизвестными - student2.ru 5. Системы n линейных уравнений c n неизвестными - student2.ru

6. Системы n линейных уравнений c n неизвестными - student2.ru 7. Системы n линейных уравнений c n неизвестными - student2.ru

8. Системы n линейных уравнений c n неизвестными - student2.ru 9. Системы n линейных уравнений c n неизвестными - student2.ru

10. Системы n линейных уравнений c n неизвестными - student2.ru 11. Системы n линейных уравнений c n неизвестными - student2.ru

12. Системы n линейных уравнений c n неизвестными - student2.ru

Рекомендуемое содержание отчета (для студента).

1. Название лабораторной работы

2. Цель и задачи исследований

3. Электронно-вычислительные средства для расчетов

4.Журнал (тетрадь) исследований (вычислений) с обработкой полученных данных в виде таблиц, графиков (по требованию)

5. Выводы

6. Анализ и защита лабораторной работы производится по результатам представленного студенческой группой отчета (перечень сделанного, рекомендации, ответы на рассмотренные в процессе выполнения контрольные вопросы)

Преподаватель оценивает знание каждого студента.

Литература

Наши рекомендации