Определители 2-го порядка, системы 2-х линейных уравнений с двумя неизвестными

Определение. Число Определители 2-го порядка, системы 2-х линейных уравнений с двумя неизвестными - student2.ru , составленное из элементов квадратной матрицы Определители 2-го порядка, системы 2-х линейных уравнений с двумя неизвестными - student2.ru , называется определением второго порядка.

Определитель второго порядка обозначают иногда как Определители 2-го порядка, системы 2-х линейных уравнений с двумя неизвестными - student2.ru или Определители 2-го порядка, системы 2-х линейных уравнений с двумя неизвестными - student2.ru :

Определители 2-го порядка, системы 2-х линейных уравнений с двумя неизвестными - student2.ru .

Например: Определители 2-го порядка, системы 2-х линейных уравнений с двумя неизвестными - student2.ru .

Рассмотрим систему линейных уравнений Определители 2-го порядка, системы 2-х линейных уравнений с двумя неизвестными - student2.ru и )составим:

Определители 2-го порядка, системы 2-х линейных уравнений с двумя неизвестными - student2.ru - главный определитель системы,

Определители 2-го порядка, системы 2-х линейных уравнений с двумя неизвестными - student2.ru и Определители 2-го порядка, системы 2-х линейных уравнений с двумя неизвестными - student2.ru ‑ вспомогательные определители системы.

Вспомогательные определители системы получаются из главного определителя Определители 2-го порядка, системы 2-х линейных уравнений с двумя неизвестными - student2.ru заменой столбца Определители 2-го порядка, системы 2-х линейных уравнений с двумя неизвестными - student2.ru коэффициентов при неизвестном Определители 2-го порядка, системы 2-х линейных уравнений с двумя неизвестными - student2.ru (в ∆1) и столбца Определители 2-го порядка, системы 2-х линейных уравнений с двумя неизвестными - student2.ru коэффициентов при неизвестном Определители 2-го порядка, системы 2-х линейных уравнений с двумя неизвестными - student2.ru (в ∆2) столбцом Определители 2-го порядка, системы 2-х линейных уравнений с двумя неизвестными - student2.ru свободных членов. Решение системы находим по правилу Крамера: Определители 2-го порядка, системы 2-х линейных уравнений с двумя неизвестными - student2.ru , Определители 2-го порядка, системы 2-х линейных уравнений с двумя неизвестными - student2.ru (при условии Определители 2-го порядка, системы 2-х линейных уравнений с двумя неизвестными - student2.ru ).

Определители 3-го порядка, системы 3-х уравнений с тремя неизвестными.

Рассмотрим матрицу из девяти элементов (три строки и три столбца):

Определители 2-го порядка, системы 2-х линейных уравнений с двумя неизвестными - student2.ru

Первый индекс Определители 2-го порядка, системы 2-х линейных уравнений с двумя неизвестными - student2.ru элемента Определители 2-го порядка, системы 2-х линейных уравнений с двумя неизвестными - student2.ru обозначает номер строки, второй Определители 2-го порядка, системы 2-х линейных уравнений с двумя неизвестными - student2.ru ‑ номер столбца.

Определение.Определением третьего порядка называется число, обозначаемое символом

Определители 2-го порядка, системы 2-х линейных уравнений с двумя неизвестными - student2.ru

Для запоминания формулы служит геометрическое правило Саррюса. Складываем произведение элементов, расположенных на главной диагонали и на двух треугольниках, с основаниями параллельными главной диагонали и с вершиной на крайнем элементе побочной диагонали:

Определители 2-го порядка, системы 2-х линейных уравнений с двумя неизвестными - student2.ru , Определители 2-го порядка, системы 2-х линейных уравнений с двумя неизвестными - student2.ru , Определители 2-го порядка, системы 2-х линейных уравнений с двумя неизвестными - student2.ru .

Вычитаем произведение элементов, расположенных на побочной диагонали и на двух треугольниках, с основаниями параллельными побочной диагонали и с вершиной на крайнем элементе главной диагонали:

Определители 2-го порядка, системы 2-х линейных уравнений с двумя неизвестными - student2.ru , Определители 2-го порядка, системы 2-х линейных уравнений с двумя неизвестными - student2.ru , Определители 2-го порядка, системы 2-х линейных уравнений с двумя неизвестными - student2.ru .

Правило Саррюса часто называют так же правилом треугольников и схематично изображают с помощью диаграмм:

Определители 2-го порядка, системы 2-х линейных уравнений с двумя неизвестными - student2.ru Определители 2-го порядка, системы 2-х линейных уравнений с двумя неизвестными - student2.ru Определители 2-го порядка, системы 2-х линейных уравнений с двумя неизвестными - student2.ru Определители 2-го порядка, системы 2-х линейных уравнений с двумя неизвестными - student2.ru Определители 2-го порядка, системы 2-х линейных уравнений с двумя неизвестными - student2.ru Определители 2-го порядка, системы 2-х линейных уравнений с двумя неизвестными - student2.ru Определители 2-го порядка, системы 2-х линейных уравнений с двумя неизвестными - student2.ru Определители 2-го порядка, системы 2-х линейных уравнений с двумя неизвестными - student2.ru

Как и выше, используя определители 3-го порядка, можно по правилу Крамера найти решение системы линейных уравнений

Определители 2-го порядка, системы 2-х линейных уравнений с двумя неизвестными - student2.ru

Определители 2-го порядка, системы 2-х линейных уравнений с двумя неизвестными - student2.ru ( Определители 2-го порядка, системы 2-х линейных уравнений с двумя неизвестными - student2.ru ).

Здесь Определители 2-го порядка, системы 2-х линейных уравнений с двумя неизвестными - student2.ru ‑ соответственно главный определитель и три вспомогательных определителя

Определители 2-го порядка, системы 2-х линейных уравнений с двумя неизвестными - student2.ru , Определители 2-го порядка, системы 2-х линейных уравнений с двумя неизвестными - student2.ru , Определители 2-го порядка, системы 2-х линейных уравнений с двумя неизвестными - student2.ru , Определители 2-го порядка, системы 2-х линейных уравнений с двумя неизвестными - student2.ru .

Вспомогательные определители Определители 2-го порядка, системы 2-х линейных уравнений с двумя неизвестными - student2.ru получаются из главного Определители 2-го порядка, системы 2-х линейных уравнений с двумя неизвестными - student2.ru заменой соответственно первого, второго и третьего столбца на столбец правых частей.

Скалярное произведение двух векторов.

Определение. Скалярным произведением двух векторов Определители 2-го порядка, системы 2-х линейных уравнений с двумя неизвестными - student2.ru и Определители 2-го порядка, системы 2-х линейных уравнений с двумя неизвестными - student2.ru называется число, равное произведению длин векторов на косинус угла меду ними и обозначаемое

Определители 2-го порядка, системы 2-х линейных уравнений с двумя неизвестными - student2.ru или Определители 2-го порядка, системы 2-х линейных уравнений с двумя неизвестными - student2.ru .

Если векторы Определители 2-го порядка, системы 2-х линейных уравнений с двумя неизвестными - student2.ru и Определители 2-го порядка, системы 2-х линейных уравнений с двумя неизвестными - student2.ru перпендикулярны, то их скалярное произведение Определители 2-го порядка, системы 2-х линейных уравнений с двумя неизвестными - student2.ru . Обратно, если скалярное произведение векторов Определители 2-го порядка, системы 2-х линейных уравнений с двумя неизвестными - student2.ru , то векторы Определители 2-го порядка, системы 2-х линейных уравнений с двумя неизвестными - student2.ru и Определители 2-го порядка, системы 2-х линейных уравнений с двумя неизвестными - student2.ru перпендикулярны.

Зная декартовы координаты векторов Определители 2-го порядка, системы 2-х линейных уравнений с двумя неизвестными - student2.ru и Определители 2-го порядка, системы 2-х линейных уравнений с двумя неизвестными - student2.ru

Определители 2-го порядка, системы 2-х линейных уравнений с двумя неизвестными - student2.ru , Определители 2-го порядка, системы 2-х линейных уравнений с двумя неизвестными - student2.ru

можно найти их длины

Определители 2-го порядка, системы 2-х линейных уравнений с двумя неизвестными - student2.ru , Определители 2-го порядка, системы 2-х линейных уравнений с двумя неизвестными - student2.ru ,

скалярное произведение

Определители 2-го порядка, системы 2-х линейных уравнений с двумя неизвестными - student2.ru ,

и косинус угла между ними

Определители 2-го порядка, системы 2-х линейных уравнений с двумя неизвестными - student2.ru .

Перечислим основные свойства векторного произведения:

1) Определители 2-го порядка, системы 2-х линейных уравнений с двумя неизвестными - student2.ru , (из Определители 2-го порядка, системы 2-х линейных уравнений с двумя неизвестными - student2.ru следует Определители 2-го порядка, системы 2-х линейных уравнений с двумя неизвестными - student2.ru и обратно);

2) Определители 2-го порядка, системы 2-х линейных уравнений с двумя неизвестными - student2.ru (переместительный закон);

3) Определители 2-го порядка, системы 2-х линейных уравнений с двумя неизвестными - student2.ru (распределительный закон);

4) Определители 2-го порядка, системы 2-х линейных уравнений с двумя неизвестными - student2.ru .

Наши рекомендации