Приведение определителя к треугольному виду

СЛАУ,ГАУСС

Система линейных уравнений называется однородной, если все свободные члены равны нулю: Однородная система всегда совместна, так как x1=x2=x3=...=xn=0 является решением системы. Это решение называется нулевым или тривиальным.

Сист наз совместной, если она имеет хотя бы одно решение

Совместная система называется определённой,если она имеет единственное решение; если же у неё есть хотя бы два различных решения, то она называется неопределённой.

Упорядоченный набор значений называется решением системы, если при подстановке в уравнения все уравнения превращаются в тождество.

Виды записи: КООРДИНАТНАЯ, МАТРИЧНАЯ, РАСШИРЕННАЯ МАТРИЦА

Ме́тод Га́усса—Это метод последовательного исключения переменных, когда с помощью элементарных преобразований система уравнений приводится к равносильной системе треугольного вида, из которой последовательно, начиная с последних (по номеру), находятся все переменные системы

Процесс вычисления неизвестных переменных при движении от последнего уравнения системы к первому называется обратным ходом метода Гаусса.

Элементарные преобразования гаусса:

Умножение любого уравнения на любое число

Перестановка любых двух уравнений системы

Прибавление любого уравнения к любому другому умноженное на любое число

ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ:

СВОЙСТА ОПР.

Определитель, имеющий равные строки равен 0

Если две строки (столбца) матрицы совпадают, то её определитель равен нулю.

Если две (или несколько) строки (столбца) матрицы пропорциональны, то её определитель равен нулю.

Если переставить две строки (столбца) матрицы, то её определитель умножается на (-1).

Общий множитель элементов какой-либо строки определителя можно вынести за знак определителя.

Если хотя бы одна строка (столбец) матрицы нулевая, то определитель равен нулю.

Сумма произведений всех элементов любой строки на их алгебраические дополнения равна определителю.

Сумма произведений всех элементов любого ряда на алгебраические дополнения соответствующих элементов параллельного ряда равна нулю.

ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ N-ого порядка назв число, равное сумме произведения элементов первой строки опр на их алгеброич дополнение

Минором к элементу определителя -го порядка называется определитель -го порядка, полученный из исходного вычеркиванием -той строки и -того столбца

Алгебраическим дополнением к элементу определителя -го порядка называется число

Методы нахождения определителя:

Правило треугольника:

Разложение определителя по строке или столбцу

Определитель равен сумме произведений элементов строки определителя на их алгебраические дополнения. Обычно выбирают ту строку/столбец, в которой/ом есть нули. Строку или столбец, по которой/ому ведется разложение, будет обозначать стрелкой.

Приведение определителя к треугольному виду

С помощью элементарных преобразований над строками или столбцами определитель приводится к треугольному виду и тогда его значение, согласно свойствам определителя, равно произведению элементов стоящих на главной диагонали.

Теорема Крамера. Если определитель матрицы квадратной системы не равен нулю, то система совместна и имеет единственное решение, которое находится по формулам Крамера:

Где - определитель матрицы системы, - определитель матрицы системы, где вместо -го столбца стоит столбец правых частей.

Матрицей называется совокупность чисел, расположенных в виде прямоугольной таблицы из строк и столбцов

Если у матрицы количество строк равно количеству столбцов , то матрицу называют квадратной

Квадратная матрица называется диагональной, если все ее элементы, кроме, возможно, элементов главной диагонали, равны нулю

Диагональная, а значит квадратная, матрица называется единичной, если все элементы главной диагонали равны 1

.Нулевой матрицей называется матрица порядка m´n, все элементы которой равны 0

Матрица называется транспонированнойк матрице и обозначается , если ее столбцы являются соответствующими по номеру строками матрицы

Матрица А называется симметричной, если А=А , и кососимметричной, если А = –А

Линейные операции над матрицами это сложение и умножение на число

Треугольная матрица: все элементы ниже главной диагонали равны 0

Матрица строка

Матрица столбец

СВОЙСТВА МАТРИЦ:

Ассоциативность сложения:

Коммутативность сложения:

Ассоциативность умножения:

Вообще говоря, умножение матриц некоммутативно:

. Используя это свойство, вводят коммутатор матриц.

Дистрибутивность умножения относительно сложения:

С учётом упомянутых выше свойств, матрицы образуют кольцо относительно операций сложения и умножения.

Свойства операции транспонирования матриц:

, если обратная матрица существует.

Обратная матрица существует только для квадратных матриц с не равными нулюопределителями.

Свойства обратной матрицы:

Для матрицы найти обратную методом присоединенной матрицы.

Решение. Приписываем к заданной матрице

справа единичную матрицу второго порядка:

Итак, слева получили единичную матрицу, а значит матрица, стоящая в правой части (справа от вертикальной черты), является обратной к исходной.

Таким образом, получаем, что

ВЕКТОРЫ

Если начало и конец вектора совпадают, то такой вектор называется нулевым. Чаще всего нулевой вектор обозначается как .

Векторы называются коллинеарными, если они лежат либо на одной прямой, либо на параллельных прямых (рис. 2).

Два коллинеарных вектора и называются сонаправленными, если их направления совпадают: (рис. 3, а). Два коллинеарных вектора и называются противоположно направленными, если их направления противоположны

Векторы называются компланарными, если они параллельны одной плоскости или лежат в одной плоскости

Длиной (модулем) вектора называется расстояние между его началом и концом:

Вектор, длина которого равна единице, называется единичным вектором

два вектора равны, если они коллинеарны, сонаправлены и имеют равные длины

Сложение векторов и осуществляется по правилу треугольника.

Суммой двух векторов и называют такой третий вектор , начало которого совпадает с началом , а конец - с концом при условии, что конец вектора и начало вектора совпадают (рис. 1).

Правило параллелограмма - если два неколлинеарных вектора и привести к общему началу, то вектор совпадает с диагональю параллелограмма, построенного на векторах и (рис. 2). Причем начало вектора совпадает с началом заданных векторов.

Операция сложения векторов обладает следующими свойствами:

1. - коммутативность

2. - ассоциативность

Разностью векторов и называется вектор такой, что выполняется условие:

Произведением вектора на число называется вектор , удовлетворяющий условиям:

3. , если , , если .

Свойства умножения вектора на число:

7. Скалярным произведением двух ненулевых векторов и называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними:

Свойства скалярного произведения:

1° - симметричность.

2° . Обозначается и называется скалярный квадрат.

3° Если , то