Приведение симметричной матрицы к диагональному виду.

Если матрица Приведение симметричной матрицы к диагональному виду. - student2.ru содержит в своих столбцах Приведение симметричной матрицы к диагональному виду. - student2.ru нормированных собственных векторов симметричной матрицы Приведение симметричной матрицы к диагональному виду. - student2.ru , то

Приведение симметричной матрицы к диагональному виду. - student2.ru

Доказательство этого утверждения сводится к последовательному выполнению двух матричных умножений. Вычисляя произведение Приведение симметричной матрицы к диагональному виду. - student2.ru , учитываем, что произведение матриц есть матрица, столбцы которой представляют собой произведение матрицы – первого сомножителя на соответствующие столбцы второго сомножителя. Следовательно,

Приведение симметричной матрицы к диагональному виду. - student2.ru .

Выполняя второе умножение, получим:

Приведение симметричной матрицы к диагональному виду. - student2.ru ,

чтобы убедиться в правильности конечного результата, достаточно вспомнить, что:

1) произведение двух матриц есть матрица, Приведение симметричной матрицы к диагональному виду. - student2.ru -й элемент которой есть произведение Приведение симметричной матрицы к диагональному виду. - student2.ru -й строки первой матрицы-сомножителя на Приведение симметричной матрицы к диагональному виду. - student2.ru -й столбец второй матрицы-сомножителя;

2) столбцы матрицы Приведение симметричной матрицы к диагональному виду. - student2.ru ортонормированны, т.е.

Приведение симметричной матрицы к диагональному виду. - student2.ru .

Верно, кстати, и обратное утверждение: если Приведение симметричной матрицы к диагональному виду. - student2.ru – ортогональная матрица, приводящая матрицу Приведение симметричной матрицы к диагональному виду. - student2.ru к диагональному виду: Приведение симметричной матрицы к диагональному виду. - student2.ru , то столбцы Приведение симметричной матрицы к диагональному виду. - student2.ru – собственные вектора матрицы Приведение симметричной матрицы к диагональному виду. - student2.ru , а элементы диагональной матрицы Приведение симметричной матрицы к диагональному виду. - student2.ru – ее собственные значения.

Можно убедиться на подробно рассмотренном в § 5 примере, что если занести в матрицу Приведение симметричной матрицы к диагональному виду. - student2.ru собственные вектора:

Приведение симметричной матрицы к диагональному виду. - student2.ru (12.1)

и вычислить матричное произведение

Приведение симметричной матрицы к диагональному виду. - student2.ru (12.2)

то в результате действительно получится диагональная матрица с собственными значениями матрицы Приведение симметричной матрицы к диагональному виду. - student2.ru .

На этом факте линейной алгебры и основан итерационный метод решения задачи собственных значений, известный как метод Якоби. Метод этот заключается в следующем:

а) пусть дана симметричная матрица Приведение симметричной матрицы к диагональному виду. - student2.ru ;

б) предположим, что мы можем определить такую ортогональную матрицу Приведение симметричной матрицы к диагональному виду. - student2.ru , которая в результате преобразования

Приведение симметричной матрицы к диагональному виду. - student2.ru (12.3)

приводит к матрице Приведение симметричной матрицы к диагональному виду. - student2.ru , которая в каком-то смысле ближе к диагональной, чем Приведение симметричной матрицы к диагональному виду. - student2.ru . Смысл слов «ближе к диагональной» пока не уточняем. Заметим, что матрица Приведение симметричной матрицы к диагональному виду. - student2.ru подобна Приведение симметричной матрицы к диагональному виду. - student2.ru и, следовательно, имеет те же собственные значения;

Подобные матрицы.Матрицы Приведение симметричной матрицы к диагональному виду. - student2.ru и Приведение симметричной матрицы к диагональному виду. - student2.ru подобны, если Приведение симметричной матрицы к диагональному виду. - student2.ru , где Приведение симметричной матрицы к диагональному виду. - student2.ru – невырожденная матрица.

Подобные матрицы имеют одинаковые собственные значения. В самом деле, пусть Приведение симметричной матрицы к диагональному виду. - student2.ru – собственное значение и Приведение симметричной матрицы к диагональному виду. - student2.ru – соответствующий собственный вектор матрицы Приведение симметричной матрицы к диагональному виду. - student2.ru , т.е. Приведение симметричной матрицы к диагональному виду. - student2.ru . Введем вектор Приведение симметричной матрицы к диагональному виду. - student2.ru или Приведение симметричной матрицы к диагональному виду. - student2.ru , что то же самое. Тогда

Приведение симметричной матрицы к диагональному виду. - student2.ru ,

т.е., если Приведение симметричной матрицы к диагональному виду. - student2.ru является собственным значением матрицы Приведение симметричной матрицы к диагональному виду. - student2.ru , то оно является собственным значением матрицы Приведение симметричной матрицы к диагональному виду. - student2.ru .

в) для полученной матрицы Приведение симметричной матрицы к диагональному виду. - student2.ru аналогичным образом находим ортогональную матрицу Приведение симметричной матрицы к диагональному виду. - student2.ru и выполняем преобразование

Приведение симметричной матрицы к диагональному виду. - student2.ru ; (12.4)

г) эти преобразования повторяем до тех пор, пока после какого-то Приведение симметричной матрицы к диагональному виду. - student2.ru -го преобразования не получим диагональную матрицу (точнее очень близкую к диагональной)

Приведение симметричной матрицы к диагональному виду. - student2.ru . (12.5)

Отметим, что, суммируя эти шаги, можно записать

Приведение симметричной матрицы к диагональному виду. - student2.ru , (12.6)

где

Приведение симметричной матрицы к диагональному виду. - student2.ru (12.7)

является ортогональной матрицей как произведение ортогональных матриц.

В результате этой серии преобразований, как отмечалось ранее, мы должны получить на диагонали матрицы Приведение симметричной матрицы к диагональному виду. - student2.ru собственные значения матрицы Приведение симметричной матрицы к диагональному виду. - student2.ru и собственные вектора в столбцах матрицы Приведение симметричной матрицы к диагональному виду. - student2.ru ;

д) остается решить один, но существенный вопрос: как получать матрицы Приведение симметричной матрицы к диагональному виду. - student2.ru , чтобы они обеспечивали сходимость процесса. В 1846 г. немецкий математик Карл Якоби доказал, что сходимость обеспечивается при следующем методе выбора матриц:

1) из всех внедиагональных элементов матрицы Приведение симметричной матрицы к диагональному виду. - student2.ru выбирается наибольший по модулю – Приведение симметричной матрицы к диагональному виду. - student2.ru ;

2) строится ортогональная матрица Приведение симметричной матрицы к диагональному виду. - student2.ru , которая отличается от единичной только элементами, стоящими на пересечении Приведение симметричной матрицы к диагональному виду. - student2.ru -х и Приведение симметричной матрицы к диагональному виду. - student2.ru -х строк и столбцов:

Приведение симметричной матрицы к диагональному виду. - student2.ru . (12.8)

Угол Приведение симметричной матрицы к диагональному виду. - student2.ru определяется таким образом

Приведение симметричной матрицы к диагональному виду. - student2.ru , (12.9)

чтобы после преобразования элемент Приведение симметричной матрицы к диагональному виду. - student2.ru , то есть Приведение симметричной матрицы к диагональному виду. - student2.ru -й элемент Приведение симметричной матрицы к диагональному виду. - student2.ru -й строки, оказался равным нулю.

Пример.

Приведение симметричной матрицы к диагональному виду. - student2.ru

Характеристическое уравнение этой матрицы представляет собой уравнение третьей степени. Таким образом, для собственных значений и собственных векторов нетрудно получить аналитическим путем точные значения:

Приведение симметричной матрицы к диагональному виду. - student2.ru

Приведение симметричной матрицы к диагональному виду. - student2.ru

Приведение симметричной матрицы к диагональному виду. - student2.ru

Теперь выполним несколько итераций Якоби и сравним полученный результат с точным решением:

Приведение симметричной матрицы к диагональному виду. - student2.ru

Приведение симметричной матрицы к диагональному виду. - student2.ru

Приведение симметричной матрицы к диагональному виду. - student2.ru

Приведение симметричной матрицы к диагональному виду. - student2.ru

Приведение симметричной матрицы к диагональному виду. - student2.ru

Как видим, матрица Приведение симметричной матрицы к диагональному виду. - student2.ru неуклонно приближается к диагональной, с собственными значениями исходной матрицы Приведение симметричной матрицы к диагональному виду. - student2.ru на диагонали. Если мы попробуем согласно (12.7) определить собственные вектора

Приведение симметричной матрицы к диагональному виду. - student2.ru ,

то увидим, что и они близки к аналитическому решению.

Литература

11.1. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Линейная алгебра. – М.: Наука, 1978. – 304с.

Наши рекомендации