Формула полной вероятности

Пусть в результате испытания может произойти одно из n событий Н1, Н2, …, Нn, которые удовлетворяют следующим условиям:

  1. они являются попарно несовместными НiHj=Æ;
  2. хотя бы одно из них в результате испытаний обязательно произойдёт, т.е. их объединение есть достоверное событие

H1È H2È ….È Hn

События Н1,…Нn, удовлетворяющие условиям 1 и 2, называются гипотезами.

На первой лекции было дано определение полной группы попарно несовместных событий и обещано, что мы с ними будем детально разбираться. Гипотезы образуют именно такую группу.

Пусть также имеется некоторое событие А и известны вероятности гипотез Р(Н1),…, Р(Hn), которые предполагаются ненулевыми, и условные вероятности события А при выполнении этих гипотез P(A|H1), P(A|H2), …, P(A|Hn). Как найти вероятность события А?

V Дано два набора деталей. Вероятность того, что деталь стандартная в 1-ом ящике - Р1 , во втором - Р2 .Наугад был выбран ящик и из него была взята деталь. Найти вероятность того, что деталь стандартная.

Ï Выдвинем гипотезы:

Н1 – взяли деталь из первого ящика, Н2 – взяли из второго ящика. Н1 и Н2 образуют полную группу событий. Поскольку ящик выбран наугад, то Р(Н1)=Р(H2)=0.5. Вероятность того, что деталь стандартная, при условии, что ее взяли из первого ящика P(A|H1)= Р1. Вероятность того, что деталь стандартная, при условии, что ее взяли из второго ящика P(A|H2)= Р2. Требуется найти Р(А)

Теорема. Пусть для некоторого события А и гипотез Н1,…, Нn известны вероятности гипотез P(H1),…., P(Hn) и условные вероятности P(A|H1), P(A|H2), …, P(A|Hn). Тогда безусловная вероятность Р(А) определяется по формуле:

Р(А) = P(H1) Р(A|H1)+…+ P(Hn) P(A|Hn),

Которая называется формулой полной вероятности.

Доказательство.

 
  формула полной вероятности - student2.ru

Представим событие

А=А*Ω=А*(Н12+…+Hn) = AH1 + AH2 + … AHn – несовместны.

Р(А)= Р(AH1)+ Р(AH2)+…+ Р(AHn)=*

По формуле умножения вероятности

Р(AH1) = P(H1) Р(A|H1)

Р(AH2) = P(H2) Р(A|H2)

………………………..

Р(AHn) = P(Hn) Р(A|Hn)

*= P(H1) Р(A|H1) + … + P(Hn) Р(A|Hn). <

формула полной вероятности - student2.ru V Путник должен попасть из В в А в соответствие со схемой дорог. Выбор пути равновозможен. Найти вероятность Р(А) - достижения пункта А.

(Сеть дорог – сеть каналов передачи информации.

Р(А) – вероятность передачи информации А

по такой сети). В

Гипотезы

H1 , H2 , H3 – выбор пути. P(H1)= P(H2)= P(H3)=1/3

Р(A|H1)= ½, Р(A|H2)= ¼, Р(A|H3)= 0

Р(А)= P(H1) Р(A|H1)+ P(H2) Р(A|H2)+ P(H3)Р(A|H3)=1/3*½+1/3*¼=¼. N

ФОРМУЛЫ БАЙЕСА

Пусть по прежнему событие А может произойти с одним из событий Н1,…, Нn, являющимися гипотезами. Предположим, что известны вероятности гипотез Р(Нi) и в результате испытания событие А произошло, т.е. получена дополнительная информация. Поставим своей задачей определить, как изменилиь вероятности гипотез (ведь мы теперь обладаем дополнительной информацией), т.е. чему будут равны P(H1| A) – вероятность i-й гипотезы, при условии что событие А произошло.

Теорема. Пусть для некоторого события А, Р(А) > 0 и гипотез Н1,…, Нn известны вероятности гипотез P(H1),…., P(Hn) и условные вероятности Р(A|H1), P(A|H2), …, P(A|Hn). Тогда условная вероятность P(Hi| A) гипотезы Hi при условии события А определяется формулой Байеса

формула полной вероятности - student2.ru .

Доказательство.

По формуле умножения вероятностей Р(AHi)= Р(А) P(Hi|A). Отсюда P(Hi|A) = Р(AHi)/ Р(А) (*), где Р(А) – формула полной вероятности события А.

С другой стороны, по этой же формуле Р(AHi)= P(Hi) Р(A|Hi). Подставляя это выражение в (*)получим

формула полной вероятности - student2.ru .<

Вероятности P(Hi) называются априорными (J до того), а P(Hi|A) – апостериорными (J после того).

Формула Байеса находит широкое применение в математической статистике, теории принятия решений. Смысл байесовского подхода заключается в том, что мы выдвигаем некоторые априорные вероятности (достаточно произвольные), а потом, учитывая результаты повторяющегося эксперимента, мы определяем апостериорные вероятности гипотез.

Байес (Бейес) Томас

формула полной вероятности - student2.ru

1702-1761

Наши рекомендации