Поняття про наближення функцій
ЛЕКЦІЯ № 5
АПРОКСИМАЦІЯ ФУНКЦІЙ
Поняття про наближення функцій
Термін апроксимація походить від латинського слова "approximo", яке перекладається як "наближаюся". Він означає заміну одних математичних об’єктів іншими, якимось чином близькими до вихідних. Апроксимація дозволяє досліджувати числові характеристики і якісні властивості об’єкта, зводячи задачу до вивчення більш простих або більш зручних об’єктів (наприклад таких, характеристики яких легко обчислюються або властивості яких уже відомі). Часто розглядаються задачі апроксимації кривих і поверхонь. Деякі розділи математики цілком присвячені апроксимації, наприклад, наближення функцій.
Для аналізу різноманітних об’єктів і явищ, з якими людина стикається в своїй практичній діяльності, застосовується апарат математичних функцій. Ці функції необхідні для опису об’єктів, явищ і процесів, виявлення в них зв'язків між параметрами, які визначають хід досліджуваних процесів, а також представлення їх у кількісній формі – у вигляді тих чи інших математичних залежностей. При отриманні формалізованого опису багатьох явищ і процесів дослідники наштовхуються на ряд труднощів, пов'язаних зі специфічними особливостями цих процесів, до числа яких відносяться:
• велика кількість взаємопов'язаних показників і чинників, що визначають зміну цих показників, динамічний характер змін;
• наявність помилок при реєстрації параметрів, обумовлених похибками використовуваної вимірювальної техніки;
• значні запізнювання в об'єкті, зумовлені інерційністю самих процесів;
• обчислювальні труднощі при розробці алгоритмів розрахунку в тих випадках, коли можливий опис процесів за допомогою теоретичних закономірностей.
Зазначені складності призводять до широкого використання на практиці апроксимаційних математичних моделей, простих за формою, які лише формально описують залежність вихідних параметрів модельованого процесу від вхідних. Крім того, в зв'язку з розвитком автоматизованих систем розрахунку та проектування задача опису (апроксимації) експериментальних даних математичними рівняннями стає особливо актуальною, оскільки використання компактних за формою рівнянь призводить до суттєвої економії часу для розрахунків і потрібного обсягу пам'яті (зовнішньої і оперативної) обчислювальних машин.
Нехай величина у є функцією аргументу х. Це означає, що будь-якому значенню х із області визначення поставлено у відповідність значення у. Разом з тим на практиці часто невідомий явний зв'язок між у та х, тобто неможливо записати цей зв'язок у вигляді деякої залежності . У деяких випадках навіть при відомій залежності вона настільки громіздка (наприклад, містить вирази, що важко обчислюються, складні інтеграли і т.п.), що їх використовувати в практичних розрахунках важко.
Найбільш поширеним і практично важливим випадком, коли вигляд зв’язку між параметрами х і у невідомий, є його задання у вигляді деякої таблиці (хі, уі).
| x | x0 | x1 | … | xn |
| y | y0 | y1 | … | yn |
Це означає, що дискретній множині значень аргументу поставлена у відповідність множина значень функції . Ці значення є або результатами розрахунків, або експериментальних досліджень. На практиці можуть знадобитися значення величин у і в інших точках поза вузлами хі. Однак, одержати ці значення можна лише шляхом дуже складних розрахунків або проведенням дорогих експериментів.
З огляду економії часу і засобів можна прийти до висновку, що використання наявних табличних даних для наближеного обчислення невідомого параметра у при будь-якому значенні визначального параметра х, є задачею невизначеною, оскільки точний зв'язок – невідомий.
Зрозуміло, можна знайти формулу, яка виражає цю залежність аналітичним шляхом, застосувавши метод інтерполяції. Але збіг значень отриманого аналітичного задання функції в вузлах інтерполяції з даними, наведеними в таблиці, часто може зовсім не означати збіг характерів поведінки вихідної та інтерполювальної функції на всьому інтервалі дослідження.
Таким чином, якщо аналітичний вираз функції невідомий або досить складний, то виникає важлива практична задача: знайти таку формулу, значення якої при якомога менше відрізнялись від табличних значень yi. Вимога точного збігу значень наближаючої функції та функція, що наближає, у вузлах є тим більше невиправданою, якщо значення функції , отримані в результаті вимірів вже самі є наближеними.
Цій меті підпорядкована задача про наближення (апроксимацію) функцій: задану функцію потрібно приблизно замінити (апроксимувати) деякою функцією так, щоб відхилення (у деякому сенсі) від у заданій області було найменшим. Функція при цьому називається апроксимуючою.
Отже, під апроксимацією розуміють опис функції, заданої таблицею, деякою математичною залежністю, яка б мала просту структуру, згладжувала особливості заданої експериментальної таблиці та найкращим чином відбивала загальний хід зміни в середньому.
Вихідними даними для вирішення цієї задачі є таблиця спостережень –набір значень незалежних змінних і відповідні їм значення функції відгуку.
Тобто основна мета апроксимації – одержати швидкий (економний) алгоритм обчислення значень для значень x, що не містяться в таблиці даних. Основне питання апроксимації – як вибрати і як оцінити відхилення від .
Форма рівняння вибирається дослідником відповідно до поведінки функції, що апроксимується в області зміни незалежних параметрів. Результатом же рішення задачі апроксимації є оцінки коефіцієнтів цього рівняння. Очевидно, що коефіцієнти рівняння слід підбирати так, щоб значення функції, які розраховуються за отриманим рівнянням, в максимальному наближенні збігалися з заданими у вихідній таблиці значеннями.
Наприклад, опис залежності теплопровідності газів і парів від температури у вигляді полінома третього степеня
є доволі універсальним для широкого діапазону температур і призводить до необхідності зберігання в пам'яті комп'ютера всього чотирьох значень коефіцієнтів полінома замість таблиці експериментальних даних
Очевидно, що для використання придатні апроксимуючі рівняння, які досить точно відповідають (адекватні) вихідним табличним даним.
На практиці вид наближаючої функції найчастіше визначають шляхом порівняння наближено побудованого графіка функції з графіком відомих досліднику функцій, що мають аналітичний вираз (як правило простих за виглядом елементарних функцій). За заданою таблицею даних будують точковий графік , потім проводять плавну криву лінію, яка по можливості найкращим чином відображає характер розташування точок. За отриманою таким чином кривою на якісному рівні встановлюють вид наближаючої функції.
Розглянемо рис. 1, на якому зображені три ситуації:
– на графіку (а) взаємозв’язок між х і у близька до лінійної; пряма лінія близька до точок спостереження;
– на графіку (б) реальний взаємозв’язок між х і у має нелінійний характер, застосовувати в цьому випадку пряму лінію недоцільно. У той же час, проведена гілка параболи достатньо добре відображає характер залежності між величинами;
– на графіку (с) явна залежність між змінними х і у відсутня; яку б формулу зв’язку не обирали, результати її параметризації будуть невдалими. Зокрема, обидві показані прямі однаково погані для того, щоб зробити висновки про очікувані значення змінної у по значенням змінної х.
На практиці апроксимуючими функціями виступають поліноміальні, тригонометричні, експонентні та інші математичні залежності. Досить часто вибирається з класу алгебраїчних поліномів (багаточленів)
Якщо наближення будується на заданій дискретній множині точок , то апроксимація називається точковою. До неї належать інтерполяція, середньоквадратичне наближення та ін. При побудові наближення на неперервній множині точок (наприклад, на відрізку ) апроксимація називається неперервною.
Одним із основних типів точкової апроксимації є інтерполяція. У цьому випадку апроксимуюча функція проходить через задані вузлові точки. Але іноді наближення табличних даних методом інтерполяції проводити незручно. Так, наприклад, якщо дані в таблиці неточні, як вказувалося вище, то збіг значень інтерполяційної функції у вузлах з табличними даними означає, що вона повторює помилки таблиці. У таких випадках використовуються інші види апроксимації.