Тема 1. Поняття границі функції. Обчислення границь функцій

Границя функції.

Нехай функція f(x)визначена в деякій околі x точки a крім, можливо, самої точки a. Число A є границею функції f(x) в точці a, якщо для довільного числа ε>0 існує число δ=δ(ε)>0 таке, що для всіх x є X, які задовольняють нерівність Тема 1. Поняття границі функції. Обчислення границь функцій - student2.ru , виконується нерівність

Тема 1. Поняття границі функції. Обчислення границь функцій - student2.ru

Позначення: Тема 1. Поняття границі функції. Обчислення границь функцій - student2.ru

Це позначення можна представити геометрично: якщо A є Тема 1. Поняття границі функції. Обчислення границь функцій - student2.ru , то для будь-якого околу точки А на осі ОУ існує δ-окіл точки a на осі ОХ така, що для всіх х≠ a із δ-околу відповідні значення функції попадають в ε-окіл, тобто точки графіку функції знаходяться у смузі, обмеженій прямими y=A+ε і y=A-ε

Тема 1. Поняття границі функції. Обчислення границь функцій - student2.ru y y=f(x)   Тема 1. Поняття границі функції. Обчислення границь функцій - student2.ru Тема 1. Поняття границі функції. Обчислення границь функцій - student2.ru Тема 1. Поняття границі функції. Обчислення границь функцій - student2.ru Тема 1. Поняття границі функції. Обчислення границь функцій - student2.ru Тема 1. Поняття границі функції. Обчислення границь функцій - student2.ru Тема 1. Поняття границі функції. Обчислення границь функцій - student2.ru Тема 1. Поняття границі функції. Обчислення границь функцій - student2.ru Тема 1. Поняття границі функції. Обчислення границь функцій - student2.ru A+ε  
 
  Тема 1. Поняття границі функції. Обчислення границь функцій - student2.ru

Тема 1. Поняття границі функції. Обчислення границь функцій - student2.ru Тема 1. Поняття границі функції. Обчислення границь функцій - student2.ru A 2ε

 
  Тема 1. Поняття границі функції. Обчислення границь функцій - student2.ru

Тема 1. Поняття границі функції. Обчислення границь функцій - student2.ru Тема 1. Поняття границі функції. Обчислення границь функцій - student2.ru Тема 1. Поняття границі функції. Обчислення границь функцій - student2.ru Тема 1. Поняття границі функції. Обчислення границь функцій - student2.ru Тема 1. Поняття границі функції. Обчислення границь функцій - student2.ru Тема 1. Поняття границі функції. Обчислення границь функцій - student2.ru A-ε

       
  Тема 1. Поняття границі функції. Обчислення границь функцій - student2.ru
    Тема 1. Поняття границі функції. Обчислення границь функцій - student2.ru
 

Тема 1. Поняття границі функції. Обчислення границь функцій - student2.ru 0 a-b a a+b x

Обчислення границь

Перш ніж перейти к обчисленню границь, запишемо за допомогою символів основні теореми теорії границь.

Нагадаємо символи:

a – стала

∞ - нескінченна велика додатна

-∞ - нескінченна велика від’ємна

+0 – нескінченна мала додатна

-0 – нескінченна мала від’ємна

1) a+0=a; a0=0; Тема 1. Поняття границі функції. Обчислення границь функцій - student2.ru ; Тема 1. Поняття границі функції. Обчислення границь функцій - student2.ru =∞

2) Тема 1. Поняття границі функції. Обчислення границь функцій - student2.ru ∞; Тема 1. Поняття границі функції. Обчислення границь функцій - student2.ru Тема 1. Поняття границі функції. Обчислення границь функцій - student2.ru Тема 1. Поняття границі функції. Обчислення границь функцій - student2.ru

3) a+∞=∞; a ∞=∞; ∞+∞=∞; ∞ ∞=∞

4) ∞=∞; 0=∞

Тема 1. Поняття границі функції. Обчислення границь функцій - student2.ru Тема 1. Поняття границі функції. Обчислення границь функцій - student2.ru Тема 1. Поняття границі функції. Обчислення границь функцій - student2.ru

Але при обчисленні границь дуже часто з’являються так названі невизначеності. Символічно їх можна записати так:

Тема 1. Поняття границі функції. Обчислення границь функцій - student2.ru Тема 1. Поняття границі функції. Обчислення границь функцій - student2.ru Тема 1. Поняття границі функції. Обчислення границь функцій - student2.ru Тема 1. Поняття границі функції. Обчислення границь функцій - student2.ru Тема 1. Поняття границі функції. Обчислення границь функцій - student2.ru Тема 1. Поняття границі функції. Обчислення границь функцій - student2.ru Тема 1. Поняття границі функції. Обчислення границь функцій - student2.ru

Ці умовні записи характеризують поведінку змінних величин.

Щоб знайти границю невизначеності виразу, треба усунути цю невизначеність.

Розглянемо деякі окремі випадки.

1) Невизначеність виду Тема 1. Поняття границі функції. Обчислення границь функцій - student2.ru задана відношенням двох многочленів

Тема 1. Поняття границі функції. Обчислення границь функцій - student2.ru Тема 1. Поняття границі функції. Обчислення границь функцій - student2.ru

Тема 1. Поняття границі функції. Обчислення границь функцій - student2.ru

Тобто, щоб розкрити невизначеність Тема 1. Поняття границі функції. Обчислення границь функцій - student2.ru , треба чисельник і знаменник розділити на найвищий степінь x у цих многочленах. При цьому можна сформувати таке правило:

1. Якщо найвищий степінь чисельника вище найвищого степеня знаменника, то границя дробу нескінченно велика.

2. Якщо найвища степінь чисельника нижче найвищого степеня знаменника, то границя дробу дорівнює нулю.

3. Якщо найвищі степені чисельника і знаменника однакові, то границя дорівнює частки від поділу коефіцієнтів біля старших степенів .

2) Невизначеність виду Тема 1. Поняття границі функції. Обчислення границь функцій - student2.ru задана відношенням двох многочленів

Тема 1. Поняття границі функції. Обчислення границь функцій - student2.ru =

Розкладемо чисельник і знаменник на множини:

Тема 1. Поняття границі функції. Обчислення границь функцій - student2.ru Тема 1. Поняття границі функції. Обчислення границь функцій - student2.ru

Множини (x-1), через який чисельник і знаменник прямують до нуля, називають критичним множником.

Таким чином, щоб розкрити невизначеність Тема 1. Поняття границі функції. Обчислення границь функцій - student2.ru , задану відношенням двох многочленів, треба в чисельнику і знаменнику виділити критичний множник і скоротити на нього дріб.

3) Невизначеність Тема 1. Поняття границі функції. Обчислення границь функцій - student2.ru задана ірраціональними виразами.

Тема 1. Поняття границі функції. Обчислення границь функцій - student2.ru

(х-2) – критичний множник. Позбудемося від ірраціональності в чисельнику.

Тема 1. Поняття границі функції. Обчислення границь функцій - student2.ru

4) Невизначеності виду ∞-∞ задані ірраціональними виразами.

Тема 1. Поняття границі функції. Обчислення границь функцій - student2.ru

Тема 1. Поняття границі функції. Обчислення границь функцій - student2.ruТема 1. Поняття границі функції. Обчислення границь функцій - student2.ru

Тема 1. Поняття границі функції. Обчислення границь функцій - student2.ruТема 1. Поняття границі функції. Обчислення границь функцій - student2.ru ; Тема 1. Поняття границі функції. Обчислення границь функцій - student2.ru

Де e=2,72 – ірраціональне число.

Це число грає в математиці таку ж важливу роль, як і число π. Логарифми за основою e називаються натуральними. Вони зв’язані з логарифмами за основою a.

Тема 1. Поняття границі функції. Обчислення границь функцій - student2.ru

Зауваження. При обчисленні границь, зв’язаних з числами e, застосовують таке твердження:

Тема 1. Поняття границі функції. Обчислення границь функцій - student2.ru Тема 1. Поняття границі функції. Обчислення границь функцій - student2.ru

якщо границі Тема 1. Поняття границі функції. Обчислення границь функцій - student2.ru і Тема 1. Поняття границі функції. Обчислення границь функцій - student2.ru існують і Тема 1. Поняття границі функції. Обчислення границь функцій - student2.ru

Приклад:

Тема 1. Поняття границі функції. Обчислення границь функцій - student2.ru

Тема 2. Правило Лопіталя.

Теорема 1. Нехай функції Тема 1. Поняття границі функції. Обчислення границь функцій - student2.ru визначені і диференційовні в околі точки х0, за винятком, можливо, самої точки х0, причому

Тема 1. Поняття границі функції. Обчислення границь функцій - student2.ru

Вважатимемо, що х0 – скінчене число: Тема 1. Поняття границі функції. Обчислення границь функцій - student2.ru . Довизначемо функції Тема 1. Поняття границі функції. Обчислення границь функцій - student2.ru в точці х=х0, поклавши Тема 1. Поняття границі функції. Обчислення границь функцій - student2.ru Тоді ці функції будуть неперервні в точці х0. розглянемо відрізок [x0;x], що належить даному околу. Функції Тема 1. Поняття границі функції. Обчислення границь функцій - student2.ru і Тема 1. Поняття границі функції. Обчислення границь функцій - student2.ru неперервні на [x0;x], диференційовні на (х0, х) і Тема 1. Поняття границі функції. Обчислення границь функцій - student2.ru .

Тому за теоремою Коші знайдеться точка Тема 1. Поняття границі функції. Обчислення границь функцій - student2.ru , для якої

Тема 1. Поняття границі функції. Обчислення границь функцій - student2.ru або Тема 1. Поняття границі функції. Обчислення границь функцій - student2.ru

тому, що Тема 1. Поняття границі функції. Обчислення границь функцій - student2.ru . Оскільки за умовою Тема 1. Поняття границі функції. Обчислення границь функцій - student2.ru існує Тема 1. Поняття границі функції. Обчислення границь функцій - student2.ru , якщо Тема 1. Поняття границі функції. Обчислення границь функцій - student2.ru , то з рівності маємо:

Тема 1. Поняття границі функції. Обчислення границь функцій - student2.ru

Зауваження 1. Теорема справедлива і в тому випадку, коли Тема 1. Поняття границі функції. Обчислення границь функцій - student2.ru . Дійсно, поклавши Тема 1. Поняття границі функції. Обчислення границь функцій - student2.ru , маємо

Тема 1. Поняття границі функції. Обчислення границь функцій - student2.ru

Зауваження 2. Якщо похідні Тема 1. Поняття границі функції. Обчислення границь функцій - student2.ru задовольняють ті самі умови, що і функції Тема 1. Поняття границі функції. Обчислення границь функцій - student2.ru і Тема 1. Поняття границі функції. Обчислення границь функцій - student2.ru то теорему і можна застосувати ще раз. При цьому дістанемо

Тема 1. Поняття границі функції. Обчислення границь функцій - student2.ru

Взагалі, теорему 1 можна застосувати доти, поки не прийдемо до відношення похідних Тема 1. Поняття границі функції. Обчислення границь функцій - student2.ru , яке має певну границю при Тема 1. Поняття границі функції. Обчислення границь функцій - student2.ru . Цю саму границю матиме й відношення функцій:

Тема 1. Поняття границі функції. Обчислення границь функцій - student2.ru

Теорема 1 дає змогу розкривати невизначеність виду Тема 1. Поняття границі функції. Обчислення границь функцій - student2.ru Сформулюємо теорему, яка стосується розкриття невизначеності виду Тема 1. Поняття границі функції. Обчислення границь функцій - student2.ru .

Теорема 2.Нехай функції Тема 1. Поняття границі функції. Обчислення границь функцій - student2.ru і Тема 1. Поняття границі функції. Обчислення границь функцій - student2.ru визначені і диференційовні в околі точки х0 і в цьому околі

Тема 1. Поняття границі функції. Обчислення границь функцій - student2.ru

Тоді якщо існує границя Тема 1. Поняття границі функції. Обчислення границь функцій - student2.ru то існує границя Тема 1. Поняття границі функції. Обчислення границь функцій - student2.ru і

Тема 1. Поняття границі функції. Обчислення границь функцій - student2.ru

Цю теорему приймемо без доведення.

Виражене теоремами 1 і 2 правило обчислення границь називають правилом Лопіталя за іменем математика, який опублікував його. Але це правило відкрив І. Бернуллі, тому правило Лопіталя називають ще правилом Бернуллі – Лопіталя.

Зауважимо, що правило Лопіталя застосовується лише для розкриття невизначеності виду Тема 1. Поняття границі функції. Обчислення границь функцій - student2.ru і Тема 1. Поняття границі функції. Обчислення границь функцій - student2.ru , які називають основними. Відомі ще й такі невизначеності, як Тема 1. Поняття границі функції. Обчислення границь функцій - student2.ru покажемо, як ці невизначеності зводяться до основних.

а). Якщо Тема 1. Поняття границі функції. Обчислення границь функцій - student2.ru то невизначеність виду 0· Тема 1. Поняття границі функції. Обчислення границь функцій - student2.ru можна звести до основних так:

Тема 1. Поняття границі функції. Обчислення границь функцій - student2.ru або Тема 1. Поняття границі функції. Обчислення границь функцій - student2.ru

б). Якщо Тема 1. Поняття границі функції. Обчислення границь функцій - student2.ru то невизначеність виду Тема 1. Поняття границі функції. Обчислення границь функцій - student2.ru зводиться до невизначеності Тема 1. Поняття границі функції. Обчислення границь функцій - student2.ru :

Тема 1. Поняття границі функції. Обчислення границь функцій - student2.ru

в). Якщо Тема 1. Поняття границі функції. Обчислення границь функцій - student2.ru , то

Тема 1. Поняття границі функції. Обчислення границь функцій - student2.ru

і невизначеність виду 00 зводиться до невизначеності 0· Тема 1. Поняття границі функції. Обчислення границь функцій - student2.ru , розглянутої вище. Аналогічно розкриваються невизначеності Тема 1. Поняття границі функції. Обчислення границь функцій - student2.ru і Тема 1. Поняття границі функції. Обчислення границь функцій - student2.ru .

Таким чином, щоб розкрити невизначеності Тема 1. Поняття границі функції. Обчислення границь функцій - student2.ru , їх треба спочатку звести до основних і лише після цього застосувати правило Лапіталя.

Наши рекомендации