Производные степенных и тригонометрических функций

Основные формулы: Производные степенных и тригонометрических функций - student2.ru

Производные обратных тригонометрических функций.

Основные формулы: Производные степенных и тригонометрических функций - student2.ru

Для сложных функций:

Производные степенных и тригонометрических функций - student2.ru

Производные показательных и логарифмических функций.

Основные формулы:

Производные степенных и тригонометрических функций - student2.ru

Если z=z(x) – дифференцируемая функция от x, то формулы имеют вид:

Производные степенных и тригонометрических функций - student2.ru

Логарифмическое дифференцирование. Вывод производной степенной ф-ции.

y=ax - показательная ф-ция, y=xn - степенная, y=xx - показательно-степенная.

y=[f(x)]j(x) - показательно-степенная ф-ция.

lny=xlnx - найдем производную от левой и правой части, считая у ф-цией х.

(1/y)*y`=(lny)

(x*lnx)`=x`lnx+x*(lnx)`=lnx+1

y`=y*(lnx+1)=xx(lnx+1)

Операция, которая заключается в последовательном применении к ф-ции y=f(x) сначала логарифмирование, а затем дифференцирование.

Степенная ф-ция:

1.y=xn, nlnx, y`/y=n/x=n*(x)-1

y`=y*n*(x-1)=n*xn*x-1=n*xn-1

2.y=eU, где U=sinx

U`=cosx, y`=(eU)`=eU*U`=esinx*cosx.

Производная высших порядков ф-ции 1й переменной.

y=f(x)

y``=(y`)`=lim((f`(x+Dx)-f`(x))/Dx)

x®0

y```=(y``)`= lim((f``(x+Dx)-f``(x))/Dx)

f(n)(x)=[f(n-1)(x)]`

Производные 1,2-го порядка неявных ф-ций.

Неявной называется такая ф-ция у аргумента х, если она задана уравнением F(x,y)=0, не разрешенным относительно независимой переменной.

y=f(x), y=x2-1 - явные

F(x,y)=0, a2=x2+y2 - неявные ф-ции.

1)a2=x2+y2 - найдем производную, продифференцируем, считая у - сложной ф-цией х.

y`=2x+2y=0, т.к. а- постоянная

y*y`=-x, y`=-x/y

2) x3-3xy+y3=0

3x3-3(xy)`+3y2*y`=0 //:3

x2-(x`y+y`x)+y2*y`=0

y`y2-xy`=y-x2

y`=(y-x2)/(y2-x)

Дифференциал ф-ции и его геометрический смысл. Св-ва дифференциала.

limy=A, y=A+a

limDy/Dx=y`, Dy/Dx=y`+a, Dy=y`Dx+aDx

Dx®0

Dy=y`Dx+e, где e-б.м.в., величина более высокого порядка малости,, чем Dx(a), и ее можно отбросить.

dy=y`Dx

Дифференциалом ф-ции наз. величина, пропорциональная б.м. приращению аргумента Dх и отличающаяся от соответствующего приращения ф-ции на б.м.в. более высокого порядка малости, чем Dх.

Если y=x, то dy=dx=x`Dx=Dx, dx=Dx

Если y¹x, то dy=y`dx, y`=dy,dx

Геометрический смысл: дифференциал - изменение ординаты касательной, проведенной к графику ф-ции в точке (x0,f(x0)) при изменении x0 на величину Dx

Производные степенных и тригонометрических функций - student2.ru

Св-ва:
1. (U±V)`=U`±V`, то (U±V)`dx=U`dx±V`dx, d(U±V)=d(U±V)

2. (UV)`=U`V+V`U, то (UV)`dx=V`dU+U`dV

3.d(c)=c`dx=0*dx=0

4. d(U/V)`=(V`dU-U`dV)/V2.

Теорема Ролля.

Производные степенных и тригонометрических функций - student2.ru Если функция f(x) непрерывна на заданном промеж/ [a,b] деффер. на интервале (a,b) f(a)=f(b) то существует т. с из интерв. (a,b), такая, что f’(c)=0.

Производные степенных и тригонометрических функций - student2.ru Производные степенных и тригонометрических функций - student2.ru

Теорема Лагранжа.

Если функция f(x) непрерывна на [a,b] и дефференцирована на (a,b), то сущест.

т. с(a,b), такая, что: f(b)-f(a)=f’(c)(b-a).

Доказательство:применим т.Коши, взяв только g(x)=x, тогда g’(x)=1¹0.

Производные степенных и тригонометрических функций - student2.ru

Производные степенных и тригонометрических функций - student2.ru

Теорема Коши.

Если f(x), g(x) удовл. трем условиям:

1). f(x), g(x) непрерыв. на промеж [a,b]

2). f(x), g(x) деффер. на интервале (a,b)

3). g’(x)¹0 на интер. (a,b), то сущ. т. с

Производные степенных и тригонометрических функций - student2.ru

g(b)¹g(a) (неравны по теореме Ролля).

Производные степенных и тригонометрических функций - student2.ru

1). F(x) – непрерывна на [a,b]

2). F(x) – деффиренцирована на (a,b)

3). F(a)=0 ; F(b)=0

по теореме Ролля сущ. сÎ(a,b); F’(с)=0

Производные степенных и тригонометрических функций - student2.ru

Производные степенных и тригонометрических функций - student2.ru

Производные степенных и тригонометрических функций - student2.ru

Производные степенных и тригонометрических функций - student2.ru

53. Необходимые и достаточные признаки монотонности ф-ции:

Если x2>x1, f(x2)>f(x1), то ф-ция монотонно возрастает

Если x2>x1, f(x2)<f(x1), то ф-ция монотонно убывает

Монотонность - постоянство

Необходимые признаки:1)если ф-ция f(x) всюду в интервале возрастает, то ее производная в этом интервале неотрицательна (f`(x)>=0)

2)если ф-ция f(x) всюду в интервале убывает, то ее производная в этом интервале неположительная (f`(x)<=0)

3)если ф-ция f(x) всюду в интервале постоянна, то ее производная в этом интервале =0 (f`(x)=0)

Достаточные признаки монотонности: 1)если f`(x) в интервале положительна, то ф-ция f(x) возрастает в этом интервале.

2)если f`(x)<0, то ф-ция f(x) возрастает в этом интервале.

3)если f`(x)=0, то ф-ция f(x)=const на интервале.

x1<a<x2, x2-x1>0, x2>x1

1. если f`(a)>0, то f(x2)>f(x1)

2. если f`(a)<0, то f(x2)<f(x1)

3. если f`(a)=0, то f(x2)=f(x1)

Наши рекомендации