Формула полной вероятности

Часть 2. Введение в теорию вероятностей и математическую статистику

Глава 1. Случайные события

Понятие случайного события.

Модели экспериментов со случайными исходами

Математическая формализация модели сл. эксперимента

1. Построение множества элементарных исходов W

2. Описание поля событий Á для данного эксперимента

3. Задание вероятностного распределения на Á

Аксиоматическая теория вероятностей – Колмогоров, 1933

А произошло (наступило, осуществилось, реализовалось) wÎА

Æ - невозможное, W - достоверное. Совместные события, несовместные события

Алгебраические операции над событиями.

А Ì В влечет за собой А = В Û А Ì В и В Ì А

Сумма А + В хотя бы одно из Произведение А^.В совместное осуществление

Разность А – В А происходит, В нет противоположное

А + В = В + А, А^.В = В^.А (А + В) + С = А + (В + С), (А^.В)^.С = А^.(В^.С) (А + В)^.С = А^.С + В^.С

Аксиоматическое определение вероятности события.

Á Р(А) "АÎÁ Аксиомы 1) Р(А) ³ 0 2) Р(W) = 1 3) А₁, А₂, … , А_n, … A_i.A_j = Æ (i¹ j)

íW, Á, Pý вероятностное пространство сл. эксперимента

1) Р(Æ) = 0 2) 3) Р(А) £ 1 4) А Ì В Þ Р(А) £ Р(В) 5) А = В Þ Р(А) = Р(В)

6) Р(А + В) = Р(А) + Р(В) – Р(А^.В) формула (теорема) сложения вероятностей

Классическая вероятностная схема (схема урн).

конечное число равновозможных исходов (Р(w₁) = Р(w₂) = … = Р(w_N) = 1 ¤N)

Комбинаторный метод вычисления вероятностей в классической схеме.

Выбор k элементов из n

без возвращения (повторения) с возвращением (повторением)

Элементы по мере выбора

упорядочиваются не упорядочиваются упорядочиваются не упорядочиваются

1. 2. 3. 4.

1. Схема выбора, приводящая к размещениям

k = n число перестановок

Схема выбора, приводящая к сочетаниям

биномиальные коэффициенты

3. Схема выбора, приводящая к размещениям с повторениямиN(W) = n^k

4. Схема выбора, приводящая к сочетаниям с повторениями

Геометрические вероятности. Задача о встрече.

wÌW А = í(х,у)Îwý

О статистической вероятности.

относительная частота

Условные вероятности. Независимость событий.

A и B P(A) > 0 осуществления события В при условии, что А произошло

«вероятность В при условии А» А наз. независимым от В, если Р_В(А) = Р(А)

А и В наз. независимыми, если Р(А^.В) = Р(А)^.Р(В)

§9. Вероятности сложных событий. Вероятность «хотя бы одного события».

Р(А^.В) = Р(А)^.Р_А(В) = Р(В)^.Р_В(А) формула умножения вероятностей

Р(А + В) = Р(А) + Р(В) – Р(А^.В) формула сложения вероятностей

Р(А^.В^.С) Р(А + В + С)

Формула полной вероятности.

H₁, H₂, …, H_n наблюдаемые система множеств í H₁, H₂, …, H_n ý разбиение W

гипотезы по отношению к А доопытные (априорные)

§11. Формула Байеса.(Bayes)

Эксперимент проведен и событие А осуществилось послеопытная (апостериорная)