Определение абсолютной скорости и абсолютного ускорения точки при сложном движении.

Исходные данные: (рад), (см), (см), см.

Исходное положение механизма изображено на рис.47.

Определить скорость и ускорение точки М в сложном движении при

t = (c).

Решение.

Рис. 47.

1. Точка М находится в сложном движении:

· первое движение (относительное ), когда точка М движется в пазу твердого тела D, представляет собой криволинейное движение с кривизной радиуса R;

· второе движение (переносное ), когда точка М движется относительно оси z вместе с телом D (вращательное движение относительно оси вращения z).

Для определения абсолютной скорости и ускорения точки М требуется рассмотреть движение точки в заданный момент времени в относительном и переносном движениях.

2.Определим положение системы в заданный момент времени.

2.1. Определим положение точки М в относительном движении.

Для нахождения положения точки в теле D подставим в уравнение заданный момент времени.

При t = 1/9 с см.

При t = 0 с см.

Для изображения данного положения на траектории введем дополнительный угол , который образуется относительно центра дуги тела D (радиуса R) между начальным положением точки О и конечным положением М (рис. 48).

рад .

Рис. 48.

2.2. Определим положение точки М в переносном движении.

Для нахождения положения точки, требуется определить положение тела D в заданный момент времени.

При t=1/9 с

рад

Поскольку для закона вращательного движения относительно оси z ( ) не указано начальное положение, то примем, что система на рис. 48 изображена в заданном положении при , а на схеме указано положительное значение .

Траекторией точки М в переносном движении является окружность радиусом R_e.

3. Определим абсолютную скорость точки М в заданный момент времени.

Абсолютная скорость точки М равна геометрической сумме относительной и переносной скоростей

.

3.1. Определим относительную скорость точки М.

Согласно заданному относительному закону криволинейного движения скорость определяется как первая производная по времени

.

При t = 1/9 с см/с.

При > 0, положительное значение относительной скорости в данный момент времени показывает, что вектор скорости направлен по касательной к траектории движения из точки М в сторону положительного отсчета по траектории (рис. 49). Положительный отсчет изображается в направлении от точки О к точке М по траектории .

Рис.49.

3.2. Определим переносную скорость точки М.

Согласно заданному переносному закону вращательного движения , скорость определяется

,

где R_е – радиус окружности, описываемой точкой М тела D в переносном движении относительно оси z, см;

– угловая скорость в переносном движении, определяется как первая производная от закона вращательного движения по времени

.

При t = 1/9 с

с^-1.

Если > 0, положительное значение , показывает, что вращение тела D происходит относительно оси z в сторону, отсчета угла ( ).

Численное значение вектора скорости в переносном движении составит

см/с.

Вектор направлен из точки М по касательной к окружности в переносном движении (радиуса R_е) в сторону вращения тела ( // ) (рис.49).

3.3.Определим абсолютную скорость точки М.

Поскольку вектора относительной и переносной скоростей взаимно перпендикулярны (принадлежат взаимно перпендикулярным плоскостям, рис.49.), то численное значение абсолютной скорости определим по теореме Пифагора, где гипотенуза

см/с.

Вектор абсолютной скорости графически изобразится из точки М как диагональ построенного параллелограмма на векторах относительной ( ) и переносной ( ) скоростей.

4. Определим абсолютное ускорение точки М в заданный момент времени.

Согласно теореме сложения ускорений, абсолютное ускорение точки М в заданный момент времени составит число равное геометрической сумме относительного, переносного и кориолисова ускорений

.

В развернутом виде

.

4.1. Модуль относительного касательного ускорения точки М в заданный момент времени.

.

При t = 1/9 с см/с².

Положительное значение > 0 указывает, что вектор направлен по касательной к траектории в относительном движении в сторону положительных значений S_r (рис.50).

Вектора и направлены в одну сторону, следовательно, относительное движение точки М в данный момент ускоренное.

4.2. Относительное нормальное ускорение точки М в заданный момент времени.

,

где – радиус траектории точки М в относительном движении

см/с².

Рис.50.

Вектор направлен из точки М к центру кривизны в относительном движении (траектории ) (см. рис.50).

4.3. Модуль переносного касательного ускорения точки М в заданный момент времени

,

где – угловое ускорение в переносном движении (вращении относительно оси z) тела D.

.

При t = 1/9 с с^-2

При >0 положительное значение указывает, что направление углового ускорения , совпадает с направлением угла поворота ( ).

Если направления и совпадают, то вращение тела D относительно оси z ускоренное (см. рис.50).

см/с².

Вектор направлен из точки М перпендикулярно в сторону, вращения углового ускорения . Вектора и направлены в одном направлении при ускоренном движении.

4.4. Модуль переносного нормального ускорения точки М в заданный момент времени.

.

При t=1/9 с см/с².

Вектор направлен из точки М к центру траектории в переносном движении (к оси вращения z) (см. рис.50).

4.5. Кориолисово ускорение точки М в заданный момент времени.

Модуль кориолисова ускорения

,

где – угол между векторами и , в данном случае (см. рис.50).

см/с².

Вектор направлен согласно правилу векторного произведения (вектор поворачивают на 90 в сторону относительно точки М).

4.6. Абсолютное ускорение точки М в заданный момент времени.

Численное значение абсолютного ускорения точки М определим путем проекций векторного равенства ускорений на координатные оси

.

Проецируем векторное равенство ускорений на ось х^/

см/с².

Проецируем векторное равенство ускорений на ось y^/

,

см/с².

Проецируем векторное равенство ускорений на ось z^/

см/с²

см/с².

Для графического изображения вектора абсолютного ускорения точки

М, строим в масштабе проекции ускорений по координатным осям (рис.51).

Рис.51.

Приложение

Образец выполнения титульного листа

к самостоятельным практическим задачам

Федеральное агентство по образованию РФ

Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«Пермский государственный технический университет»

Березниковский филиал

Кафедра технологии и механизации производств