Задача К 1. Определение скорости и ускорения точки по заданным уравнениям движения.

Задача К 1а.

Точка В движется в плоскости ху (рис. К 1.0 – К 1.9, табл. К 1; траектория точки на рисунках показана условно). Закон движения точки задан уравнениями: х=f1(t), у=f2(t), где х и у выражены в сантиметрах, t – в секундах.

Найти уравнение траектории точки; для момента времени t1=1 с, определить скорость и ускорение точки, а также её касательное и нормальное ускорения и радиус кривизны в соответствующей точке траектории.

Зависимость х=f1(t) указана непосредственно на рисунках, а зависимость у=f2(t) дана в табл. К 1 (для рис. 0-2 в столбце 2, для рис. 3-6 в столбце 3, для рис. 7-9 в столбце 4). Как и в задачах C 1-С 4, номер рисунка выбирается по предпоследней цифре шифра; а номер условия в табл. К 1-по последней.

Задача К 1б.

Точка движется по дуге окружности радиуса R=2м по закону s=f(t), заданному в табл. К 1 в столбце 5 (s – в метрах, t – в секундах), где s=AM – расстояние точки от некоторого начала А, измеренное вдоль дуги окружности. Определить скорость и ускорение точки в момент времени t1=1 с. Изобразить на рисунке векторы υ и a, считая, что точка в этот момент находится в положении М, а положительное направление отсчета s-от А к М.

Задача К 1. Определение скорости и ускорения точки по заданным уравнениям движения. - student2.ru

Задача К 1. Определение скорости и ускорения точки по заданным уравнениям движения. - student2.ru Задача К 1. Определение скорости и ускорения точки по заданным уравнениям движения. - student2.ru Задача К 1. Определение скорости и ускорения точки по заданным уравнениям движения. - student2.ru
Задача К 1. Определение скорости и ускорения точки по заданным уравнениям движения. - student2.ru Задача К 1. Определение скорости и ускорения точки по заданным уравнениям движения. - student2.ru Задача К 1. Определение скорости и ускорения точки по заданным уравнениям движения. - student2.ru
Задача К 1. Определение скорости и ускорения точки по заданным уравнениям движения. - student2.ru Задача К 1. Определение скорости и ускорения точки по заданным уравнениям движения. - student2.ru Задача К 1. Определение скорости и ускорения точки по заданным уравнениям движения. - student2.ru
Задача К 1. Определение скорости и ускорения точки по заданным уравнениям движения. - student2.ru    

Пример К 1а.По заданным уравнениям движения точки М в координатной форме определить: траекторию её движения в заданный момент времени t=1c, найти скорость и ускорение.

Задача К 1. Определение скорости и ускорения точки по заданным уравнениям движения. - student2.ru (см),

Задача К 1. Определение скорости и ускорения точки по заданным уравнениям движения. - student2.ru (см).

Решение:

1. Определим траекторию движущейся точки М.

Для получения уравнения траектории движущейся точки исключим из заданных уравнений параметр времени t:

Задача К 1. Определение скорости и ускорения точки по заданным уравнениям движения. - student2.ru ,

Задача К 1. Определение скорости и ускорения точки по заданным уравнениям движения. - student2.ru .

Полученные уравнения возведем в квадрат и суммируем:

Задача К 1. Определение скорости и ускорения точки по заданным уравнениям движения. - student2.ru .

Таким образом,

Задача К 1. Определение скорости и ускорения точки по заданным уравнениям движения. - student2.ru .

Данное выражение представляет собой траекторию движущейся точки М – уравнение эллипса с центром в точке с координатами (9; -4). Построим траекторию в координатных осях ху (рис.9).

Укажем положение точки М на траектории в заданный момент времени, для этого подставим время t=1с, в уравнения:

Задача К 1. Определение скорости и ускорения точки по заданным уравнениям движения. - student2.ru см,

Задача К 1. Определение скорости и ускорения точки по заданным уравнениям движения. - student2.ru см.

Тогда точка М с координаты (12; -1,4).

Для указания положительного отсчета по траектории определим положение точки М в начальный момент времени при t=0 с.

Задача К 1. Определение скорости и ускорения точки по заданным уравнениям движения. - student2.ru см,

Задача К 1. Определение скорости и ускорения точки по заданным уравнениям движения. - student2.ru см.

Тогда точка М0 имеет координаты (15; - 4).

Точки М и М0 принадлежат траектории эллипса, следовательно, решение верно.

Направление положительного отсчета по траектории идёт от точки М0 в момент времени t =0 c, к точке М, когда t =1 с (против движения часовой стрелки).

2. Определим скорость точки М в заданный момент времени t.

Известно, что скорость можно разложить по проекциям на координатные оси:

Задача К 1. Определение скорости и ускорения точки по заданным уравнениям движения. - student2.ru .

Определим проекцию скорости точки М на ось Ох:

Задача К 1. Определение скорости и ускорения точки по заданным уравнениям движения. - student2.ru .

В заданный момент времени t =1 с, проекция скорости составит:

Задача К 1. Определение скорости и ускорения точки по заданным уравнениям движения. - student2.ru см/с.

Так, как Vx= -10,9<0, то вектор скорости Задача К 1. Определение скорости и ускорения точки по заданным уравнениям движения. - student2.ru направлен из точки М параллельно оси Ох в сторону отрицательных значений х, данный вектор требуется отложить в соответствующем масштабе скоростей, указанных на схеме.

Определим проекцию скорости точки М на ось Оу:

Задача К 1. Определение скорости и ускорения точки по заданным уравнениям движения. - student2.ru .

В заданный момент времени t =1 с, проекция скорости составит:

Задача К 1. Определение скорости и ускорения точки по заданным уравнениям движения. - student2.ru см/с.

Так, как Vy=3,14>0, то вектор скорости Задача К 1. Определение скорости и ускорения точки по заданным уравнениям движения. - student2.ru направлен из точки М параллельно оси Оу в сторону положительных значений у, данный вектор требуется отложить в том же масштабе, что и вектор Задача К 1. Определение скорости и ускорения точки по заданным уравнениям движения. - student2.ru .

Геометрическая сумма векторов Задача К 1. Определение скорости и ускорения точки по заданным уравнениям движения. - student2.ru и Задача К 1. Определение скорости и ускорения точки по заданным уравнениям движения. - student2.ru (по правилу параллелограмма) представляет собой вектор скорости Задача К 1. Определение скорости и ускорения точки по заданным уравнениям движения. - student2.ru точки М в заданный момент времени, этот вектор должен быть направлен по касательной τ к траектории движения (рис.10). Численное значение скорости Задача К 1. Определение скорости и ускорения точки по заданным уравнениям движения. - student2.ru можно измерить, согласно указанному масштабу для векторов скоростей, либо определить по теореме Пифагора (так как вектора Задача К 1. Определение скорости и ускорения точки по заданным уравнениям движения. - student2.ru и Задача К 1. Определение скорости и ускорения точки по заданным уравнениям движения. - student2.ru взаимно перпендикулярны):

Задача К 1. Определение скорости и ускорения точки по заданным уравнениям движения. - student2.ru см/с.

3. Определим ускорение точки М в заданный момент времени t.

Известно, что ускорение можно разложить по проекциям на координатные оси:

Задача К 1. Определение скорости и ускорения точки по заданным уравнениям движения. - student2.ru .

Определим проекцию ускорения точки М на ось Ох:

Задача К 1. Определение скорости и ускорения точки по заданным уравнениям движения. - student2.ru .

В заданный момент времени t =1с, проекция ускорения составит:

Задача К 1. Определение скорости и ускорения точки по заданным уравнениям движения. - student2.ru см/с2.

Так, как Задача К 1. Определение скорости и ускорения точки по заданным уравнениям движения. - student2.ru <0, то вектор ускорения Задача К 1. Определение скорости и ускорения точки по заданным уравнениям движения. - student2.ru направлен из точки М параллельно оси Ох в сторону отрицательных значений х, данный вектор требуется отложить в соответствующем масштабе ускорений, указанного на схеме.

Определим ускорение скорости точки М на ось Оу:

Задача К 1. Определение скорости и ускорения точки по заданным уравнениям движения. - student2.ru .

В заданный момент времени t = 1с, проекция ускорения составит:

Задача К 1. Определение скорости и ускорения точки по заданным уравнениям движения. - student2.ru см/с2.

Так, как Задача К 1. Определение скорости и ускорения точки по заданным уравнениям движения. - student2.ru <0, то вектор ускорения Задача К 1. Определение скорости и ускорения точки по заданным уравнениям движения. - student2.ru направлен из точки М параллельно оси Оу в сторону отрицательных значений у, данный вектор требуется отложить в том же масштабе, что и вектор Задача К 1. Определение скорости и ускорения точки по заданным уравнениям движения. - student2.ru .

Геометрическая сумма векторов Задача К 1. Определение скорости и ускорения точки по заданным уравнениям движения. - student2.ru и Задача К 1. Определение скорости и ускорения точки по заданным уравнениям движения. - student2.ru (по правилу параллелограмма) представляет собой вектор ускорения Задача К 1. Определение скорости и ускорения точки по заданным уравнениям движения. - student2.ru точки М в заданный момент времени:

Задача К 1. Определение скорости и ускорения точки по заданным уравнениям движения. - student2.ru см/с2.

Определим касательное ускорение точки М в заданный момент времени t, зная проекции скорости и ускорения на оси координат:

Задача К 1. Определение скорости и ускорения точки по заданным уравнениям движения. - student2.ru см/с2.

Так, как Задача К 1. Определение скорости и ускорения точки по заданным уравнениям движения. - student2.ru , то вектор ускорения Задача К 1. Определение скорости и ускорения точки по заданным уравнениям движения. - student2.ru направлен из точки М по касательной к траектории движения в сторону направления вектора скорости Задача К 1. Определение скорости и ускорения точки по заданным уравнениям движения. - student2.ru (движение точки будет ускоренным), данный вектор требуется отложить в масштабе ускорений.

Определим нормальное ускорение точки М в заданный момент времени t, зная полное и касательное ускорения:

Задача К 1. Определение скорости и ускорения точки по заданным уравнениям движения. - student2.ru см/с2.

Вектор ускорения Задача К 1. Определение скорости и ускорения точки по заданным уравнениям движения. - student2.ru направлен из точки М по нормали п к траектории движения к центру кривизны траектории, данный вектор требуется отложить в масштабе ускорений.

Так, как векторная сумма ускорений Задача К 1. Определение скорости и ускорения точки по заданным уравнениям движения. - student2.ru справедлива, то решение верно.

Задача К 1. Определение скорости и ускорения точки по заданным уравнениям движения. - student2.ru

Определим радиус кривизны траектории Задача К 1. Определение скорости и ускорения точки по заданным уравнениям движения. - student2.ru в заданный момент времени c учетом нормального (центростремительного) ускорения в заданный момент времени:

Задача К 1. Определение скорости и ускорения точки по заданным уравнениям движения. - student2.ru см.

Пример К 1б.Точка движется по дуге окружности радиуса R=2 м по закону Задача К 1. Определение скорости и ускорения точки по заданным уравнениям движения. - student2.ru (s-в метрах, t-в секундах), где s-AM (рис. К 1б). Определить скорость и ускорение точки в момент времени t1=1 с.

Решение.

Определяем скорость точки:

Задача К 1. Определение скорости и ускорения точки по заданным уравнениям движения. - student2.ru Задача К 1. Определение скорости и ускорения точки по заданным уравнениям движения. - student2.ru

При t1=1 с, получи Задача К 1. Определение скорости и ускорения точки по заданным уравнениям движения. - student2.ru м/с.

Ускорение находим по его касательной и нормальной составляющим:

Задача К 1. Определение скорости и ускорения точки по заданным уравнениям движения. - student2.ru

Задача К 1. Определение скорости и ускорения точки по заданным уравнениям движения. - student2.ru

При t1=1 с, получим, учитывая, что R=2 м,

Задача К 1. Определение скорости и ускорения точки по заданным уравнениям движения. - student2.ru

Задача К 1. Определение скорости и ускорения точки по заданным уравнениям движения. - student2.ru

Тогда ускорение точки при t1=1 с, будет:

Задача К 1. Определение скорости и ускорения точки по заданным уравнениям движения. - student2.ru

Изобразим на рис. К 1б векторы Задача К 1. Определение скорости и ускорения точки по заданным уравнениям движения. - student2.ru и Задача К 1. Определение скорости и ускорения точки по заданным уравнениям движения. - student2.ru учитывая знаки υ1 и а1t и считая положительным направление от А к М.

Задача К2.

Механизм состоит из: ступенчатых колес 1–3, находящихся в зацеплении или связанных ременной передачей, зубчатой рейки 4и груза 5, привязанного к концу нити, намотанной на одно из колес (рис. К2.0-К2.9, табл. К2). Радиусы ступеней колес равны соответственно: у колеса 1 – r1=2 см, R1=4см, у колеса 2 – r2=6 см, R2=8см, у колеса 3 – r3=12 см, R3=16 см. На ободьях колес расположены точки А, В и С.

В столбце «Дано» таблицы указан закон движения или закон изменения скорости ведущего звена механизма, где j1(t) – закон вращения колеса 1, s4(t) – закон движения рейки 4, w2(t) – закон изменения угловой скорости колеса 2, υ5(t) –закон изменения скорости груза 5 и т. д. (везде j выражено в радианах, s – в сантиметрах, t – в секундах). Положительное направление для j и w против хода часовой стрелки, для s4, s5 и υ45 – вниз.

Определить в момент времени t1=2с, указанные в таблице в столбцах «Найти» скорости (υ– линейные, w – угловые) и ускорения (а – линейные, ε – угловые) соответствующих точек или тел (υ5 – скорость груза 5 и т. д.).

Задача К 1. Определение скорости и ускорения точки по заданным уравнениям движения. - student2.ru Задача К 1. Определение скорости и ускорения точки по заданным уравнениям движения. - student2.ru Задача К 1. Определение скорости и ускорения точки по заданным уравнениям движения. - student2.ru
Задача К 1. Определение скорости и ускорения точки по заданным уравнениям движения. - student2.ru Задача К 1. Определение скорости и ускорения точки по заданным уравнениям движения. - student2.ru Задача К 1. Определение скорости и ускорения точки по заданным уравнениям движения. - student2.ru
Задача К 1. Определение скорости и ускорения точки по заданным уравнениям движения. - student2.ru Задача К 1. Определение скорости и ускорения точки по заданным уравнениям движения. - student2.ru Задача К 1. Определение скорости и ускорения точки по заданным уравнениям движения. - student2.ru
Задача К 1. Определение скорости и ускорения точки по заданным уравнениям движения. - student2.ru  
       

Задача К 1. Определение скорости и ускорения точки по заданным уравнениям движения. - student2.ru

Пример К2.

Задача К 1. Определение скорости и ускорения точки по заданным уравнениям движения. - student2.ru Рейка 1, ступенчатое колесо 2с радиусами R2=6 см и r2=4 сми колесо 3радиуса R3=8 см, скрепленное с валом радиуса r3=3 см, находятся в зацеплении; на вал намотана нить с грузом 4на конце (рис. К2). Рейка движется по закону s1=3t3 см. Определить: w3, υ43, в момент времени t=t1=3 си ускорение aA точки А обода колеса 3.

Решение.

1.Определить угловые скорости всех колес как функции времени t. Зная закон движения рейки 1, находим ее скорость:

Задача К 1. Определение скорости и ускорения точки по заданным уравнениям движения. - student2.ru (1).

Так, как рейка и колесо 2находятся в зацеплении, то υ21или w2R21. Но колеса 2 и 3 тоже находятся в зацеплении, следовательно, υ23или w2r2=w3R3. Из этих равенств находим:

Задача К 1. Определение скорости и ускорения точки по заданным уравнениям движения. - student2.ru (2).

Тогда, для момента времени t1=3 с, получим w3=6,75 с-1.

2. Определить ε3. Учитывая второе из равенств (2), Задача К 1. Определение скорости и ускорения точки по заданным уравнениям движения. - student2.ru . Тогда при t1=3с:

ε3=4,5 с-2.

3. Определить υ4. Так как υ4B=w3r3,то при t1=3 с Þ υ4=20,25 см/с.

4. Определить аА.Для точки А аААtАn,где численно аАt=R3ε3, аАn=R3w32. Тогда, для момента времени t1=3 с:

аАt=36 см/с2 , аАn=364,5 см/с2, Задача К 1. Определение скорости и ускорения точки по заданным уравнениям движения. - student2.ru см/с2.

Все скорости и ускорения точек, а также направления угловых скоростей показаны на рис. К2.

Ответ: w3=6,75 с-1; υ4=20,25 см/с; ε3=4,5 с-2; аА=366,3 см/с2.

Задача К З.

Плоский механизм состоит из стержней 1, 2, 3, 4иползуна В или Е (рис. К З.0-К 3.7) или из стержней 1,2,3и ползунов В и Е (рис. К 3.8, К 3.9), соединенных друг с другом и с неподвижными опорами О1 О2 шарнирами; точка D находится в середине стержня АВ. Длины стержней равны соответственно: l1=0,4 м, l2=1,2 м, l3=1,4м, l4=0,6 м. Положение механизма определяется углами a, β, γ, j, θ. Значения этих углов и других заданных величин, указаны втабл. К 3а (для рис. 0-4) или в табл. К 3б (для рис. 5-9); при этом в табл. К За w1 и w4-величины постоянные.

Определить величины, указанные в таблицах в столбцах «Найти».

Дуговые стрелки, на рисунках, показывают, как при построении чертежа механизма должны откладываться соответствующие углы: по ходу или против хода часовой стрелки(например, угол γ на рис. 8 следует отложить от DB по ходу часовой стрелки, а на рис. 9-против хода часовой стрелки и т. д.).

Построение чертежа начинать со стержня, направление которого определяется углом a; ползун с направляющими для большей наглядности изобразить так, как в примере К 3 (см. рис. К 3б). Заданные, угловую скорость и угловое ускорение, считать направленными против часовой стрелки, а заданные скорость υВ и ускорение аВ от точки В к b (на рис. 5-9).

Задача К 1. Определение скорости и ускорения точки по заданным уравнениям движения. - student2.ru

Задача К 1. Определение скорости и ускорения точки по заданным уравнениям движения. - student2.ru

Задача К 1. Определение скорости и ускорения точки по заданным уравнениям движения. - student2.ru Задача К 1. Определение скорости и ускорения точки по заданным уравнениям движения. - student2.ru Задача К 1. Определение скорости и ускорения точки по заданным уравнениям движения. - student2.ru
Задача К 1. Определение скорости и ускорения точки по заданным уравнениям движения. - student2.ru Задача К 1. Определение скорости и ускорения точки по заданным уравнениям движения. - student2.ru Задача К 1. Определение скорости и ускорения точки по заданным уравнениям движения. - student2.ru
Задача К 1. Определение скорости и ускорения точки по заданным уравнениям движения. - student2.ru Задача К 1. Определение скорости и ускорения точки по заданным уравнениям движения. - student2.ru Задача К 1. Определение скорости и ускорения точки по заданным уравнениям движения. - student2.ru
Задача К 1. Определение скорости и ускорения точки по заданным уравнениям движения. - student2.ru    

Пример КЗ.

Задача К 1. Определение скорости и ускорения точки по заданным уравнениям движения. - student2.ru Механизм (рис. К 3а) состоит из стержней 1, 2, 3, 4и ползуна В, соединенных друг с другом и с неподвижными опорами О1и О2 шарнирами.

Дано: a=60°, β=150°, γ=90°, j=30°, θ=30°, AD=DB, l1=0,4м, l2=1,2 м, l3=1,4 м, ώ1=2 с-1, έ=7 с-2 (направления (ώ1 и έ1-против хода часовой стрелки).

Определить: υB, υE , ώ2, аB, έ3.

Решение.

Задача К 1. Определение скорости и ускорения точки по заданным уравнениям движения. - student2.ru 1. Строим положение механизма в соответствии с заданными углами (рис. К 3б; на этом рисунке изображаем все векторы скоростей).

2. Определяем υB. Точка В принадлежит стержню АВ. Чтобы найти υB, надо знать скорость какой-нибудь другой точки этого стержня и направление υB. По данным задачи, учитывая направление ώ1, можем определить υА, численно:

Задача К 1. Определение скорости и ускорения точки по заданным уравнениям движения. - student2.ru

Направление υВ найдем, учтя, что точка В принадлежит одновременно ползуну, движущемуся вдоль направляющих поступательно. Теперь, зная υА инаправление υB, воспользуемся теоремой о проекциях скоростей двух точек тела (стержня АВ) на прямую, соединяющую эти точки (прямая АВ). Сначала по этой теореме устанавливаем, в какую сторону направлен вектор υB (проекции скоростей должны иметь одинаковые знаки).Затем, вычисляя эти проекции, находим:

Задача К 1. Определение скорости и ускорения точки по заданным уравнениям движения. - student2.ru

3. Определяем υЕ. Точка Е принадлежит стержню DE. Следовательно, по аналогии с предыдущим, чтобы определить υЕ,надо сначала найти скорость точки D, принадлежащей одновременно стержню АВ. Для этого, зная υA и υB, строим мгновенный центр скоростей (МЦС) стержня АВ; это точка С3, лежащая на пересечении перпендикуляров к υА и υB, восставленных из точек А и В (к υА перпендикулярен стержень 1). По направлению вектора υA определяем направление поворота стержня АВ вокруг МЦС С3. Вектор υD перпендикулярен отрезку C3D, соединяющему точки D и С3, и направлен в сторону поворота. Величину υD найдем из пропорции:

Задача К 1. Определение скорости и ускорения точки по заданным уравнениям движения. - student2.ru

Чтобы вычислить С3D и С3В, заметим, что ∆AС3В-прямоугольный, так как острые углы в нем равны 30° и 60°, и что С3В=АB×sin30°=0,5АВ=BD. Тогда ∆ВС3D является равносторонним и С3В=C3D. В результате равенство дает:

Задача К 1. Определение скорости и ускорения точки по заданным уравнениям движения. - student2.ru

Так как точка Е принадлежит одновременно стержню О2Е, вращающемуся вокруг О2, то υЕ ^ О2E. Тогда, расставляя из точек Е и D перпендикуляры к скоростям υЕ иυD,построим МЦС С2стержня DE. По направлению вектора υD определяем направление поворота стержня DE вокруг центра С2. Вектор υE направлен в сторону поворота этого стержня. Из рис. К 3б видно, что ÐC2ED=ÐC2DE=30°, откуда С2Е=C2D. Составив теперь пропорцию, найдем, что:

Задача К 1. Определение скорости и ускорения точки по заданным уравнениям движения. - student2.ru

4. Определяем ώ2. Так, как МЦС стержня 2известен (точка С2

Задача К 1. Определение скорости и ускорения точки по заданным уравнениям движения. - student2.ru , то

Задача К 1. Определение скорости и ускорения точки по заданным уравнениям движения. - student2.ru

Задача К 1. Определение скорости и ускорения точки по заданным уравнениям движения. - student2.ru 5. Определяем аВ (рис. К 3в, на котором изображаем все векторы ускорений). Точка В принадлежит стержню АВ. Чтобы найти аВ, надо знать ускорение какой-нибудь другой точки стержня АВ и траекторию точки В. По данным задачи можем определить aА=aАt+aАn, где численно:

Задача К 1. Определение скорости и ускорения точки по заданным уравнениям движения. - student2.ru

Задача К 1. Определение скорости и ускорения точки по заданным уравнениям движения. - student2.ru

Вектор аАn направлен вдоль АО1,а аАt-перпендикулярно АО1изображаем эти векторы на чертеже (см. рис. К 3в). Так, как точка В одновременно принадлежит ползуну, то вектор аB параллелен направляющим ползуна. Изображаем вектор аB на чертеже, полагая, что он направлен в ту же сторону, что и υB.

Для определения аB воспользуемся равенством:

Задача К 1. Определение скорости и ускорения точки по заданным уравнениям движения. - student2.ru

Изображаем на чертеже векторы аnВА (вдоль ВА от B к A) и аВАt(в любую сторону перпендикулярно ВА); численно аnB=ώ23l. Найдя ώ3 с помощью построенного МЦС С3 стержня 3, получим:

Задача К 1. Определение скорости и ускорения точки по заданным уравнениям движения. - student2.ru

Таким образом, у величин, входящих в равенство (8), неизвестны только числовые значения аВ и аtВА,их можно найти, спроектировав обе части равенства (8) на какие-нибудь две оси.

Чтобы определить аВ, спроектируем обе части равенства (8) на направление ВА (ось х),перпендикулярное неизвестному вектору аtВА. Тогда получим:

Задача К 1. Определение скорости и ускорения точки по заданным уравнениям движения. - student2.ru

Подставив в равенство (10) числовые значения всех величин из (7) и (9), найдем, что:

aB=0,72 м/с2.

Так, как получилось aВ>0, то, следовательно, вектор аВ направлен, как показано на рис. К Зв.

6. Определяем έ3. Чтобы найти έ3, сначала определим аtВА. Для этого обе части равенства (8) спроектируем на направление, перпендикулярное АВ (ось у). Тогда получим:

Задача К 1. Определение скорости и ускорения точки по заданным уравнениям движения. - student2.ru

Подставив в равенство (12) числовые значения всех величин из (11) и (7), найдем, что аtВА=-3,58 м/с2. Знак указывает, что направление аtВА противоположно показанному на рис. К 3в.

Теперь из равенства аtВА3l3 получим:

Задача К 1. Определение скорости и ускорения точки по заданным уравнениям движения. - student2.ru

Ответ: υB=0,46 м/с; υE=0,46 м/с; ώ2=0,67 с-1; аB=0,72 м/с2; έ3=2,56 с-2.

Задача К4

Прямоугольная пластина (рис. К 4.0-К 4.4) или круглая пластина радиуса R=60 см (рис. К 4.5-К 4.9) вращается вокруг неподвижной оси по закону j=f1(t) заданному в табл. К 4. Положительное направление отсчета угла j показано на рисунках дуговой стрелкой. На рис. 0, 1, 2, 5, 6 ось вращения перпендикулярна плоскости пластины и проходит через точку О (пластина вращается в своей плоскости); на рис. 3, 4, 7, 8, 9 ось вращения ОО1лежит в плоскости пластины (пластина вращается в пространстве).

По пластине вдоль прямой BD (рис. 0-4) или по окружности радиуса R (рис. 5-9) движется точка М; закон ее относительного движения, т. е. зависимость s=AM=f2(t)(s-в сантиметрах, t-в секундах), задан в таблице отдельно для рис. 0-4 и для рис. 5-9; там же даны размеры b и l. На рисунках точка М показана в положении, при котором s=AM>0 (при s<0 точка М находится по другую сторону от точки А).

Найти абсолютную скорость и абсолютное ускорение точки М в момент времени t1=1с.

Задача К 1. Определение скорости и ускорения точки по заданным уравнениям движения. - student2.ru

Задача К 1. Определение скорости и ускорения точки по заданным уравнениям движения. - student2.ru Задача К 1. Определение скорости и ускорения точки по заданным уравнениям движения. - student2.ru Задача К 1. Определение скорости и ускорения точки по заданным уравнениям движения. - student2.ru
Задача К 1. Определение скорости и ускорения точки по заданным уравнениям движения. - student2.ru Задача К 1. Определение скорости и ускорения точки по заданным уравнениям движения. - student2.ru Задача К 1. Определение скорости и ускорения точки по заданным уравнениям движения. - student2.ru
Задача К 1. Определение скорости и ускорения точки по заданным уравнениям движения. - student2.ru Задача К 1. Определение скорости и ускорения точки по заданным уравнениям движения. - student2.ru Задача К 1. Определение скорости и ускорения точки по заданным уравнениям движения. - student2.ru
Задача К 1. Определение скорости и ускорения точки по заданным уравнениям движения. - student2.ru    

Пример К4а.

Задача К 1. Определение скорости и ускорения точки по заданным уравнениям движения. - student2.ru Дано: R=0,5 м, j=t2–0,5t3, s=πRcos(πt/3) (j – в радианах, s – в метрах, t – в секундах).

Определить: Vабс и аабс в момент времени t1=2 с.

Решение.Рассмотрим движение точки В как сложное, считая ее движение по дуге окружности относительным, а вращение пластины переносным движением. Тогда абсолютная скорость Vабс и абсолютное ускорение аабс точки найдутся по формулам:

Задача К 1. Определение скорости и ускорения точки по заданным уравнениям движения. - student2.ru = Задача К 1. Определение скорости и ускорения точки по заданным уравнениям движения. - student2.ru + Задача К 1. Определение скорости и ускорения точки по заданным уравнениям движения. - student2.ru ,

Задача К 1. Определение скорости и ускорения точки по заданным уравнениям движения. - student2.ru = Задача К 1. Определение скорости и ускорения точки по заданным уравнениям движения. - student2.ru + Задача К 1. Определение скорости и ускорения точки по заданным уравнениям движения. - student2.ru + Задача К 1. Определение скорости и ускорения точки по заданным уравнениям движения. - student2.ru ,

где, в свою очередь, Задача К 1. Определение скорости и ускорения точки по заданным уравнениям движения. - student2.ru = Задача К 1. Определение скорости и ускорения точки по заданным уравнениям движения. - student2.ru + Задача К 1. Определение скорости и ускорения точки по заданным уравнениям движения. - student2.ru , Задача К 1. Определение скорости и ускорения точки по заданным уравнениям движения. - student2.ru = Задача К 1. Определение скорости и ускорения точки по заданным уравнениям движения. - student2.ru + Задача К 1. Определение скорости и ускорения точки по заданным уравнениям движения. - student2.ru .

Рис. К4а

Определим все, входящие в равенства, величины. Рассмотрим каждое движение в отдельности.

1. Относительное движение (мысленно остановить вращение пластины вокруг опоры О). Это движение происходит по закону Задача К 1. Определение скорости и ускорения точки по заданным уравнениям движения. - student2.ru .

Положение точки В на дуге окружности в момент времени t1=2 с:

Задача К 1. Определение скорости и ускорения точки по заданным уравнениям движения. - student2.ru .

Знак минус свидетельствует о том, что точка В в момент t1=2 с находится справа от точки А. Изображаем ее на рис. К4а в этом положении (точка B1).

Тогда Задача К 1. Определение скорости и ускорения точки по заданным уравнениям движения. - student2.ru .

Теперь находим числовые значения Vотн, аtотн, аnотн:

Задача К 1. Определение скорости и ускорения точки по заданным уравнениям движения. - student2.ru ;

Задача К 1. Определение скорости и ускорения точки по заданным уравнениям движения. - student2.ru ,

где ρ – радиус кривизны относительной траектории, равный радиусу окружности R. Для момента t1=2 с, учитывая, что R=0,5 м, получим:

Задача К 1. Определение скорости и ускорения точки по заданным уравнениям движения. - student2.ru ;

Задача К 1. Определение скорости и ускорения точки по заданным уравнениям движения. - student2.ru .

Знаки показывают, что вектор аtотн направлен в сторону положительного отсчета расстояния s, а вектор Vотн-в противоположную сторону; вектор аnотн направлен к центру С окружности. Изображаем все эти векторы на рис. К4а.

2. Переносное движение (мысленно остановить движение точки по окружности). Это движение (вращение) происходит по закону j=t2 – 0,5t3. Найдем угловую скорость w и угловое ускорение ε переносного вращения при t1=2 с:

Задача К 1. Определение скорости и ускорения точки по заданным уравнениям движения. - student2.ru

Знаки указывают, что в момент t1=2 с направления w и ε противоположны направлению положительного отсчета угла j; отметим это на рис. К4а.

Для определения Vпер и апер находим сначала расстояние h1=ОВ1 точки B1 от оси вращения О. Из рисунка видно, что Задача К 1. Определение скорости и ускорения точки по заданным уравнениям движения. - student2.ru . Тогда в момент времени t1=2 с получим:

Задача К 1. Определение скорости и ускорения точки по заданным уравнениям движения. - student2.ru ;

Задача К 1. Определение скорости и ускорения точки по заданным уравнениям движения. - student2.ru .

Изображаем на рис. К4а векторы Vпер и atперс учетом направлений w и εи вектор аnпер (направлен к оси вращения).

3. Ускорение Кориолиса. Модуль ускорения Кориолиса определяем по формуле:

Задача К 1. Определение скорости и ускорения точки по заданным уравнениям движения. - student2.ru ,

где a – угол между вектором Vотн и осью вращения (вектором w). В нашем случае этот угол равен 90°, так как ось вращения перпендикулярна плоскости пластины, в которой расположен вектор Vотн. Тогда в момент времени t1=2 с, учитывая, что в этот момент |Vотн|=1,42 м/с и |w|=2 с-1, получим

акор=5,68 м/с2.

Направление акорнайдем по правилу Н. Е. Жуковского: так как вектор υотнлежит в плоскости, перпендикулярной оси вращения, то повернем его на 900 в направлении ώ, т. е. по ходу часовой стрелки. Изображаем акор на рис. К4а. [Иначе направление акор можно найти, учтя, что акор=2(ώ*υотн)].

Таким образом, значения всех входящих в правые части равенств (1) векторов найдены и для определения υабс и аабс остается только сложить эти векторы. Произведем это сложение аналитически.

4. Определение υа6с. Проведем координатные оси B1xy (см. рис. К4а) и спроектируем почленно обе части равенства

υабсотнперна эти оси. Получим для момента времени t1=2 с;

Задача К 1. Определение скорости и ускорения точки по заданным уравнениям движения. - student2.ru

Задача К 1. Определение скорости и ускорения точки по заданным уравнениям движения. - student2.ru

После этого находим

Задача К 1. Определение скорости и ускорения точки по заданным уравнениям движения. - student2.ru

Учитывая, что в данном случае угол между υотн и υперравен 45°, значение υабсможно еще определить по формуле

Задача К 1. Определение скорости и ускорения точки по заданным уравнениям движения. - student2.ru

5. Определение аабс.По теореме о сложении ускорений

Задача К 1. Определение скорости и ускорения точки по заданным уравнениям движения. - student2.ru

Для определения аабс спроектируем обе части равенства (7) на проведенные оси B1xy. Получим

Задача К 1. Определение скорости и ускорения точки по заданным уравнениям движения. - student2.ru

Задача К 1. Определение скорости и ускорения точки по заданным уравнениям движения. - student2.ru

Подставив сюда значения, которые все величины имеют в момент времени t1=2 с, найдем, что в этот момент

аабсх=9,74 м/с2; аавсу=7,15 м/с2

Тогда

Задача К 1. Определение скорости и ускорения точки по заданным уравнениям движения. - student2.ru

Ответ: υа6с=3,95 м/с, аабс=12,08 м/с2.

Пример К4б.

Задача К 1. Определение скорости и ускорения точки по заданным уравнениям движения. - student2.ru Треугольная пластина ADE вращается вокруг оси z по закону j = f1(t) (положительное направление отсчета угла j показано на рис. К4б дуговой стрелкой). По гипотенузе AD движется точка Впо закону s = АВ = f2(t); положительное направление отсчета s – от А к D.

Дано: j = 0,1× t3–2,2× t, s = АВ = 2 + 15× t – 3×t2; (j – в радианах, s – в сантиметрах, t – в секундах). Определить: Vабс и аабс в момент времени t1 = 2 с.

Рис. К4б

Решение. Рассмотрим движение точки В, как сложное, считая ее движение по прямой AD относительным, а вращение пластины – переносным. Тогда абсолютная скорость Задача К 1. Определение скорости и ускорения точки по заданным уравнениям движения. - student2.ru и абсолютное ускорение Задача К 1. Определение скорости и ускорения точки по заданным уравнениям движения. - student2.ru найдутся по формулам:

Задача К 1. Определение скорости и ускорения точки по заданным уравнениям движения. - student2.ru = Задача К 1. Определение скорости и ускорения точки по заданным уравнениям движения. - student2.ru + Задача К 1. Определение скорости и ускорения точки по заданным уравнениям движения. - student2.ru , Задача К 1. Определение скорости и ускорения точки по заданным уравнениям движения. - student2.ru = Задача К 1. Определение скорости и ускорения точки по заданным уравнениям движения. - student2.ru + Задача К 1. Определение скорости и ускорения точки по заданным уравнениям движения. - student2.ru + Задача К 1. Определение скорости и ускорения точки по заданным уравнениям движения. - student2.ru ,

где, в свою очередь, Задача К 1. Определение скорости и ускорения точки по заданным уравнениям движения. - student2.ru = Задача К 1. Определение скорости и ускорения точки по заданным уравнениям движения. - student2.ru + Задача К 1. Определение скорости и ускорения точки по заданным уравнениям движения. - student2.ru .

Определим все входящие в равенство величины.

1. Относительное движение - это движение прямолинейное и происходит по закону

s = AB = 2 + 15t - 3t2,

поэтому

Задача К 1. Определение скорости и ускорения точки по заданным уравнениям движения. - student2.ru Задача К 1. Определение скорости и ускорения точки по заданным уравнениям движения. - student2.ru

В момент времени t1 = 2 с имеем

s1 = AB1 = 20 cм, Vотн = 3 см/с, аотн = - 6 см/с2

Знаки показывают, что вектор Задача К 1. Определение скорости и ускорения точки по заданным уравнениям движения. - student2.ru направлен в сторону положительного отсчета расстояния s, а вектор Задача К 1. Определение скорости и ускорения точки по заданным уравнениям движения. - student2.ru – в противоположную сторону. Изображаем эти векторы на рис. К4б.

2. Переносное движение. Это движение (вращение) происходит по закону

j = 0,1×t3 - 2,2t.

Найдем угловую скорость w и угловое ускорение e переносного вращения:

w = Задача К 1. Определение скорости и ускорения точки по заданным уравнениям движения. - student2.ru = 0,3t2 - 2,2; e = Задача К 1. Определение скорости и ускорения точки по заданным уравнениям движения. - student2.ru = 0,6t и при t1 = 2 с,

w = - 1 c-1, e = 1,2 c-2.

Знаки указывают, что в момент t1 = 2 с направление e совпадает с направлением положительного отсчета угла j, а направление w ему противоположно; отметим это на рис. К3б соответствующими дуговыми стрелками.

Из рисунка находим расстояние h1 точки В1 от оси вращения z:

h1 = AB1× sin 30° = 10 см. Тогда в момент t1 = 2 с, учитывая равенства (68), получаем:

Vпер = |w|×h1 = 10 cм/с,

Задача К 1. Определение скорости и ускорения точки по заданным уравнениям движения. - student2.ru = |e|×h1 = 12 см/с2, Задача К 1. Определение скорости и ускорения точки по заданным уравнениям движения. - student2.ru = w2×h1 = 10 см/с2.

Изобразим на рис. К4б векторы Задача К 1. Определение скорости и ускорения точки по заданным уравнениям движения. - student2.ru и Задача К 1. Определение скорости и ускорения точки по заданным уравнениям движения. - student2.ru (с учетом знаков w и e)и Задача К 1. Определение скорости и ускорения точки по заданным уравнениям движения. - student2.ru ; направлены векторы Задача К 1. Определение скорости и ускорения точки по заданным уравнениям движения. - student2.ru и Задача К 1. Определение скорости и ускорения точки по заданным уравнениям движения. - student2.ru перпендикулярно плоскости ADE, а вектор Задача К 1. Определение скорости и ускорения точки по заданным уравнениям движения. - student2.ru – по линии В1С к оси вращения.

3. Кориолисово ускорение. Так как угол между вектором Задача К 1. Определение скорости и ускорения точки по заданным уравнениям движения. - student2.ru и осью вращения (вектором Задача К 1. Определение скорости и ускорения точки по заданным уравнениям движения. - student2.ru ) равен 30°, то численно в момент времени t1 = 2с

акор = 2×|Vотн| × |w| × sin 30° = 3 см/с2.

Направление Задача К 1. Определение скорости и ускорения точки по заданным уравнениям движения. - student2.ru найдем по правилу Н. Е. Жуковского. Для этого вектор Задача К 1. Определение скорости и ускорения точки по заданным уравнениям движения. - student2.ru спроецируем на плоскость, перпендикулярную оси вращения (проекция направлена противоположно вектору Задача К 1. Определение скорости и ускорения точки по заданным уравнениям движения. - student2.ru ) и затем эту проекцию повернем на 90° в сторону w, т. е. по ходу часовой стрелки; получим направление вектора Задача К 1. Определение скорости и ускорения точки по заданным уравнениям движения. - student2.ru . Он направлен перпендикулярно плоскости пластины так же, как вектор Задача К 1. Определение скорости и ускорения точки по заданным уравнениям движения. - student2.ru (см. рис. К3б).

4. Определение Vабс. Так как Задача К 1. Определение скорости и ускорения точки по заданным уравнениям движения. - student2.ru = Задача К 1. Определение скорости и ускорения точки по заданным уравнениям движения. - student2.ru + Задача К 1. Определение скорости и ускорения точки по заданным уравнениям движения. - student2.ru , а векторы Задача К 1. Определение скорости и ускорения точки по заданным уравнениям движения. - student2.ru и Задача К 1. Определение скорости и ускорения точки по заданным уравнениям движения. - student2.ru взаимно перпендикулярны, то Задача К 1. Определение скорости и ускорения точки по заданным уравнениям движения. - student2.ru ; в момент времени t1 = 2 с Vабс = 10,44 см/с.

5. Определение аабс. По теореме о сложении ускорений

Задача К 1. Определение скорости и ускорения точки по заданным уравнениям движения. - student2.ru = Задача К 1. Определение скорости и ускорения точки по заданным уравнениям движения. - student2.ru + Задача К 1. Определение скорости и ускорения точки по заданным уравнениям движения. - student2.ru + Задача К 1. Определение скорости и ускорения точки по заданным уравнениям движения. - student2.ru + Задача К 1. Определение скорости и ускорения точки по заданным уравнениям движения. - student2.ru .

Для определения аабс проведем координатные оси В1хуz1 и вычислим проекции Задача К 1. Определение скорости и ускорения точки по заданным уравнениям движения. - student2.ru на эти оси. Учтем при этом, что векторы Задача К 1. Определение скорости и ускорения точки по заданным уравнениям движения. - student2.ru и Задача К 1. Определение скорости и ускорения точки по заданным уравнениям движения. - student2.ru лежат на оси х1, а векторы Задача К 1. Определение скорости и ускорения точки по заданным уравнениям движения. - student2.ru и Задача К 1. Определение скорости и ускорения точки по заданным уравнениям движения. - student2.ru расположены в плоскости В1хуz1, т. е. в плоскости пластины. Тогда, проецируя обе части равенства (71) на оси В1хуz1 и учтя одновременно равенства (67), (69), (70), получаем для момента времени t1 = 2 с:

аабс х = | Задача К 1. Определение скорости и ускорения точки по заданным уравнениям движения. - student2.ru | – акор = 9 см/с2,

аабс у = Задача К 1. Определение скорости и ускорения точки по заданным уравнениям движения. - student2.ru + |аотн|×sin 30 ° = 13 см/с2,

аабс z = |аотн|×cos 30 ° = 5,20 см/с2.

Отсюда находим значение аабс:

Задача К 1. Определение скорости и ускорения точки по заданным уравнениям движения. - student2.ru см/с2.

Ответ: Vабс = 10,44 см/с, аабс = 16,64 см/с2.

Задача Д1.

Груз D массой m, получив в точке А начальную скорость V0.движется в изогнутой трубе АВС, расположенной в вертикальной плоскости; участки трубы или оба наклонные, или один горизонтальный, а другой наклонный (рис. Д1.0 —Д1.9, табл. Д1).

На участке АВ на груз кроме силы тяжести действуют постоянная сила Q (ее направление показано на рисунках) и сила сопротивления cреды R. зависящая от скорости V груза (направлена против движения); трением груза о трубу на участке АВ пренебречь.

В точке В груз, не изменяя своей скорости, переходит на участок ВС трубы, где на него кроме силы тяжести действуют сила трения

(коэффициент трения груза о трубу f = 0,2) и переменная сила F, проекция которой Fx на ось х задана в таблице.

Считая груз материальной точкой и зная расстояние АВ=l или

время t движения груза от точки А до точки В, найти закон движения груза на участке ВС, т. е. х = x(t). где х = ВD.

Указания.

Задача Д1 — на составление и интегрирование дифференциальных уравнений движения точки (решение основной задачи динамики). Решение задачи разбивается на две части. Сначала нужно составить векторное уравнение движения точки (груза) на участке АВ, спроектировать это уравнение на координатную ось, направленную вдоль АВ, и проинтегрировать полученное дифференциальное уравнение методом разделения переменных, учитывая начальные условия (вторая задача динамики точки). Затем, зная время движения груза на участке АВ или длину этого участка, определить скорость груза в точке В. Эта скорость будет начальной для движения груза на участке ВС.

Посте этого нужно составить векторное уравнение движения точки на участке ВС и спроектировать это уравнение на 2 координатные оси, направленные вдоль ВС и перпендикулярно ВС. Затем проинтегрировать дифференциальное уравнение движения груза на участке ВС тоже с учетом начальных условий, ведя отсчет времени от момента, когда груз находится в точке В, и полагая в этот момент t = 0. При интегрировании уравнения движения на участке АВ в случае, когда задана длина l участка, целесообразно перейти в уравнении от переменных Vx , t к переменным Vх, x, учитывая, что

Задача К 1. Определение скорости и ускорения точки по заданным уравнениям движения. - student2.ru

Груз D массой m, получив в точке А начальную скорость υ0, движется в изогнутой трубе ABC, расположенной в вертикальной плоскости; участки трубы или оба наклонные, или один горизонтальный, а другой наклонный (рис. Д1.0-Д1.9, табл. Д1).

На участке АВ на груз кроме силы тяжести действуют постоянная сила Q (ее направление показано на рисунках) и сила сопротивления среды R, зависящая от скорости υ груза (направлена против движения) ; трением груза о трубу на участке АВ пренебречь.

В точке В груз, не изменяя своей скорости, переходит на участок ВС трубы, где на него кроме силы тяжести действуют сила трения (коэффициент трения груза о трубу f=0,2) и переменная сила F, проекция которой Fx на ось х задана в таблице.

Считая груз материальной точкой и зная расстояние АВ=l или время t1 движения груза от точки А до точки В, найти закон движения груза на участке ВС, т. е. х=f(t), где х=BD.

Задача К 1. Определение скорости и ускорения точки по заданным уравнениям движения. - student2.ru

Задача К 1. Определение скорости и ускорения точки по заданным уравнениям движения. - student2.ru Задача К 1. Определение скорости и ускорения точки по заданным уравнениям движения. - student2.ru Задача К 1. Определение скорости и ускорения точки по заданным уравнениям движения. - student2.ru
Задача К 1. Определение скорости и ускорения точки по заданным уравнениям движения. - student2.ru Задача К 1. Определение скорости и ускорения точки по заданным уравнениям движения. - student2.ru Задача К 1. Определение скорости и ускорения точки по заданным уравнениям движения. - student2.ru
Задача К 1. Определение скорости и ускорения точки по заданным уравнениям движения. - student2.ru Задача К 1. Определение скорости и ускорения точки по заданным уравнениям движения. - student2.ru Задача К 1. Определение скорости и ускорения точки по заданным уравнениям движения. - student2.ru
Задача К 1. Определение скорости и ускорения точки по заданным уравнениям движения. - student2.ru    

Пример Д1.

Задача К 1. Определение скорости и ускорения точки по заданным уравнениям движения. - student2.ru На вертикальном участке АВ трубы (рис. Д1) на груз D массой т действуют сила тяжести и сила сопротивления R; расстояние от точки А, где υ=υ0, до точки В равно l. На наклонном участке ВС на груз действуют сила тяжести и переменная сила F=F(t), заданная в ньютонах.

Дано: m=2 кг, R=mυ2,где m=0,4 кг/м, υ0=5 м/с, l=2,5 м, Fx=16sin(4t).

Определить: х=f(t)-закон движения груза на участке ВС.

Решение.1.Рассмотрим движение груза на участке АВ, считая груз материальной точкой. Изображаем груз (в произвольном положении) и действующие на него силы Р=mg и R. Проводим ось Аz и составляем дифференциальное уравнение движения груза в проекции на эту ось:

Задача К 1. Определение скорости и ускорения точки по заданным уравнениям движения. - student2.ru

Далее находим Рz=Р=mg, Rz=-R=-mυ2, подчеркиваем, что в уравнении все переменные силы надо обязательно выразить через величины, от которых они зависят.Учтя еще, что υz=υ, получим

Задача К 1. Определение скорости и ускорения точки по заданным уравнениям движения. - student2.ru

Введем для сокращения записей обозначения

Задача К 1. Определение скорости и ускорения точки по заданным уравнениям движения. - student2.ru

где при подсчете принято g=10 м/с2. Тогда уравнение (2) можно представить в виде

Задача К 1. Определение скорости и ускорения точки по заданным уравнениям движения. - student2.ru

Разделяя в уравнении (4) переменные, а затем беря от обеих частей интегралы, получим

Задача К 1. Определение скорости и ускорения точки по заданным уравнениям движения. - student2.ru

По начальным условиям при z=0 υ=υ0, что дает С1=ln(υ20-п) и из равенства (5) находим ln(υ2-п) =-2kz+ln(υ20-п) или 1n(υ2-п)-ln (υ20-n)=-2kz. Отсюда

Задача К 1. Определение скорости и ускорения точки по заданным уравнениям движения. - student2.ru

В результате находим

Задача К 1. Определение скорости и ускорения точки по заданным уравнениям движения. - student2.ru

Полагая в равенстве (6) z=l= 2,5 м и заменяя k и п их значениями (3), определим скорость υB груза в точке В (υо=5 м/с, число е=2,7):

Задача К 1. Определение скорости и ускорения точки по заданным уравнениям движения. - student2.ru

2. Рассмотрим теперь движение груза на участке ВС; найденная скорость υВ будет для движения на этом участке начальной скоростью (υ0В). Изображаем груз (в произвольном положении) и действующие на него силы Р=mg,N,Fтр и F. Проведем из точки В оси Вх и By и составим дифференциальное уравнение движения груза в проекции на ось Вх:

Задача К 1. Определение скорости и ускорения точки по заданным уравнениям движения. - student2.ru

или

Задача К 1. Определение скорости и ускорения точки по заданным уравнениям движения. - student2.ru

где Fтp=f×N. Для определения N составим уравнение в проекции на ось By. Так как ау=0, получим 0=N-mg×cosa, откуда N=mg×cosa. Следовательно, Fтр=fmg×cosa; кроме того, Fx=16sin(4t) и уравнение (8) примет вид

Задача К 1. Определение скорости и ускорения точки по заданным уравнениям движения. - student2.ru Задача К 1. Определение скорости и ускорения точки по заданным уравнениям движения. - student2.ru

Разделив обе части равенства на т, вычислим g(sina-f×cosa)=g(sin30°-0,2cos30°)=3,2; Задача К 1. Определение скорости и ускорения точки по заданным уравнениям движения. - student2.ru и подставим эти значения в (9). Тогда получим

Задача К 1. Определение скорости и ускорения точки по заданным уравнениям движения. - student2.ru

Умножая обе части уравнения (10) на dt и интегрируя, найдем

υx=3,2t-2cos(4t)+C2

Будем теперь отсчитывать время от момента, когда груз находится в точке В, считая в этот момент t=0. Тогда при t=0 υ=υ0B, где υB даётся равенством (7). Подставляя эти величины в (11), получим

C2B+2cos0=6,4+2=8,4

При найденном значении С2 уравнение (11) дает

Задача К 1. Определение скорости и ускорения точки по заданным уравнениям движения. - student2.ru

Умножая здесь обе части на dt и снова интегрируя, найдем

x=1,6t2+8,4t+C3

Так как при t=0 х=0, то С3=0 и окончательно искомый закон движения груза будет

x=1,6t2+8,4t+0,5sin(4t)

где х-в метрах, t-в секундах.

Задача Д2.

Механическая система состоит из грузов 1 и 2, ступенчатого шкива 3с радиусами ступеней R3=0,3 м, r3=0,1 м и радиусом инерции относительно оси вращения ρ3=0,2 м, блока 4радиуса R4=0,2 м и катка (илиподвижного блока) 5 (рис. Д6.0-Д6.9, табл. Д6); тело 5считать сплошным однородным цилиндром, а массу блока 4-равномерно распределенной по ободу. Коэффициент трения грузов о плоскость f=0,1.Тела системы соединены друг с другом нитями, перекинутыми через блоки и намотанными на шкив 3(или на шкив и каток); участки нитей параллельны соответствующим плоскостям. К одному из тел прикреплена пружина с коэффициентом жесткости с.

Под действием силы F=f(s), зависящей от перемещения s точки ее приложения, система приходит в движение из состояния покоя; деформация пружины в момент начала движения равна нулю. При движении на шкив 3 действует постоянный момент М сил сопротивления (от трения в подшипниках).

Определить значение искомой величины в тот момент времени, когда перемещение s станет равным s1=0,2 м. Искомая величина указана в столбце «Найти» таблицы, где обозначено: υ1, υ2, υC5-скорости грузов 1, 2 ицентра масс тела 5 соответственно, ώ3 и ώ4-угловые скорости тел 3и 4.

Все катки, включая и катки, обмотанные нитями (как, например, каток 5на рис. 2), катятся по плоскостям без скольжения.

На всех рисунках не изображать груз 2, если т2=0; остальные тела должны изо

Наши рекомендации