Вычисление абсолютной скорости и абсолютного ускорения точки

Напомним теорему сложения скоростей при сложном движении точки:

абсолютная скорость точки равна геометрической сумме относительной и переносной скоростей:

Вычисление абсолютной скорости и абсолютного ускорения точки - student2.ru

Теорема сложения ускорений при сложном движении точки имеет вид:

Вычисление абсолютной скорости и абсолютного ускорения точки - student2.ru ,

где вектор

Вычисление абсолютной скорости и абсолютного ускорения точки - student2.ru

называется ускорением Кориолиса.

Таким образом,

абсолютное ускорение точки равно геометрической сумме относительного, переносного и кориолисова ускорений.

Пример 3.3

Круглая трубка радиуса Вычисление абсолютной скорости и абсолютного ускорения точки - student2.ru вращается вокруг горизонтальной оси Вычисление абсолютной скорости и абсолютного ускорения точки - student2.ru по часовой стрелке с постоянной угловой скоростью Вычисление абсолютной скорости и абсолютного ускорения точки - student2.ru . Внутри трубки около ее точки Вычисление абсолютной скорости и абсолютного ускорения точки - student2.ru колеблется шарик Вычисление абсолютной скорости и абсолютного ускорения точки - student2.ru , причем так, что Вычисление абсолютной скорости и абсолютного ускорения точки - student2.ru (Рис. 3.5). Определить скорость, касательное и нормальное ускорения в абсолютном движении шарика в любой момент времени.

Вычисление абсолютной скорости и абсолютного ускорения точки - student2.ru
 
Рис.3.5

Относительное движение шарика представляет собой движение по окружности радиуса Вычисление абсолютной скорости и абсолютного ускорения точки - student2.ru с центром в точке Вычисление абсолютной скорости и абсолютного ускорения точки - student2.ru по закону Вычисление абсолютной скорости и абсолютного ускорения точки - student2.ru . Определим закон изменения дуговой координаты шарика в относительном движении:

Вычисление абсолютной скорости и абсолютного ускорения точки - student2.ru

Вычислим относительную скорость и относительное ускорение шарика:

Вычисление абсолютной скорости и абсолютного ускорения точки - student2.ru

Вычисление абсолютной скорости и абсолютного ускорения точки - student2.ru

Вычисление абсолютной скорости и абсолютного ускорения точки - student2.ru

Трубка сообщает шарику переносную скорость

Вычисление абсолютной скорости и абсолютного ускорения точки - student2.ru

и переносное ускорение

Вычисление абсолютной скорости и абсолютного ускорения точки - student2.ru

Угол между осью вращения трубки, вдоль которой направлен вектор ее угловой скорости, и вектором относительной скорости шарика равен Вычисление абсолютной скорости и абсолютного ускорения точки - student2.ru , так что

Вычисление абсолютной скорости и абсолютного ускорения точки - student2.ru

Для определения направления ускорения Кориолиса удобнее всего воспользоваться правилом Жуковского.

Абсолютная траектория шарика в данном случае очевидна – это все та же окружность с центром Вычисление абсолютной скорости и абсолютного ускорения точки - student2.ru радиуса Вычисление абсолютной скорости и абсолютного ускорения точки - student2.ru . Используя теорему сложения скоростей, получаем:

Вычисление абсолютной скорости и абсолютного ускорения точки - student2.ru

Используя теорему Кориолиса (3.12), получаем:

Вычисление абсолютной скорости и абсолютного ускорения точки - student2.ru

Вычисление абсолютной скорости и абсолютного ускорения точки - student2.ru

Направления векторов указаны на Рис. 3.5. Ускорение Кориолиса и относительная скорость представлены на рисунке для случая Вычисление абсолютной скорости и абсолютного ускорения точки - student2.ru

Пример 3.4

Лопатка Вычисление абсолютной скорости и абсолютного ускорения точки - student2.ru рабочего колеса турбины, вращающегося против хода часовой стрелки замедленно с угловым ускорением Вычисление абсолютной скорости и абсолютного ускорения точки - student2.ru , имеет радиус кривизны 0.2 м и центр кривизны в точке Вычисление абсолютной скорости и абсолютного ускорения точки - student2.ru , причем Вычисление абсолютной скорости и абсолютного ускорения точки - student2.ru м. Частица воды Вычисление абсолютной скорости и абсолютного ускорения точки - student2.ru , отстоящая от оси Вычисление абсолютной скорости и абсолютного ускорения точки - student2.ru турбины на расстоянии 0.2 м, движется по лопатке наружу и имеет скорость 0.25 м/с и касательное ускорение 0.5 м Вычисление абсолютной скорости и абсолютного ускорения точки - student2.ru по отношению к лопатке. Определить абсолютное ускорение частицы Вычисление абсолютной скорости и абсолютного ускорения точки - student2.ru в тот момент времени, когда угловая скорость турбины равна 2 рад/с.


Подвижную систему координат свяжем с рабочим колесом турбины (Рис. 3.6). Относительной траекторией частицы воды является кривая Вычисление абсолютной скорости и абсолютного ускорения точки - student2.ru – лопатка турбины. Определим нормальное ускорение точки Вычисление абсолютной скорости и абсолютного ускорения точки - student2.ru в относительном движении

Вычисление абсолютной скорости и абсолютного ускорения точки - student2.ru

Точка Вычисление абсолютной скорости и абсолютного ускорения точки - student2.ru турбины описывает окружность с центром Вычисление абсолютной скорости и абсолютного ускорения точки - student2.ru радиуса Вычисление абсолютной скорости и абсолютного ускорения точки - student2.ru . Определим переносное ускорение точки:

Вычисление абсолютной скорости и абсолютного ускорения точки - student2.ru

Направление ускорения Кориолиса определяем по правилу Жуковского. Модуль ускорения Кориолиса равен

Вычисление абсолютной скорости и абсолютного ускорения точки - student2.ru

Используя теорему Кориолиса, найдем проекции абсолютного ускорения частицы Вычисление абсолютной скорости и абсолютного ускорения точки - student2.ru на оси подвижной системы координат (Рис. 3.6):

Вычисление абсолютной скорости и абсолютного ускорения точки - student2.ru

Вычисление абсолютной скорости и абсолютного ускорения точки - student2.ru

Вычисление абсолютной скорости и абсолютного ускорения точки - student2.ru     Вычисление абсолютной скорости и абсолютного ускорения точки - student2.ru
     
Рис. 3.6   Рис. 3.7

Остается определить Вычисление абсолютной скорости и абсолютного ускорения точки - student2.ru и Вычисление абсолютной скорости и абсолютного ускорения точки - student2.ru . Для этого используем теорему косинусов (Рис. 3.7):

Вычисление абсолютной скорости и абсолютного ускорения точки - student2.ru

Отсюда

Вычисление абсолютной скорости и абсолютного ускорения точки - student2.ru

Таким образом,

Вычисление абсолютной скорости и абсолютного ускорения точки - student2.ru

Окончательно получаем:

Вычисление абсолютной скорости и абсолютного ускорения точки - student2.ru

Пример 3.5

Диск радиуса Вычисление абсолютной скорости и абсолютного ускорения точки - student2.ru вращается вокруг неподвижной оси Вычисление абсолютной скорости и абсолютного ускорения точки - student2.ru с постоянной угловой скоростью Вычисление абсолютной скорости и абсолютного ускорения точки - student2.ru . По ободу диска движется точка Вычисление абсолютной скорости и абсолютного ускорения точки - student2.ru , имея относительно диска постоянную по модулю скорость Вычисление абсолютной скорости и абсолютного ускорения точки - student2.ru . Определить абсолютную скорость и абсолютное ускорение точки Вычисление абсолютной скорости и абсолютного ускорения точки - student2.ru .


Подвижную систему отсчета связываем с диском (Рис. 3.8). По отношению к диску, т.е. в относительном движении, точка Вычисление абсолютной скорости и абсолютного ускорения точки - student2.ru движется равномерно со скоростью Вычисление абсолютной скорости и абсолютного ускорения точки - student2.ru , описывая окружность радиуса Вычисление абсолютной скорости и абсолютного ускорения точки - student2.ru с центром в точке Вычисление абсолютной скорости и абсолютного ускорения точки - student2.ru . Определяем относительное ускорение точки:

Вычисление абсолютной скорости и абсолютного ускорения точки - student2.ru

Рассмотрим переносное движение – его совершает диск. Точка Вычисление абсолютной скорости и абсолютного ускорения точки - student2.ru диска описывает окружность с центром Вычисление абсолютной скорости и абсолютного ускорения точки - student2.ru , плоскость которой параллельна координатной плоскости Вычисление абсолютной скорости и абсолютного ускорения точки - student2.ru . Переносная скорость

Вычисление абсолютной скорости и абсолютного ускорения точки - student2.ru

направлена по касательной к этой окружности в сторону вращения диска, т.е. перпендикулярно плоскости диска в отрицательном направлении координатной оси Вычисление абсолютной скорости и абсолютного ускорения точки - student2.ru . Поскольку вращение диска по условию равномерное, отличным от нуля оказывается только осестремительное ускорение:

Вычисление абсолютной скорости и абсолютного ускорения точки - student2.ru

Вектор ускорения Кориолиса точки Вычисление абсолютной скорости и абсолютного ускорения точки - student2.ru направлен перпендикулярно плоскости чертежа, в которой расположены векторы Вычисление абсолютной скорости и абсолютного ускорения точки - student2.ru и Вычисление абсолютной скорости и абсолютного ускорения точки - student2.ru , причем, в ту сторону, откуда кратчайшее совмещение направления вектора Вычисление абсолютной скорости и абсолютного ускорения точки - student2.ru с направлением вектора Вычисление абсолютной скорости и абсолютного ускорения точки - student2.ru видно против хода часовой стрелки. В указанном на Рис. 3.9 положении точки Вычисление абсолютной скорости и абсолютного ускорения точки - student2.ru вектор ускорения Кориолиса направлен на нас, т.е. параллелен координатной оси Вычисление абсолютной скорости и абсолютного ускорения точки - student2.ru в положительную сторону этой оси. На Рис. 3.9 это направление условно обозначено острием стрелки, заключенным в кружок. Модуль ускорения Кориолиса вычисляется по формуле:

Вычисление абсолютной скорости и абсолютного ускорения точки - student2.ru .

Вычисление абсолютной скорости и абсолютного ускорения точки - student2.ru       Вычисление абсолютной скорости и абсолютного ускорения точки - student2.ru
     
Рис.3.8   Рис.3.9
       

При перемещении точки Вычисление абсолютной скорости и абсолютного ускорения точки - student2.ru по диску направление ускорения Кориолиса не будет изменяться до тех пор, пока Вычисление абсолютной скорости и абсолютного ускорения точки - student2.ru , т.е. пока Вычисление абсолютной скорости и абсолютного ускорения точки - student2.ru (точка Вычисление абсолютной скорости и абсолютного ускорения точки - student2.ru ). При пересечении точкой Вычисление абсолютной скорости и абсолютного ускорения точки - student2.ru координатной оси Вычисление абсолютной скорости и абсолютного ускорения точки - student2.ru ускорение Кориолиса обращается в нуль. При движении точки в нижней части диска, т.е. при Вычисление абсолютной скорости и абсолютного ускорения точки - student2.ru , проекция ускорения Кориолиса на направление оси Вычисление абсолютной скорости и абсолютного ускорения точки - student2.ru становится отрицательной и вектор Вычисление абсолютной скорости и абсолютного ускорения точки - student2.ru направлен от нас (точки Вычисление абсолютной скорости и абсолютного ускорения точки - student2.ru и Вычисление абсолютной скорости и абсолютного ускорения точки - student2.ru ).

Таким образом,

Вычисление абсолютной скорости и абсолютного ускорения точки - student2.ru

Используя теорему сложения скоростей

Вычисление абсолютной скорости и абсолютного ускорения точки - student2.ru

находим проекции вектора абсолютной скорости на оси подвижной системы координат:

Вычисление абсолютной скорости и абсолютного ускорения точки - student2.ru Вычисление абсолютной скорости и абсолютного ускорения точки - student2.ru

Вычисление абсолютной скорости и абсолютного ускорения точки - student2.ru

Используя теорему Кориолиса

Вычисление абсолютной скорости и абсолютного ускорения точки - student2.ru

находим проекции абсолютного ускорения точки на оси подвижной системы координат:

Вычисление абсолютной скорости и абсолютного ускорения точки - student2.ru

Вычисление абсолютной скорости и абсолютного ускорения точки - student2.ru Вычисление абсолютной скорости и абсолютного ускорения точки - student2.ru

Вычисление абсолютной скорости и абсолютного ускорения точки - student2.ru

Примечание.

Последняя задача позволяет проиллюстрировать некоторые явления, связанные с вращением Земли, в частности, размыв берегов рек. Как видно, вращение Земли приводит к возникновению у частиц воды кориолисова ускорения, направленного перпендикулярно линии берегов. Наличие такого ускорения приводит к тому, что в северном полушарии дополнительно подмывается правый берег, который на прямолинейных участках рек заметно выше левого берега. В южном полушарии более высокий левый берег. Это явление в географии отражено в законе Бэра.

ЗАДАЧИ, РЕКОМЕНДУЕМЫЕ ДЛЯ РАЗБОРА В АУДИТОРИИ И ДЛЯ ЗАДАНИЯ НА ДОМ:

Из сборника задач И.В.Мещерского: 22.10; 22.14; 22.17; 22.26; 23.1; 23.9; 23.13; 23.18; 23.19; 23.27; 23.29; 23.34; 23.47; 23.48; 23.49; 23.56.

Из учебника «ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА - теория и практика»: комплекты СР-23;

СР-24; СР-25.

КОНТРОЛЬНЫЕ МЕРОПРИЯТИЯ:

  1. После практического занятия №7(15) проводится тест «МОДУЛЬ КБ».

ЛИТЕРАТУРА:

  1. Антонов В.И., Белов В.А., Егорычев О.О., Степанов Р.Н. //Курс теоретической механики (теория и практика) – М.: Архитектура – С, 2011 г.
  2. Мещерский И.В.// Сборник задач по теоретической механике. – Спб.: Лань, 2010 г.

Наши рекомендации