Понятие производной. Геометрических и физический смысл

Дифференциальное исчисление функции одной переменной.

Значение функции f(x) в каждой допустимой фиксированной точке x₀ : f(x₀) – число. Изменяя значение аргумента, получаем различные значения функции.

y₁=f(x₁), y₂=f(x₂), ……, y_n=f(x_n).

Возникает вопрос: Как сильно изменится значение функции f(x) при данном изменении аргумента?

Ответ на этот вопрос и приводит к понятию производной.

Пусть задана некоторая функция y=f(x), определенная в окрестности в точке x₀.

Определение 1. Если существует конечный предел отношения при , то его называют производной функции в точке x_0.

(*)

где

- приращение аргумента.

- приращение функции

Определение 2. Если в равенстве (*) даются односторонние пределы, (то есть только левый или только правый), то соответствующие производные называются левой и правой производной.

- левая производная

- правая производная.

Замечание 1. Если левая и правая производные совпадают, то функция имеет производную в этой точке x₀.

Замечание 2. Если односторонние производные в точке x₀ различны или хотя бы одна из них равна , то и производная в этой точке не существует.