Решение. а) Заметим, что член последовательности с номером равен и больше

а) Заметим, что член последовательности с номером равен и больше . Это и означает по определению, что – неограниченная последовательность.

б) Очевидно, что в интервале находятся все члены последовательности с нечетными номерами, а значит, в этом интервале находится бесконечно много членов последовательности. Отсюда следует, что не является бесконечно большой.

Теорема 1. Алгебраическая сумма конечного числа бесконечно малых последовательностей является бесконечно малой последовательностью.

Доказательство. Пусть и - бесконечно малые последовательности. Тогда для любого ε>0 существуют номера n₁(ε/2) и n₂(ε/2) такие, что для всех n> n₁(ε/2)выполняется неравенство |x_n|<ε/2 и n₂(ε/2) |y_n|<ε/2. Тогда, полагая n₀=max(n₁(ε/2), n₂(ε/2)), получим, что для любого n>n₁ |x_n± y_n|≤|x_n|+|y_n|<ε/2+ε/2=ε. Следовательно, {x_n±y_n} – бесконечно малая последовательность.

Теорема 2. Произведение бесконечно малой последовательности на ограниченную является бесконечно малой последовательностью.

Доказательство. Пусть {х_n} – бесконечно малая последовательность, а {у_n} – ограниченная последовательность, т.е. существует такое число М>0, что для всех натуральных номеров выполняется неравенство │y_n│≤М.

Зададим ε>0, в силу определения бесконечно малой последовательности существует такой номер N, что для всех n≥N выполняются неравенства │x_n│< . Поэтому для всех n≥N имеем │x_ny_n│=│x_n││y_n│< M=ε, что и означает, что последовательность { x_ny_n} бесконечно малая.

Следствие. Произведение конечного числа бесконечно малых последовательностей является бесконечно малой последовательностью.

Теорема 3. Если последовательность – бесконечно большая, то начиная с некоторого номера определена последовательность , которая является бесконечно малой. Если последовательность – бесконечно малая и , то последовательность является бесконечно большой.

Пример 2.Доказать, что последовательность является: а) бесконечно большой при ; б) бесконечно малой при .