Производная сложной функции. Рассмотренные нами правила дифференцирования результатов арифметических действий не дают еще возможности вычислять производные от многих элементарных функций

Рассмотренные нами правила дифференцирования результатов арифметических действий не дают еще возможности вычислять производные от многих элементарных функций. Возьмем, например, функцию Производная сложной функции. Рассмотренные нами правила дифференцирования результатов арифметических действий не дают еще возможности вычислять производные от многих элементарных функций - student2.ru , которая не является ни суммой, ни произведением, ни частным более простых элементарных функций, и поэтому правила предыдущего параграфа к ней неприменимы. При этом Производная сложной функции. Рассмотренные нами правила дифференцирования результатов арифметических действий не дают еще возможности вычислять производные от многих элементарных функций - student2.ru является сложной функцией: Производная сложной функции. Рассмотренные нами правила дифференцирования результатов арифметических действий не дают еще возможности вычислять производные от многих элементарных функций - student2.ru , Производная сложной функции. Рассмотренные нами правила дифференцирования результатов арифметических действий не дают еще возможности вычислять производные от многих элементарных функций - student2.ru , и ее производную можно найти с помощью правила дифференцирования сложной функции, которое читается так.

Если функция Производная сложной функции. Рассмотренные нами правила дифференцирования результатов арифметических действий не дают еще возможности вычислять производные от многих элементарных функций - student2.ru имеет производную в точке x, а функция Производная сложной функции. Рассмотренные нами правила дифференцирования результатов арифметических действий не дают еще возможности вычислять производные от многих элементарных функций - student2.ru имеет производную в точке Производная сложной функции. Рассмотренные нами правила дифференцирования результатов арифметических действий не дают еще возможности вычислять производные от многих элементарных функций - student2.ru , то сложная функция Производная сложной функции. Рассмотренные нами правила дифференцирования результатов арифметических действий не дают еще возможности вычислять производные от многих элементарных функций - student2.ru также имеет производную в точке x, причем Производная сложной функции. Рассмотренные нами правила дифференцирования результатов арифметических действий не дают еще возможности вычислять производные от многих элементарных функций - student2.ru .

Опуская аргумент и используя другое обозначение для производных, формулу можно переписать в виде Производная сложной функции. Рассмотренные нами правила дифференцирования результатов арифметических действий не дают еще возможности вычислять производные от многих элементарных функций - student2.ru .

Доказательство:

Придадим x приращение ∆x, оно вызовет приращение ∆u промежуточного аргумента u=φ(x),

которое в свою очередь повлечет изменение функции y на некоторую величину ∆y.

Для отыскания производной y′ нужно найти Производная сложной функции. Рассмотренные нами правила дифференцирования результатов арифметических действий не дают еще возможности вычислять производные от многих элементарных функций - student2.ru при∆x→0.

Представим отношение Производная сложной функции. Рассмотренные нами правила дифференцирования результатов арифметических действий не дают еще возможности вычислять производные от многих элементарных функций - student2.ru в виде

Производная сложной функции. Рассмотренные нами правила дифференцирования результатов арифметических действий не дают еще возможности вычислять производные от многих элементарных функций - student2.ru

Тогда в силу правила предельного перехода в произведении получим:

Производная сложной функции. Рассмотренные нами правила дифференцирования результатов арифметических действий не дают еще возможности вычислять производные от многих элементарных функций - student2.ru

( ∆u→0 при ∆x→0, так как u=φ(x)- непрерывная функция).

Так как Производная сложной функции. Рассмотренные нами правила дифференцирования результатов арифметических действий не дают еще возможности вычислять производные от многих элементарных функций - student2.ru

то мы приходим к доказанной формуле.

Наши рекомендации