Көрсеткіштік және логарифмдік теңдеуге есеп шығару

Мынандай тәсілдер бойынша іске асады:

1º. Теңдеудің екі жақ бөлігін де бірдей негізге келтіру.

2º. Ортақ көбейткішті жақша сыртына шығару.

3º. Жаңа белгісіз енгізу және одан арылу.

4º. Логарифмдеу және потенцирлеу.

5º. Графиктік тәсіл.

6º. Анықтаманы пайдалану.

Мысалдар.

Мына теңдеулерді шешу керек.

76. 27=[0,(3)]^6-x

Шешуші: Мұны төмендегіше түрлендіруге болады: 27=(1/3)^6-x 27=3^x-6 немесе

Жауабы: x=9

77.

Шешуі: Былай қайта жазайық:

Сонда

Егер десек, болады. Жаңа белгісізден арылсақ: 1)

Сонда

Жауабы:

78.

Белгісіздердің мүмкін мәндері x>0, x 0;1 теңсіздіктері бойынша анықталады. х осы жиында жатыр деп есептеп, төмендегіше түрлендірейік. Логарифм астындағы сан мен логарифм негізінен бірдей көрсеткішті түбір табу амалын орындағаннан логарифмнің мәні өзгермейтіндіктен

немесе болғандықтан, берілген теңдеу мына түрге келеді: x>0 екенін ескеріп, мұны квадраттап

екенін табамыз.

х₂ анықталу облысында жатқандықтан бастапқы теңдеуге қойып тексерейік. x₂=2- шешім болатындығы анықталады. Есепті анықтаманы пайдаланып та шешуге болады.

Жауабы: x=2

79.

Шешуі:

немесе

Егер болады. х белгісізгеоралсақ

1)

2)

Жауабы:

80.(sinx

Шешуі: =1 екендігін ескеріп былай деуге болады:

1)

2)

Жауабы:

Есепті басқа да тәсілдермен шешуге болады.

81.x^log₂^x+2=3

Нұсқау. 2 негізі бойынша логарифмдеңіз.

Жауабы: ,

82. +

Нұсқау. 3 негізіне көшіңіз. Егер теңдікті – ке қысқартсаңыз, оның нөлге тең болу жағдайын ескеріңіз.

Жауабы:

83.

Нұсқау. Бірнеше рет потенцирлеңіз немесе логарифм анықтамасын пайдаланыңыз.

Жауабы:

84.

Жауабы:

85.

Жауабы:

86.

Нұсқау. Бірдей негізге келтіріп, теңдіктің сол жақ бөлігін қосындыға түрлендіреміз.

Жауабы:

Тригонометриялық теңдеулерді шешу тәсілдері

Б і р т е к т і т е ң д е у л е р т ә с і л і.

Синус пен косинустың дәрежелері бірдей болып бос мүшесі болмаса, ондай теңдеулерді біртекті теңдеулер дейміз.

87. Мына теңдеулерді шешіңіз:

Бұл бірінші дәрежелі біртекті теңдеу.

Мұндай теңдеулерді cosx-ке мүшелеп бөліп шешеді. Өйткені егер cosx=0 болса, түбір жоғалмайды. Себебі sinx=±1 болып, atgx+в=0 теңдеуінің сол жағы нөлге айналмайды.

Екінші дәрежелі біртекті теңдеу осы тәсілмен шешіледі.

-ге мүшелеп бөліп +в квадрат теңдеуге келеміз. Егер бұл теңдеудің түбірлерін х₁ мен х₂ десек, енді tgx=x₁ мен tgx=x₂ теңдеулерін шешу ғана қалады. Мұнан

және -ке берілген теңдеудің сол жақ бөлігін мүшелеп бөлу үшін оның ортақ көбейткіші болмауы тиіс.

88.

болғандықтан, бұл екінші дәрежелі біртекті теңдеу. Мұны ескергенде

. Ортақ көбейткіш cosx болғандықтан оны cosx-ке бөлсек, теңдеудің түбірін жоғалтып аламыз. Неге? Себебі

1)

2) жағдайын қарастырсақ, бұдан

Біртекті теңдеуге келтіру тәсілі.

89. теңдеуін d-ні деп өзгертсек, біртекті теңдеуге келеді. Мұнда ұқсас мүшелерді жинақтау керек.

Мысал.

90. теңдеуін шешу керек.

Шешуі: Біртекті теңдеуге келтірейік:

Ұқсас мүшелерін жинақтағаннан кейін -ге бөлейік.

Сонда

Мұнан Z

Жаңа белгісіз енгізу және одан арылу тәсілі

(1)

Мұндай теңдеулерді десек (1) теңдеу (2) түріне келіп табылады.

Зерттеу.

a)Егер болса және b+c онда (2) теңдеудің нақты түбірлері бар. Ол

б)Егер болса, онда (1) теңдеудің нақты шешімі жоқ;

в)Егер b+c=0 болса, (2) теңдеу сызықтық t= -b/c теңдеуіне түрленеді де, (1) теңдеудің шешімдері былай болады:

Пайдалы ауыстыру тәсілі. Мұнда тригонометриялық функциялар арасындағы теңбе-теңдіктер пайдаланылады.

Мысалдар.

91.sinx-cosx=1 теңдеуін шешіңіз.

1 тәсілі. cosx-ті sinx арқылы өрнектейік:

Мұнан: не sinx=0, не

Квадраттау нәтижесінде бөгде түбір пайда болуы мүмкіндігінен табылған түбірді тексеру керек. Тексерсек n-тақ екендігін айқындаймыз. Ақырында есеп жауабы және екендігі табылады.

2-тәсілі. Берілген теңдеуді квадраттап, кейін -ке көбейтсек, теңдеу біртекті теңдеуге келеді. Оны шеше аламыз.

3-тәсілі. формуласын пайдалануға болады.

Бірдей аргументке келтіру тәсілі.

92.

Шешуі.

Теңдеудің екі жақ бөлігінде де квадраттап екенін ескерсек, бастапқы теңдеу теңдеуіне келеді немесе

.

Мұнан:

1)не

2)не

Жауабы:

93.

Шешуі. Берілген теңдеуді төмендегіше түрлендірейік:

Мұнан екенін табуға болады.

94.

Шешуі:

Сонда

Ортақ көбейткішті жақша сыртына шығарсақ былай болады:

Мұнан

1)

2)

Соңғы теңдеудің сол жағын көбейтіндіге келтірсек

болады.

Жауаптары осы.

95.

Шешуі:

Былай топтайық:

Мұнан

cos3x=0 мен cos3x=cosx теңдеулерін шешіп, екенін табамыз.

Жауабы:

Дәрежені кеміту тәсілі

96.

Шешуі:

Мұнан

1)

2) - бұлай болмайды, өйткені

97.

Нұсқау. Квадрат түбір тауып, екі теңдеулер сериясын шешіңіз және мен n мәндеріне сәйкес түбірлерді зерттеңіз.

Жауабы: