Теорема Ролля. Т-ма Лагранжа. Т-ма Коші

Т-ма Ролля:

Якщо ф-я f(x) є С Теорема Ролля. Т-ма Лагранжа. Т-ма Коші - student2.ru неперервна на відрізку Теорема Ролля. Т-ма Лагранжа. Т-ма Коші - student2.ru диференційована в інтервалі Теорема Ролля. Т-ма Лагранжа. Т-ма Коші - student2.ru і на кінцях відрізка приймає рівні значення, тоді Теорема Ролля. Т-ма Лагранжа. Т-ма Коші - student2.ru принаймні одна точка С така, що Теорема Ролля. Т-ма Лагранжа. Т-ма Коші - student2.ru (пох. в ній дор. 0).

1) Теорема Ролля. Т-ма Лагранжа. Т-ма Коші - student2.ru

2) Теорема Ролля. Т-ма Лагранжа. Т-ма Коші - student2.ru Теорема Ролля. Т-ма Лагранжа. Т-ма Коші - student2.ru Теорема Ролля. Т-ма Лагранжа. Т-ма Коші - student2.ru

3) Теорема Ролля. Т-ма Лагранжа. Т-ма Коші - student2.ru

Доведення : За ІІ теоремою Вейєрштраса всяка неперервна ф-я приймає своє наближене значення.

І) m=M, Теорема Ролля. Т-ма Лагранжа. Т-ма Коші - student2.ru , f(x)=C=const, f′(x)=0

II) m<M, f(a)=f(b)

Найб. і найм. знач. не можуть досягти у внутрішній точці С Теорема Ролля. Т-ма Лагранжа. Т-ма Коші - student2.ru , тоді за Т. Ролля Теорема Ролля. Т-ма Лагранжа. Т-ма Коші - student2.ru .

Теорема Ролля. Т-ма Лагранжа. Т-ма Коші - student2.ru Теорема Ролля. Т-ма Лагранжа. Т-ма Коші - student2.ru

Серед усіх дотичних до кривої у=f(x) Теорема Ролля. Т-ма Лагранжа. Т-ма Коші - student2.ru принаймні одна паралельна до Ох.

Т-ма Лагранжа:Якщоф-я f(x) неперервна на відрізку Теорема Ролля. Т-ма Лагранжа. Т-ма Коші - student2.ru , диференційована в інтервалі (a,b), і тоді т. С таке, що має рівність Теорема Ролля. Т-ма Лагранжа. Т-ма Коші - student2.ru .

1) f(x), х Теорема Ролля. Т-ма Лагранжа. Т-ма Коші - student2.ru Теорема Ролля. Т-ма Лагранжа. Т-ма Коші - student2.ru

2) Теорема Ролля. Т-ма Лагранжа. Т-ма Коші - student2.ru

Звідси випливає, що Теорема Ролля. Т-ма Лагранжа. Т-ма Коші - student2.ru .

Теорема Ролля. Т-ма Лагранжа. Т-ма Коші - student2.ru

Теорема Ролля. Т-ма Лагранжа. Т-ма Коші - student2.ru

Теорема Ролля. Т-ма Лагранжа. Т-ма Коші - student2.ru .

Ця ф-я задов. всім вимогам умови Ролля:

1) Теорема Ролля. Т-ма Лагранжа. Т-ма Коші - student2.ru

2о) Теорема Ролля. Т-ма Лагранжа. Т-ма Коші - student2.ru

3о) Теорема Ролля. Т-ма Лагранжа. Т-ма Коші - student2.ru , тоді за Т. Ролля Теорема Ролля. Т-ма Лагранжа. Т-ма Коші - student2.ru

Теорема Ролля. Т-ма Лагранжа. Т-ма Коші - student2.ru , Теорема Ролля. Т-ма Лагранжа. Т-ма Коші - student2.ru ,

Теорема Ролля. Т-ма Лагранжа. Т-ма Коші - student2.ru

Теорема Ролля. Т-ма Лагранжа. Т-ма Коші - student2.ru

Якщо дотична паралельна до січної, що сполучає точку А і В.

Ф-ла Лагранжа застос. до будь-якого відрізка Теорема Ролля. Т-ма Лагранжа. Т-ма Коші - student2.ru або для будь-якого

Теорема Ролля. Т-ма Лагранжа. Т-ма Коші - student2.ru . Теорема Ролля. Т-ма Лагранжа. Т-ма Коші - student2.ru , Теорема Ролля. Т-ма Лагранжа. Т-ма Коші - student2.ru Теорема Ролля. Т-ма Лагранжа. Т-ма Коші - student2.ru , Теорема Ролля. Т-ма Лагранжа. Т-ма Коші - student2.ru ,

Теорема Ролля. Т-ма Лагранжа. Т-ма Коші - student2.ru .(с-проміжна точка,

Теорема Ролля. Т-ма Лагранжа. Т-ма Коші - student2.ru ).

Теорема Коші.Якщо ф-я f(x) і φ(х) неперервні на відрізку Теорема Ролля. Т-ма Лагранжа. Т-ма Коші - student2.ru , диференційовані в інтервалі (а,b) при чому φ´(x)≠0, тоді існує принаймні одна т.C, така, що має місце рівність: Теорема Ролля. Т-ма Лагранжа. Т-ма Коші - student2.ru .

1о Теорема Ролля. Т-ма Лагранжа. Т-ма Коші - student2.ru

2о Теорема Ролля. Т-ма Лагранжа. Т-ма Коші - student2.ru . Звідси випливає Теорема Ролля. Т-ма Лагранжа. Т-ма Коші - student2.ru . Якщо покласти φ(x)=x, то Теорема Ролля. Т-ма Лагранжа. Т-ма Коші - student2.ru .

Доведення: Введемо допоміжну ф-ю Теорема Ролля. Т-ма Лагранжа. Т-ма Коші - student2.ru . Ця ф-я задовольняє всім вимогам теореми Ролля. Тоді за Т.Ролля Теорема Ролля. Т-ма Лагранжа. Т-ма Коші - student2.ru , Теорема Ролля. Т-ма Лагранжа. Т-ма Коші - student2.ru ,

Теорема Ролля. Т-ма Лагранжа. Т-ма Коші - student2.ru .

Екстремуми ф-ції. Опуклість і точки перегину. Асимптоти.

Необх. умова існув. екстремуму: Якщо Теорема Ролля. Т-ма Лагранжа. Т-ма Коші - student2.ru є т. максимуму або мінімуму і в цій т. існує похідна, то ця пох.=0. Для дослідж. ф-ії на екстр. необх. знайти нулі 1-ї похідної і т. в яких вона не існує, дослід. зміну знака 1-ї пох. при переході через крит.точки.

Опуклість.

Теорема Ролля. Т-ма Лагранжа. Т-ма Коші - student2.ru

Крива задана р-м y=f(x) назив. вгнутою (опуклою) в т. Теорема Ролля. Т-ма Лагранжа. Т-ма Коші - student2.ru , якщо існує такий Теорема Ролля. Т-ма Лагранжа. Т-ма Коші - student2.ru окіл цієї точки, що для всіх х з цього околу відповідні точки кривої лежать під (над) дотичною, проведеної до кривої в т. Теорема Ролля. Т-ма Лагранжа. Т-ма Коші - student2.ru .

т. Теорема Ролля. Т-ма Лагранжа. Т-ма Коші - student2.ru назив. точкою перегину графіка ф-ії, якщо існують такий Теорема Ролля. Т-ма Лагранжа. Т-ма Коші - student2.ru окіл цієї точки, що для всіх Теорема Ролля. Т-ма Лагранжа. Т-ма Коші - student2.ru всі точки кривої лежать під (над) дотичною, а для всіх правих Теорема Ролля. Т-ма Лагранжа. Т-ма Коші - student2.ru - над (під) дотичною.

Теорема. Нехай крива у=f(x) та існує такий Теорема Ролля. Т-ма Лагранжа. Т-ма Коші - student2.ru -окіл т. Теорема Ролля. Т-ма Лагранжа. Т-ма Коші - student2.ru , що фун-ія f(x) в околі цієї точки має похідні до другого порядку включно, при чому друга похідна в т. х є неперервна, тоді якщо f ”(x0)>0 – вгнута, f ”(x0)<0 – опукла.

Доведення: (розглянемо випадок)

Позначимо через у і х відповідно, У= f(x0)- f ‘(x)(х-х0);

у-У= f(x)- f(x0)- f ‘(x)(х-х0);

Запишемо формулу Тейлора для функції: Теорема Ролля. Т-ма Лагранжа. Т-ма Коші - student2.ru -

Теорема Ролля. Т-ма Лагранжа. Т-ма Коші - student2.ru , Теорема Ролля. Т-ма Лагранжа. Т-ма Коші - student2.ru , Теорема Ролля. Т-ма Лагранжа. Т-ма Коші - student2.ru . Якщо друга похідна додатна:

у-Y>0,у>Y,то крива вгнута. Якщо друга пох.<0,то крива опукла.

Асимптоти. Нехай задано y=f(x), f(x)-неперервна. Крива l назив. асимптотою графіка ф-ії y=f(x),якщо відстань від т.М кривої l до даної прямої прямує до нуля, коли т.М рухається в нескінченність, тобто Теорема Ролля. Т-ма Лагранжа. Т-ма Коші - student2.ru . Асимптоти бувають: вертикальні( Теорема Ролля. Т-ма Лагранжа. Т-ма Коші - student2.ru ), горизонтальні( Теорема Ролля. Т-ма Лагранжа. Т-ма Коші - student2.ru ) і похилі( Теорема Ролля. Т-ма Лагранжа. Т-ма Коші - student2.ru ). Теорема Ролля. Т-ма Лагранжа. Т-ма Коші - student2.ru . Якщо хоч одне b або k не існує, то крива не має асимптот.

Наши рекомендации