Теоремы ферма, ролля, лагранжа, коши

ТЕОРЕМЫ ФЕРМА, РОЛЛЯ, ЛАГРАНЖА, КОШИ

ТЕОРЕМА ФЕРМА. (О равенстве нулю производной)

утверждает, что любая действительная дифференцируемая функция, принимающая одинаковые значения на концах интервала, должна иметь в этом интервале хотя бы одну стационарную точку, т.е. точку, в которой первая производная равна нулю.Следствие. (Геометрический смысл теоремы Ферма)

В точке наибольшего и наименьшего значения, достигаемого внутри промежутка, касательная к графику функции параллельна оси абсцисс.

ТЕОРЕМА РОЛЛЯ. (О нуле производной функции, принимающей на концах отрезка равные значения) Пусть функция теоремы ферма, ролля, лагранжа, коши - student2.ru дифференцируема в открытом промежутке теоремы ферма, ролля, лагранжа, коши - student2.ru , на концах этого промежутка сохраняет непрерывность и принимает одинаковые значения: теоремы ферма, ролля, лагранжа, коши - student2.ru . Тогда существует точка теоремы ферма, ролля, лагранжа, коши - student2.ru , в которой производная функции теоремы ферма, ролля, лагранжа, коши - student2.ru равна нулю: теоремы ферма, ролля, лагранжа, коши - student2.ru .

Следствие. (Геометрический смысл теоремы Ролля)

Найдется хотя бы одна точка, в которой касательная к графику функции будет параллельна оси абсцисс.

Следствие.

Если теоремы ферма, ролля, лагранжа, коши - student2.ru , то теорему Ролля можно сформулировать следующим образом: между двумя последовательными нулями дифференцируемой функции имеется, хотя бы один, нуль производной.

ТЕОРЕМА ЛАГРАНЖА. (О конечных приращениях)

Пусть функция теоремы ферма, ролля, лагранжа, коши - student2.ru дифференцируема в открытом промежутке теоремы ферма, ролля, лагранжа, коши - student2.ru и сохраняет непрерывность на концах этого промежутка. Тогда существует такая точка теоремы ферма, ролля, лагранжа, коши - student2.ru , что

  теоремы ферма, ролля, лагранжа, коши - student2.ru теоремы ферма, ролля, лагранжа, коши - student2.ru

Следствие. (Геометрический смысл теоремы Лагранжа)

На кривой теоремы ферма, ролля, лагранжа, коши - student2.ru между точками теоремы ферма, ролля, лагранжа, коши - student2.ru и теоремы ферма, ролля, лагранжа, коши - student2.ru найдется точка теоремы ферма, ролля, лагранжа, коши - student2.ru , такая, что через эту точку можно провести касательную, параллельную хорде теоремы ферма, ролля, лагранжа, коши - student2.ru

Доказанная формула называется формулой Лагранжа или формулой конечных приращений. Она может быть переписана в виде:

теоремы ферма, ролля, лагранжа, коши - student2.ru

ТЕОРЕМА КОШИ. (Об отношении конечных приращений двух функций

Если функции теоремы ферма, ролля, лагранжа, коши - student2.ru и теоремы ферма, ролля, лагранжа, коши - student2.ru :

1. непрерывны на отрезке теоремы ферма, ролля, лагранжа, коши - student2.ru ;

2. дифференцируемы на интервале теоремы ферма, ролля, лагранжа, коши - student2.ru ;

3. производная теоремы ферма, ролля, лагранжа, коши - student2.ru на интервале теоремы ферма, ролля, лагранжа, коши - student2.ru ,

тогда на этом интервале найдется по крайней мере одна точка теоремы ферма, ролля, лагранжа, коши - student2.ru , такая, что

теоремы ферма, ролля, лагранжа, коши - student2.ru

Если производная функции равна нулю на некотором промежутке, то функция является постоянной на этом промежутке.

Теорема

Если две функции имеют равные производные на некотором промежутке, то они на этом промежутке отличаются друг от друга на некоторое слагаемое.

ПРИЗНАК МОНОТОННОСТИ ФУНКЦИИ

ПЕРВООБРАЗНАЯ, ТЕОРЕМА ОБ ОБЩЕМ ВИДЕ ПЕРВООБРАЗНЫХ К ДАННОЙ ФУНКЦИИ (ВЫВОД). ДОСТАТОЧНОЕ УСЛОВИЕ СУЩЕСТВОВАНИЯ ПЕРВООБРАЗНОЙ.

теоремы ферма, ролля, лагранжа, коши - student2.ru теоремы ферма, ролля, лагранжа, коши - student2.ru теоремы ферма, ролля, лагранжа, коши - student2.ru

(Об общем виде первообразной для функции)

теоремы ферма, ролля, лагранжа, коши - student2.ru 9. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ. ОПРЕДЕЛЕНИЕ, ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА.

теоремы ферма, ролля, лагранжа, коши - student2.ru

теоремы ферма, ролля, лагранжа, коши - student2.ru

теоремы ферма, ролля, лагранжа, коши - student2.ru

теоремы ферма, ролля, лагранжа, коши - student2.ru

ТАБЛИЦА ОСНОВНЫХ ИНТЕГРАЛОВ

теоремы ферма, ролля, лагранжа, коши - student2.ru теоремы ферма, ролля, лагранжа, коши - student2.ru

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА. ПЛОЩАДЬ КРИВОЛИНЕЙНОЙ ТРАПЕЦИИ (ВЫВОД). ДОСТАТОЧНОЕ УСЛОВИЕ СУЩЕСТВОВАНИЯ ИНТЕГРАЛА.

теоремы ферма, ролля, лагранжа, коши - student2.ru теоремы ферма, ролля, лагранжа, коши - student2.ru

теоремы ферма, ролля, лагранжа, коши - student2.ru теоремы ферма, ролля, лагранжа, коши - student2.ru

теоремы ферма, ролля, лагранжа, коши - student2.ru

ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА.

теоремы ферма, ролля, лагранжа, коши - student2.ru теоремы ферма, ролля, лагранжа, коши - student2.ru

теоремы ферма, ролля, лагранжа, коши - student2.ru теоремы ферма, ролля, лагранжа, коши - student2.ru теоремы ферма, ролля, лагранжа, коши - student2.ru

теоремы ферма, ролля, лагранжа, коши - student2.ru теоремы ферма, ролля, лагранжа, коши - student2.ru теоремы ферма, ролля, лагранжа, коши - student2.ru

теоремы ферма, ролля, лагранжа, коши - student2.ru

теоремы ферма, ролля, лагранжа, коши - student2.ru

ТЕОРЕМА О СРЕДНЕМ ЗНАЧЕНИИ (ВЫВОД, ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ). ЧТО НАЗЫВАЕТСЯ СРЕДНИМ ЗНАЧЕНИЕМ ФУНКЦИИ НА ОТРЕЗКЕ?

теоремы ферма, ролля, лагранжа, коши - student2.ru теоремы ферма, ролля, лагранжа, коши - student2.ru

ПРОИЗВОДНАЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА ПО ВЕРХНЕМУ ПРЕДЕЛУ (ВЫВОД).

теоремы ферма, ролля, лагранжа, коши - student2.ru

теоремы ферма, ролля, лагранжа, коши - student2.ru 16. ФОРМУЛА НЬЮТОНА-ЛЕЙБНИЦА

теоремы ферма, ролля, лагранжа, коши - student2.ru

теоремы ферма, ролля, лагранжа, коши - student2.ru теоремы ферма, ролля, лагранжа, коши - student2.ru

17. ФОРМУЛА ИНТЕГРИРОВАНИЯ ПО ЧАСТЯМ ДЛЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА.

теоремы ферма, ролля, лагранжа, коши - student2.ru теоремы ферма, ролля, лагранжа, коши - student2.ru

теоремы ферма, ролля, лагранжа, коши - student2.ru 18. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

теоремы ферма, ролля, лагранжа, коши - student2.ru теоремы ферма, ролля, лагранжа, коши - student2.ru

теоремы ферма, ролля, лагранжа, коши - student2.ru

теоремы ферма, ролля, лагранжа, коши - student2.ru

теоремы ферма, ролля, лагранжа, коши - student2.ru 19. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. ГРАФИК ФУНКЦИИ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ.

теоремы ферма, ролля, лагранжа, коши - student2.ru

ОБЩИЙ ВИД ЛИНЕЙНОГО ДУ N-ГО ПОРЯДКА. ЛИНЕЙНОЕ ОДНОРОДНОЕ ДУ 2-ГО ПОРЯДКА. ФУНДАМЕНТАЛЬНАЯ СИСТЕМА РЕШЕНИЙ. МОЖЕТ ЛИ НУЛЕВОЕ РЕШЕНИЕ ВХОДИТЬ В ФУНДАМЕНТАЛЬНУЮ СИСТЕМУ РЕШЕНИЙ? СКОЛЬКО ФУНДАМЕНТАЛЬНЫХ СИСТЕМ РЕШЕНИЙ ИМЕЕТ ТАКОЕ ДУ?

теоремы ферма, ролля, лагранжа, коши - student2.ru

СТРУКТУРА ОБЩЕГО РЕШЕНИЯ ЛИНЕЙНОГО НЕОДНОРОДНОГО ДУ 2-ГО ПОРЯДКА. В КАКИХ СЛУЧАЯХ, И В КАКОМ ВИДЕ МОЖЕТ БЫТЬ НАЙДЕНО ЧАСТНОЕ РЕШЕНИЕ ЛИНЕЙНОГО НЕОДНОРОДНОГО ДУ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ МЕТОДОМ ПОДБОРА ЧАСТНОГО РЕШЕНИЯ?

теоремы ферма, ролля, лагранжа, коши - student2.ru

теоремы ферма, ролля, лагранжа, коши - student2.ru

ТЕОРЕМЫ ФЕРМА, РОЛЛЯ, ЛАГРАНЖА, КОШИ

ТЕОРЕМА ФЕРМА. (О равенстве нулю производной)

утверждает, что любая действительная дифференцируемая функция, принимающая одинаковые значения на концах интервала, должна иметь в этом интервале хотя бы одну стационарную точку, т.е. точку, в которой первая производная равна нулю.Следствие. (Геометрический смысл теоремы Ферма)

В точке наибольшего и наименьшего значения, достигаемого внутри промежутка, касательная к графику функции параллельна оси абсцисс.

ТЕОРЕМА РОЛЛЯ. (О нуле производной функции, принимающей на концах отрезка равные значения) Пусть функция теоремы ферма, ролля, лагранжа, коши - student2.ru дифференцируема в открытом промежутке теоремы ферма, ролля, лагранжа, коши - student2.ru , на концах этого промежутка сохраняет непрерывность и принимает одинаковые значения: теоремы ферма, ролля, лагранжа, коши - student2.ru . Тогда существует точка теоремы ферма, ролля, лагранжа, коши - student2.ru , в которой производная функции теоремы ферма, ролля, лагранжа, коши - student2.ru равна нулю: теоремы ферма, ролля, лагранжа, коши - student2.ru .

Следствие. (Геометрический смысл теоремы Ролля)

Найдется хотя бы одна точка, в которой касательная к графику функции будет параллельна оси абсцисс.

Следствие.

Если теоремы ферма, ролля, лагранжа, коши - student2.ru , то теорему Ролля можно сформулировать следующим образом: между двумя последовательными нулями дифференцируемой функции имеется, хотя бы один, нуль производной.

ТЕОРЕМА ЛАГРАНЖА. (О конечных приращениях)

Пусть функция теоремы ферма, ролля, лагранжа, коши - student2.ru дифференцируема в открытом промежутке теоремы ферма, ролля, лагранжа, коши - student2.ru и сохраняет непрерывность на концах этого промежутка. Тогда существует такая точка теоремы ферма, ролля, лагранжа, коши - student2.ru , что

  теоремы ферма, ролля, лагранжа, коши - student2.ru теоремы ферма, ролля, лагранжа, коши - student2.ru

Следствие. (Геометрический смысл теоремы Лагранжа)

На кривой теоремы ферма, ролля, лагранжа, коши - student2.ru между точками теоремы ферма, ролля, лагранжа, коши - student2.ru и теоремы ферма, ролля, лагранжа, коши - student2.ru найдется точка теоремы ферма, ролля, лагранжа, коши - student2.ru , такая, что через эту точку можно провести касательную, параллельную хорде теоремы ферма, ролля, лагранжа, коши - student2.ru

Доказанная формула называется формулой Лагранжа или формулой конечных приращений. Она может быть переписана в виде:

теоремы ферма, ролля, лагранжа, коши - student2.ru

ТЕОРЕМА КОШИ. (Об отношении конечных приращений двух функций

Если функции теоремы ферма, ролля, лагранжа, коши - student2.ru и теоремы ферма, ролля, лагранжа, коши - student2.ru :

1. непрерывны на отрезке теоремы ферма, ролля, лагранжа, коши - student2.ru ;

2. дифференцируемы на интервале теоремы ферма, ролля, лагранжа, коши - student2.ru ;

3. производная теоремы ферма, ролля, лагранжа, коши - student2.ru на интервале теоремы ферма, ролля, лагранжа, коши - student2.ru ,

тогда на этом интервале найдется по крайней мере одна точка теоремы ферма, ролля, лагранжа, коши - student2.ru , такая, что

теоремы ферма, ролля, лагранжа, коши - student2.ru

Если производная функции равна нулю на некотором промежутке, то функция является постоянной на этом промежутке.

Теорема

Если две функции имеют равные производные на некотором промежутке, то они на этом промежутке отличаются друг от друга на некоторое слагаемое.

Наши рекомендации