Теоремы Лагранжа и Ролля, их геометрическая интерпретация

Дифференциал функции.

Понятие дифференциала, его геометрический смысл, свойства.

Пусть функция определена в точке и дифференцируема в ней, то есть существует

.

Следовательно , представлено в виде суммы двух бесконечно малых.

Сравним оба бесконечно малых слагаемых.

.

То есть , это означает, что второе слагаемое бесконечно мало по сравнению с первым слагаемым . Следовательно, если первое слагаемое (линейное относительно ) играет главную роль в приращении функции .

Главная линейная часть приращения функции называется дифференциалом функции и обозначается

(8.1.1)

Пусть . Следовательно, и , откуда ,

.

Так как , то .

Если , то или

(8.1.2)

Представление функции в виде (8.1.2) называется линеаризацией функции.

Примеры:

1) , , .

2) , .

3) , , в окрестности точки .

Геометрический смысл дифференциала

прира-щение ординаты касательной.

приращение функции.

Рис. 8.1.

Производные и дифференциалы высших порядков.

Задача об ускорении движения:

Пусть функция и её производная дифференцируемы в точке х.

Определение. Производная от производной называется производной 2-го порядка.

….

Свойства производной любого порядка аналогичны свойствам производной 1-го порядка.

Примеры:

……… ………….

По аналогии с дифференциалом можно ввести понятие дифференциала любого порядка.

……… ……….

Некоторые теоремы дифференциального исчисления.

Дифференциальное исчисление и понятие производной находят обширное приложение, как в математике, так и в других научных исследованиях. Прежде, чем перейти к наиболее важным приложениям, рассмотрим несколько основным теорем.

Теоремы Лагранжа и Ролля, их геометрическая интерпретация.

Теорема Лагранжа. Если функция непрерывна на замкнутом отрезке и дифференцируема во всех внутренних точках, то внутри отрезка существует по крайней мере одна такая точка Î(а,b), в которой выполняется условие

(8.2.1)

Проиллюстрируем геометрически выполнение теоремы.

Проведем хорду АВ. Её угловой коэффициент

угловой коэффициент касательной М₁Т₁ в точке М₁.

АВïçМ₁Т₁, следовательно

(8.2.2)

откуда и вытекает равенство.

Рис. 8.2.

Геометрическая формулировка теоремы Лагранжа. Если дана сплошная гладкая кривая, то на ней всегда существует точка (возможно, не единственная), касательная в которой параллельна хорде, стягивающей концы дуги.

Механический смысл теоремы Лагранжа.

изменение функции на отрезке .

средняя скорость изменения функции на этом отрезке.

мгновенная скорость изменения функции.

Рис. 8.3.

Если удовлетворяет условию теоремы Лагранжа, то внутри отрезка существует точка x, в которой скорость изменения функции равна средней скорости изменения функции на этом отрезке.

Замечание. Все требования теоремы Лагранжа существенны.

В точке x нарушено условие дифференцируемости (рис. 8.3).

Следствие (достаточный признак постоянства функции на отрезке). Если на некотором отрезке , то функция сохраняет на отрезке постоянное значение.

Пусть и

Для любого отрезка Î запишем теорему Лагранжа.

и , следовательно, для любого Î .

Рис. 8.4.

Теорема Ролля

Пусть функция удовлетворяет следующим условиям:

- непрерывна на ;

- дифференцируема на ;

- (рис.8.5.)

Тогда внутри отрезка (a,b) существует по крайней мере одна точка xÎ(а,b),в которой

Рис. 8.5. производная .

Доказательство автоматически вытекает из теоремы Лагранжа.

Геометрическая формулировка теоремы Ролля. Если дана сплошная гладкая кривая, концы которой равно стоят от оси Ох, то на кривой найдется хотя бы одна точка, касательная к кривой в которой параллельна оси Ох.

8.2.2. Правило Лопиталя (раскрытие неопределенностей вида )

Теорема. Пусть функции и непрерывны и дифференцируемы в окрестности точки х₀ (кроме, быть может, самой точки х₀), обе одновременно стремятся к нулю или бесконечности и . Тогда, если существует предел отношения производных этих функций

(конечный или бесконечный), то существует предел отношения функций, причем эти пределы равны, то есть, если существует

,

то существует

при этом

= .

Доказательство.

и

Требуется вычислить

неопределенность.

Итак,

(не путать с производной отношения).

Замечание 1. Теорема верна и при .

Замечание 2. Из существования предела отношения производных следует существование предела отношений функций. Обратное утверждение неверно.

Примеры:

1) ; 2) .

Сравнение логарифмической, степенной и показательной функций при

, , (a>1)

Вывод: логарифмическая функция возрастает медленнее, чем степенная, а степенная медленнее, чем показательная.

Рис. 8.6.