Решение ДУ – любая функция, которая, будучи подставлена в исходную запись уравнение, обращает его в тождество!

Прочти, реши и опять прочти!..

Настоящее методическое пособие предназначено помочь студентам в освоении теоретических вопросов предмета «Дифференциальные уравнения» путём использования подробно решённых задач и примеров.

Одновременно, пособие должно помочь наиболее мотивированным студентам развивать навыки самостоятельной работы, что очень важно при подготовке инженера любой специальности.

Тем, кто захочет воспользоваться возможностью показать себя постоянно и эффективно работающим, привлечь к себе внимание преподавателей и научных руководителей, приобрести авторитет среди своих товарищей, пособие тоже окажет помощь.

Рассмотренные и доступные с самого начала семестра материалы помогут качественно готовиться и к лекциям, и практическим занятиям, и к различным контрольным испытаниям.

СОДЕРЖАНИЕ:

№	Тема занятия:	Стр.
1.	Основные понятия. Теорема о существовании и единственности решения ДУ 1-го порядка. Уравнение 1-го порядка с разделяющимися переменными.
2.	Уравнения первого порядка с разделяющимися переменными. Систематизация и закрепление знаний.
3.	Однородные функции и однородные уравнения первого порядка. Уравнения специального вида, приводящиеся к однородному ДУ 1-го порядка. Выдача части-1 БДЗ.
4.	Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Уравнения Бернулли.
5.	Уравнения в полных дифференциалах.
6.	Уравнения 1-го порядка, не разрешённые относительно производной.
7.	Повторение: все типы уравнений 1-го порядка. Обзорные упражнения: определение типа дифференциального уравнения и обсуждение общего алгоритма решения. Систематизация знаний. Подготовка к контрольной работе.
8.	Уравнения 1-го порядка. Контрольная работа №1.Приём части-1 БДЗ. Выдача части-2 БДЗ.
9.	Уравнения высших порядков. Уравнения, допускающие понижение порядка.
10.	Линейные ДУ n-го порядка. Линейная зависимость решений линейного уравнения. Линейное однородное уравнение.
11.	Линейные неоднородные уравнения с постоянными коэффициентами. Решение методами: «вариации произвольных постоянных» и «неопределенных множителей».
12.	Краевые задачи для линейных дифференциальных уравнений. Повторение: решение линейных ДУ 2-го и 3-го порядков. Систематизация знаний. Подготовка к контрольной работе.
13.	Уравнения n-го порядка. Контрольная работа №2. Прием части-2 БДЗ. Выдача части-3 БДЗ.
14.	Системы дифференциальных уравнений первого порядка. Сведение системы ДУ к одному уравнению высшего порядка.
15.	Системы линейных однородных дифференциальных уравнений 1-го порядка с постоянными коэффициентами: общее и частное решения.
16.	Системы линейных неоднородных дифференциальных уравнений 1-го порядка с постоянными коэффициентами. Правая часть: специальная и произвольная. Самостоятельная работа – 40 мин. Приём части-3 БДЗ.
17.	Повторение и систематизация материала. Подготовка к экзамену.

•◄●►•

Замечание: если в рассматриваемом Задании пример имеет номер 3-9, это значит, что цифра 3 указывает порядковый номер примера в этом Задании, а цифра 9 указывает номер примера из Задачника, указанного в Семестровом плане студентов.

ЗАНЯТИЕ 1. Основные понятия. Теорема существования и единственности ДУ 1-го порядка. Уравнения первого порядка с разделяющимися переменными.

☺ ☻ ☺

Основные понятия:

Дифференциальным уравнением (ДУ) называют равенство, содержащее независимые переменные, искомую функцию и её производные (или дифференциалы).

Решить ДУ – значит найти все его решения!

Решение ДУ – любая функция, которая, будучи подставлена в исходную запись уравнение, обращает его в тождество!

••• ≡•••

Пример 1–1: Показать, что при любом действительном значении параметра заданная функция является решением ДУ: . (1)

Решение:

1). Разделим уравнение на . Получаем уравнение в виде: . (2)

2). Для нахождения производной заданной функции вспомним: , так как имеем: - табличный интеграл! Тогда: = .

3). Подставим заданную функцию и ее производную в уравнение (2), которое равносильно исходному уравнению (1): → тождество.

4). Это значит, что заданная функция является решением заданного уравнения.

Ответ: заданная функция является решением заданного уравнения.

Пример 2–4: В заданном семействе: выделить уравнение кривой, удовлетворяющей приведенному начальному условию: .

Решение:

1). Выделить из семейства кривых кривую, которая проходит через точку (0,1) – это значит вычислить значение произвольной постоянной , при условии, что =0, =1.

2). Подставим =0, =1 в выражение семейства: , откуда =1.

3). Тогда уравнение кривой семейства, проходящей через точку (0,1): .

Ответ: уравнение кривой: .

Пример 3–9: Составить дифференциальное уравнение семейства парабол: . (1)

Решение:

1). Преобразуем выражение семейства (известная операция выделения полного квадрата): . При непрерывном изменении параметра ось параболы смещается влево при значении параметра , вправо при значении ; одновременно вершина параболы движется по параболе .

2). Вычислим производную для заданного семейства: . (2)

3). Для получения дифференциального уравнения нужно исключить параметр из выражения (1) или из выражения (2):

а) умножив выражение (2) на , получим уравнение =[учтём (1)] = ;

б) получено дифференциальное уравнение: = .

Ответ: ДУ для семейства парабол = .

Пример 4–16: Методом изоклин построить приближенно семейство интегральных кривых для дифференциального уравнения: .

Решение:

1). Уравнение изоклин для заданного дифференциального уравнения получается из исходного уравнения приравниванием = . В нашем случае каждая изоклина – это прямая: = . На рисунке изоклины выделены «синим» цветом. На каждой изо­клине черточка («зеленая») отражает кон­крет­ное значение , определяющее изо­клину, то есть: на каждой изоклине наклон черточки один и тот же.

2). Черточки играют роль «железных опилок» в опытах по физике: они показы­вают направление «поля». Возникает «зри­тельный образ», который определяет «при­сутствие некоторой кривой», касатель­ные к которой мы и видим. Это и есть приближенно выделяемая «интегральная кривая» (одна из них выделена «красным» цветом), то есть «решение» заданного ДУ.

Ответ: интегральная кривая представлена на рисунке.

Пример 5–26: Решить дифференциальное уравнение: . (1)

Решение:

1). Прежде всего, отметим, что исходное уравнение (1) не может иметь решения в виде , в частности в виде функции . Это значит, что дифференциал не может быть равным 0. В то же время, функция =0 есть решение уравнения (1).

2). Умножим исходное уравнение (1) на дифференциал . Уравнение (1) перепишем в дифференциальной форме: . (2)

3). Нетрудно заметить, что уравнение (2) есть уравнение с разделяющимися переменными. Так как решение уже учтено, теперь примем, что и перепишем уравнение (2) в виде: + =0. (3)

4). Используя простейшие приёмы вычисления неопределённых интегралов, проинтегрируем уравнение (3). При получении общего решения уравнения (3) применим два принципиально разных способа использования произвольной постоянной величины:

→ или . (4)

→ или . (5)

Замечания: 1. При получении выражений (4) и (5) принципиальным было применение условия y≠0. При получении записи (5) также необходимо потребовать выполнения условия C≠0!..

2. Использование записи (5) удобнее в случае решения задачи Коши: вычисление постоянной C совсем просто, при использовании (4) пришлось бы применять логарифмы!..Если общее решение уравнения воспринимать как совокупность кривых, то записи эквиваленты!..

Ответ: общее решение ДУ ; хотя при получении общего решения произвольная постоянная величина не должна принимать значение 0, формально из него можно получить решение исходного уравнения при значении .

Пример 6–31: Решить дифференциальное уравнение: . (1)

Решение:

1). Прежде всего, отметим, что исходное уравнение (1) имеет решения в виде функций: – прямые, параллельные оси , и , то есть ось .

2). Теперь воспользуемся тем, что переменные в уравнении разделяются. Так как решения и учтены, примем теперь и , и запишем уравнение в виде:

. (2)

3). Используя простейшие приёмы вычисления неопределённых интегралов, проинтегрируем уравнение (2). Получаем общее решение уравнения (2):

→ . (3)

Ответ: общее решение ДУ ; в данном случае решение исходного уравнения можно получать из общего при значении =0; решения также формально можно получать из общего решения.

Пример 7–41: Решить дифференциальное уравнение: . (1)

Решение:

1). Преобразуем заданное уравнение к виду: = . Известно, что такое уравнение легко приводится к уравнению с разделяющимися переменными!

2). Примем и вычислим производную , то есть . В нашем случае получаем , что есть уравнение с разделяющимися переменными!

3). Уравнение имеет решение в виде функции: . Учитывая обозначение , запишем решение – прямая линия.

Замечание: Увидеть решение непосредственно из исходного уравнения было бы совсем непросто!

4). Пусть теперь . Запишем уравнение в виде: , или (для удобства!) в виде: . (2)

5). Интегрирование уравнения (2) не составит труда, даже на начальном этапе освоения неопределённого интеграла → . (3)

Ответ: общее решение ДУ ; в данном случае решение можно получить формально из общего при значении =0; запишем общее решение и в виде , из которого решение получается из общего при значении =0.

Пример 8–43: Решить дифференциальное уравнение: , . (1)

Решение:

1). Прежде всего, отметим, что исходное уравнение (1) имеет решение: – ось .

2). Переменные в уравнении разделяются. Так как решение уже учтено, примем теперь , и запишем уравнение в виде: . (2)

3). Интегрирование уравнения (2) не составит труда, даже на начальном этапе освоения неопределённого интеграла → . (3)

4). Используя начальные условия , вычисляем: и получаем частное решение уравнения: – гипербола, её график включает две ветви. Начальные условия выделяют правую ветвь гиперболы!

Ответ: – частное решение ДУ: правая ветвь гиперболы.

Пример 16–167: Найти уравнение кривой линии, проходящей через точку , если длина отрезка полуоси абсцисс, отсекаемого её касательной, равна квадрату абсциссы точки касания.

Решение:

В Примере 1–18 Главы 1 пособия получено выражения: OT= – длина отрезка полуоси абсцисс, отсекаемого её касательной; абсциссу точки касания обозначим D= .

Согласно условию задачи и в соответствии с принятыми обозначениями необходимо рассмотреть два случая:

▪ Случай-1: ; (1)

▪ Случай-2: . (2)

Случай-1.

1). Запишем дифференциальное уравнение (1) в виде: – уравнение с разделяющимися переменными, обозначим его .

2). Из записи нетрудно выделить решения: – ось , – прямая, параллельная оси и – ось . Эти решения не отражают существа поставленной геометрической задачи.

3). Пусть теперь и . Перепишем уравнение в виде = – переменные разделились. Интегрируем уравнение: – = = . Используя табличные интегралы и исключая логарифмы, можем записать общее решение:

= , или = . (3)

4). Из записи общего решение дифференциального уравнения следует, что это семейство гипербол.

Для иллюстрации присвоим произвольной величине значение 1. Известно, что график функции = может быть получен, если к простейшей гиперболе применить преобразования:

— Сместить график вправо на 1, лучше сместить ось на 1 влево.

— Сместить график вверх на 1, лучше сместить ось на 1 вниз.

Учёт параметра в записи (3) может быть отмечен возможными действиями: сжатие-растяжение вдоль оси , вращение вокруг оси и движение вверх-вниз.

Так как по условию задачи кривая должна проходить через точку , то используя выражение общего решения (3), получаем значение . Именно для этого случая применён рисунок. Учитывая условие задачи, заметим, что решением является ветвь гиперболы, проходящая через точку .

Случай-2.

1). Запишем дифференциальное уравнение (2) в виде: – уравнение с разделяющимися переменными, обозначим его .

2). Из записи нетрудно выделить решения: – ось , – прямая, параллельная оси и – ось . Эти решения не отражают существа поставленной геометрической задачи.

3). Пусть теперь и . Перепишем уравнение в виде = – переменные разделились. Интегрируем уравнение: – = = . Используя табличные интегралы и исключая логарифмы, можем записать общее решение:

= , или = . (4)

4). Из записи общего решение дифференциального уравнения следует, что это семейство гипербол.

Для иллюстрации присвоим произвольной величине значение –3. Известно, что график функции = может быть получен, если к простейшей гиперболе применить преобразования:

— Сместить график влево на 1, лучше сместить ось на 1 вправо.

— Сместить график вниз на 3, лучше сместить ось на 3 вверх.

Учёт параметра в записи (4) может быть отмечен возможными действиями: сжатие-растяжение вдоль оси , вращение вокруг оси и движение вверх-вниз.

Так как по условию задачи кривая должна проходить через точку , то используя выражение общего решения (4), получаем значение . Именно для этого случая применён рисунок. Учитывая условие задачи, заметим, что решением является ветвь гиперболы, проходящая через точку .

Ответ: Случай-1: = – общее решение и частное: = .

Случай-2: = – общее решение и частное: = .

☻

Вопросы для самопроверки:

1. Какое уравнение называют дифференциальным?

2. Как определить порядок ДУ?

3. Что значит - решить дифференциальное уравнение?

4. Что такое решение ДУ, частное решение ДУ?

5. Что такое общее решение ДУ?

6. Что значит решить Задачу Коши?

7. Что такое семейство кривых?

8. Как построить уравнение, решением которого является заданное семейство кривых?

9. Каковы стандартные формы ДУ с разделяющимися переменными и их решение?

Задачи для самоподготовки:

Пример C1–1: В заданном семействе: выделить уравнение кривой, удовлетворяющей приведенному начальному условию: .

Ответ: .

Пример C1–2: Решить дифференциальное уравнение: .

Ответ:y² +x² = C.

Пример C1–3: Решить дифференциальное уравнение: y′ = 1+ y².

Ответ: , также .

Пример C1–4: Решить дифференциальное уравнение: y′ = e^x+y.

Ответ:e^x +e^–y = C.

Пример C1–5: Решить дифференциальное уравнение: .

Ответ: .

Пример C1–6: Найти уравнение кривой, проходящей через точку (1,2), если её подкасательная вдвое больше абсциссы точки касания.

Ответ: и .

< * * * * * >