Свойства линейной зависимости и независимости

1) Система векторов, содержащая нулевой вектор, линейно зависима.

Доказательство.

Свойства линейной зависимости и независимости - student2.ru . Выбираем Свойства линейной зависимости и независимости - student2.ru Свойства линейной зависимости и независимости - student2.ru

Не все скаляры нулевые, и линейная комбинация равна нулевому вектору, значит система линейно зависима.

2) Если какая-нибудь подсистема системы векторов линейно зависима, то и сама система линейно зависима.

Доказательство.

Пусть Свойства линейной зависимости и независимости - student2.ru -система векторов. Возьмем подсистему: Свойства линейной зависимости и независимости - student2.ru ; Свойства линейной зависимости и независимости - student2.ru . Пусть она линейно зависима, т.е. существуют Свойства линейной зависимости и независимости - student2.ru , не все равные нулю, и Свойства линейной зависимости и независимости - student2.ru . Отсюда следует, что Свойства линейной зависимости и независимости - student2.ru система векторов Свойства линейной зависимости и независимости - student2.ru линейно зависима.

3) Любая подсистема линейно независимой системы линейно независима.

Доказательство.

Предположим противное, что в системе векторов Свойства линейной зависимости и независимости - student2.ru существует линейно зависимая подсистема. Тогда по свойству 2 Свойства линейной зависимости и независимости - student2.ru - линейно зависимая система. Получили противоречие, которое доказывает свойство 3.

4) Система векторов Свойства линейной зависимости и независимости - student2.ru , где Свойства линейной зависимости и независимости - student2.ru , линейно зависима тогда и только тогда, когда один из векторов этой системы является линейной комбинацией предшествующих векторов.

Доказательство.

Необходимость. Пусть Свойства линейной зависимости и независимости - student2.ru линейно зависимая система векторов, тогда существуют Свойства линейной зависимости и независимости - student2.ru , такие, что Свойства линейной зависимости и независимости - student2.ru и не все Свойства линейной зависимости и независимости - student2.ru . Пусть Свойства линейной зависимости и независимости - student2.ru - наибольший индекс, такой, что скаляр Свойства линейной зависимости и независимости - student2.ru . Тогда из Свойства линейной зависимости и независимости - student2.ru следует, что Свойства линейной зависимости и независимости - student2.ru значит Свойства линейной зависимости и независимости - student2.ru . Получили, что Свойства линейной зависимости и независимости - student2.ru - линейная комбинация предшествующих векторов.

Достаточность. Пусть Свойства линейной зависимости и независимости - student2.ru - линейная комбинация векторов Свойства линейной зависимости и независимости - student2.ru Свойства линейной зависимости и независимости - student2.ru Свойства линейной зависимости и независимости - student2.ru . Выпишем коэффициенты: Свойства линейной зависимости и независимости - student2.ru - не все Свойства линейной зависимости и независимости - student2.ru , поэтому система векторов линейно зависима.

5) Если система векторов Свойства линейной зависимости и независимости - student2.ru - линейно независима, а система векторов Свойства линейной зависимости и независимости - student2.ru - линейно зависима, то вектор Свойства линейной зависимости и независимости - student2.ru - линейная комбинация векторов Свойства линейной зависимости и независимости - student2.ru .

Доказательство.

Рассмотрим линейно зависимую систему векторов Свойства линейной зависимости и независимости - student2.ru . По свойству 1) один из векторов этой системы является линейной комбинацией предшествующих. Никакой из векторов Свойства линейной зависимости и независимости - student2.ru , Свойства линейной зависимости и независимости - student2.ru , не может быть линейной комбинацией, так как Свойства линейной зависимости и независимости - student2.ru - линейно независимая система по условию. Значит, Свойства линейной зависимости и независимости - student2.ru является линейной комбинацией предшествующих векторов, т.е. векторов Свойства линейной зависимости и независимости - student2.ru .

Наши рекомендации