В парной линейной зависимости

Пусть даны признаки Х и У, которыми обладают элементы генеральной совокупности. Предполагаем, что они имеют совместное нормальное распределение. Чтобы изучить взаимосвязь между признаками, проведем выборку объемом n из двухмерной генеральной совокупности. В результате получим эмпирические данные:

хi	х1	х2	...	хn
yi	y1	y2	...	yn	.

Построим точки с координатами (х_i, у_i), или корреляционное поле (рис. 4). Пусть по расположению построенных точек видно, что зависимость между X и Y близка к линейной: у=а₀+а₁х. Построим график этой зависимости.

Рис. 4

Эмпирические значения соответствуют ординатам точек корреляционного поля на рис. 4; теоретические (расчетные) значения признака У найдены по уравнению и соответствуют ординатам точек с абсциссами х_i, лежащих на прямой. На рис. 4 также показаны отклонения эмпирических значений признака от расчетных . Обобщаемым показателем рассеяния эмпирических точек вокруг прямой будет сумма квадратов отклонений , то есть

.

Чем меньше величина S, тем лучше прямая "подогнана" к точкам (х_i, у_i) корреляционного поля.

Необходимым условием существования минимума функции является равенство нулю одновременно всех ее частных производных.

Воспользуемся этим условием и получим следующую систему уравнений:

или

Преобразуем эту систему:

Полученную систему еще можно упростить, поделив обе части каждого уравнения на n. Система примет следующий вид:

Эту систему называют системой нормальных уравнений. Система нормальных уравнений состоит из двух линейных уравнений с двумя неизвестными а₀, а₁.

Решая эту систему, например, методом Крамера, находим а₀, а₁.

, ,

Коэффициент а₁ называют коэффициентом регрессии у на х.

Коэффициенты а₀, а₁, вычисленные из системы нормальных уравнений, являются оценками истинных значений параметров регрессии.

Полученное уравнение регрессии называют эмпирическим уравнением регрессии. Преобразуем его. Подставим в это уравнение значение из первого уравнения системы нормальных уравнений:

или

Уравнение регрессии в этой форме часто применяется на практике. Из данного уравнения мы можем выявить экономический смысл параметра а₁, который показывает, как изменяется в среднем результативный признак У, если факторный признак Х увеличится на единицу своего измерения.

Таким образом, по уравнению регрессии мы можем выяснить, как изменяется в среднем результативный признак (У) с изменением факторного признака (Х). Кроме того, уравнение регрессии приближенно выражает в виде функции корреляционную зависимость между признаками, и по нему можно прогнозировать значения результативного признака.

Корреляционный анализ