Многоканальная смо с отказами (задача эрланга)

Дано: в системе имеется n каналов, на которые поступает поток заявок с интенсивностью l. Поток обслуживаний имеет интенсивность m. Заявка, заставшая систему занятой, сразу же покидает ее.

Найти: абсолютную и относительную пропускную способность СМО; вероятность того, что заявка, пришедшая в момент времени t, получит отказ; среднее число заявок, обслуживаемых одновременно (или, другими словам, среднее число занятых каналов).

Решение. Состояние системы S (СМО) нумеруется по максимальному числу заявок, находящихся в системе (оно совпадает с числом занятых каналов):

S₀ – в СМО нет ни одной заявки;

S₁ – в СМО находится одна заявка (один канал занят, остальные свободны);

S₂ – в СМО находится две заявки (два канала заняты, остальные свободны);

. . .

S_n – в СМО находится n заявок (все n каналов заняты).

Граф состояний СМО представлен на рис. 4.7

Рис. 4.7. Граф состояний для n-канальной СМО с отказами

Из состояния S₀ в состояние S₁ систему переводит поток заявок с интенсивностью l (как только приходит заявка, система переходит из S₀ в S₁). Если система находилась в состоянии S₁ и пришла еще одна заявка, то она переходит в состояние S₂ и т.д.

Пусть система находится в состоянии S₁ (работает один канал). Он производит m обслуживаний в единицу времени. Поэтому дуга перехода из состояния S₁ в состояние S₀ нагружена интенсивностью m. Пусть теперь система находится в состоянии S₂ (работают два канала). Чтобы ей перейти в S₁, нужно, чтобы закончил обслуживание первый канал, либо второй. Суммарная интенсивность их потоков равна 2m и т.д.

Выходные характеристики (характеристики эффективности) данной СМО определяются следующим образом.

Абсолютная пропускная способность:

где n – количество каналов СМО; p₀ – вероятность нахождения СМО в начальном состоянии, когда все каналы свободны (финальная вероятность нахождения СМО в состоянии S₀).

Для того чтобы написать формулу для определения p₀, рассмотрим рис. 4.8.

Рис. 4.8. Граф состояний для схемы «гибели и размножения»

Граф, представленный на этом рисунке, называют графом состояний для схемы «гибели и размножения».

Остальные финальные вероятности состояний СМО запишутся следующим образом.

Вероятность того, что СМО находится в состоянии S₁, когда один канал занят:

Вероятность того, что СМО находится в состоянии S₂, т.е. когда два канала заняты:

Вероятность того, что СМО находится в состоянии S_n, т.е. когда все каналы заняты.

Теперь для n-канальной СМО с отказами

При этом

Относительная пропускная способность (средняя доля заявок, обслуживаемых системой):

.

Вероятность отказа (вероятность того, что заявка покинет СМО необслуженной):

.

Среднее число занятых каналов (среднее число заявок, обслуживаемых одновременно):

.